辽宁省沈阳市东北育才学校高中部2020届高三第六次模拟考试数学（文）试题 Word版含解析 22页

- 1 - 2020 届高三第六次模拟考试 数学（文科）试题 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的． 1.设集合 ， ，则 =（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 试题分析：集合 ， 故选 B. 考点：集合的交集运算. 2.若复数 为纯虚数，则 （　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由题意首先求得实数 a 的值，然后求解 即可． 【详解】由复数的运算法则有： , 复数 为纯虚数，则 ， 即 . 本题选择 A 选项. 【点睛】复数中，求解参数(或范围)，在数量关系上表现为约束参数的方程(或不等式).由于 复数无大小之分，所以问题中的参数必为实数，因此，确定参数范围的基本思想是复数问题 实数化. { }1,0,1,2,3A = − { }2| 2 0B x x x= − > A B∩ { }3 { }1,3− { }2,3 { }0,1,2 { } { } { } { }2 2 0 = | 0 2 , 1,0,1,2,3 , 1,3B x x x x x x A A B= − = − ∴ ∩ = −或 又 ( )2 1 a i a Ri − ∈+ 3 ai− = 13 13 10 10 3 ai− 2 ( 2 )(1 ) 2 2 1 (1 )(1 ) 2 2 a i a i i a a ii i i + + − + −= = ++ + − ( )2 1 a i a Ri − ∈+ 2 0 2 0 a a + =  − ≠ 2 22,| 3 | 3 13a ai a= − − = + = - 2 - 3.设等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 等于（ ） A. 18 B. 36 C. 45 D. 60 【答案】C 【解析】 【分析】 将 代入已知可得 ，再利用 计算即可得到答案. 【详解】由已知及等差数列的性质可得 ， 所以 ， . 故选：C 【点睛】本题考查等差数列的性质及前 n 项和公式，考查学生的基本就是哪里，是一道容易 题. 4.已知 ， ，则 的值等于 　　 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由已知有 ， ，再由正弦 二倍角公式 求解即可. 【详解】解: ， ， ， ， ． 故选 ． 【点睛】本题考查了诱导公式及正弦的二倍角公式,属基础题. 的 { }na n nS 2 8 515a a a+ = − 9S 2 8 52a a a+ = 5a 1 9 9 5 9( ) 92 a aS a += = 2 8 5 52 15a a a a+ = = − 5 5a = 1 9 9 5 9( ) 9 452 a aS a += = = 4cos( )2 5 πθ + = 3 2 2 π πθ< < sin 2θ ( ) 12 25 12 25 − 24 25 24 25 − 4sin 5 θ = − 3cos 5 θ = − sin 2 2sin cosθ θ θ= 4cos( ) sin2 5 πθ θ+ = − = 4sin 5 θ∴ = −  3 2 2 π πθ< < 2 3cos 1 5sinθ θ∴ = − − = − 3 4 24sin 2 2sin cos 2 ( ) ( )5 5 25 θ θ θ∴ = = × − × − = C - 3 - 5.若实数 ， 满足 ，则 的最小值为 　　 A. 2 B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】 先作出不等式组表示的平面区域，再求目标函数 的最小值即可. 【详解】解：不等式组 可用 区域(含边界)表示，如图： 由图可知， 在 与 轴的交点 处取得最小值，即 ． 故选 ． 【点睛】本题考查了简单的线性规划问题，属基础题. 6.2019 年是新中国成立七十周年，新中国成立以来，我国文化事业得到了充分发展，尤其是 党的十八大以来，文化事业发展更加迅速，下图是从 2013 年到 2018 年六年间我国公共图书 馆业机构数（个）与对应年份编号的散点图（为便于计算，将 2013 年编号为 1，2014 年编 号为 2，…，2018 年编号为 6，把每年的公共图书馆业机构个数作为因变量，把年份编号从 1 到 6 作为自变量进行回归分析），得到回归直线 ，其相关指数 ，给出下列结论，其中正确的个数是( ) x y 0 0 1 x y x y    +    2z y x= − ( ) 2− 1− 2z y x= − 0 0 1 x y x y    +    ∆ AOB 2z y x= − 1x y+ = x (1,0)A 0 2 2z = − = − B ˆ 13.743 3095.7y x= + 2R 0.9817= - 4 - ①公共图书馆业机构数与年份的正相关性较强 ②公共图书馆业机构数平均每年增加 13.743 个 ③可预测 2019 年公共图书馆业机构数约为 3192 个 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】 根据 和 确定是正相关还是负相关以及相关性的强弱；根据 的值判断平均每年增加量； 根据回归直线方程预测 年公共图书馆业机构数. 【详解】由图知点散布在从左下角到右上角的区域内，所以为正相关， 又 趋近于 1，所以相关性较强，故①正确；由回归方程知②正确； 由回归方程，当 时，得估计值为 3191.9≈3192，故③正确. 故选 D. 【点睛】回归直线方程中的 的大小和正负分别决定了单位增加量以及相关型的正负；相关系 数 决定了相关性的强弱，越接近 相关性越强. 7.已知 ， 满足 ，则（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 ˆb 2R ˆb 2019 2R 0.9817= 7x = ˆb 2R 1 1 2 1 2 1ln ,2x x e −= = 3x 3 3lnxe x− = 1 2 3x x x< < 1 3 2x x x< < 2 1 3x x x< < 3 1 2x x x< < - 5 - 根据对数的化简公式得到 ,由指数的运算公式得到 = ，由对数的性质得到 >0, ，进而得到结果. 【详解】已知 , = , >0, 进而得到 . 故答案为 A. 【点睛】本题考查了指对函数的运算公式和对数函数的性质；比较大小常用的方法有：两式 做差和 0 比较，分式注意同分，进行因式分解为两式相乘的形式；或者利用不等式求得最值， 判断最值和 0 的关系. 8.如图所示，在棱长为 的正方体 中， 是棱 的中点， 是侧面 上的动点，且 面 ，则 在侧面 上的轨迹的长度是 　　 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 设 ， 分别为 、 边上的中点，由面面平行的性质可得 落在线段 上，再求 的长度即可. 【详解】解：设 ， ， 分别为 、 、 边上的中点， 则 四点共面， 且平面 平面 ， 1 1ln 2 02x ln= = − < 1 2 2x e −= ( )1 0,1 e ∈ 3 3lnxe x− = 3 1x∴ > 1 1ln 2 02x ln= = − < 1 2 2x e −= ( )1 0,1 e ∈ 3 3lnxe x− = 3 1x∴ > 1 2 3x x x< < a 1 1 1 1ABCD A B C D− E 1DD F 1 1CDD C 1 / /B F 1A BE F 1 1CDD C ( ) a 2 a 2a 2 2 a H I 1CC 1 1C D F HI HI G H I CD 1CC 1 1C D ABEG 1 / /A BGE 1B HI - 6 - 又 面 ， 落在线段 上， 正方体 中的棱长为 ， ， 即 在侧面 上的轨迹的长度是 ． 故选 ． 【点睛】本题考查了面面平行的性质及动点的轨迹问题，属中档题. 9.已知函数 ， ， ， 为 图象的对称中心， ， 是该图象上相邻的最高点和最低点，若 ，则 的单调递增区间是 　　 A. ， ， B. ， ， C. ， ， D. ， ， 【答案】C 【解析】 【分析】 由 三 角 函 数 图 像 的 性 质 可 求 得 ： ， ， 即 ， 再 令 ，求出函数的单调增区间即可. 【详解】解：函数 ， ， 因为 ， 为 图象的对称中心， ， 是该图象上相邻的最高点和最低点， 1 / /B F 1A BE F∴ HI  1 1 1 1ABCD A B C D− a 1 1 2 2 2HI CD a∴ = = F 1 1CDD C 2 2 a D ( ) 3sin( )( 0f x xω ϕ ω= + > )2 2 π π− < ϕ < 1(3A 0) ( )f x B C 4BC = ( )f x ( ) 2(2 3k − 42 )3k + k Z∈ 2(2 3kπ π− 42 )3kπ π+ k Z∈ 2(4 3k − 44 )3k + k Z∈ 2(4 3kπ π− 44 )3kπ π+ k Z∈ 2 πω = 6 πϕ = − ( ) 3sin( )2 6f x x π π= − 2 22 2 6 2k x k π π π ππ π− − +  ( ) 3sin( )( 0f x xω ϕ ω= + > )2 2 π π− < ϕ < 1(3A 0) ( )f x B C - 7 - 又 ， ，即 ，求得 ． 再根据 ， ，可得 ， ， 令 ，求得 ， 故 的单调递增区间为 ， ， ， 故选 ． 【点睛】本题考查了三角函数图像的性质及单调性，属中档题. 10.已知定义在 上的偶函数 满足 ，当 时， .函 数 ，则 与 的图象所有交点的横坐标之和为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】 由 ， 可得函数 的图像都关于直线 对称，再作函数 ， 在 上的图像，观察交点的个数即可得解. 【详解】解：由 满足 ，则函数 的图像关于直线 对称， 又 的图像也关于直线 对称， 当 时， ， ，设 ， ， 则 ，即函数 在 为减函数，又 ，即 ， 即函数 ， 的图像在 无交点， 则函数 ， 在 上的图像如图所示，可知两个图像有 3 个交点，一个在直线 上，另外两个关于直线 对称，则三个交点的横坐标之和为 3， 故选 A. 4BC = ∴ 2 2 2(2 3) ( ) 42 T+ = 2 212 16 π ω+ = 2 πω = 1 2 3 k π ϕ π+ = k Z∈ 6 πϕ = − ( ) 3sin( )2 6f x x π π∴ = − 2 22 2 6 2k x k π π π ππ π− − +  2 44 43 3k x k− +  ( )f x 2(4 3k − 44 )3k + k Z∈ C R ( )f x (1 ) (1 )f x f x− = + [0,1]x∈ ( )f x x= | 1|( ) ( 1 3)xg x e x− −= − < < ( )f x ( )g x (1 ) (1 )f x f x− = + | 1|( ) ( 1 3)xg x e x− −= − < < ( ), ( )f x g x 1x = ( )f x ( )g x ( )1,3− ( )f x (1 ) (1 )f x f x− = + ( )f x 1x = | 1|( ) ( 1 3)xg x e x− −= − < < 1x = 1 2x≤ ≤ ( ) 2f x x= − 1( ) xg x e −= 1( ) 2 xh x x e −= − − ( )1 2x≤ ≤ ' 1( ) 1 0xh x e −= − + < ( )h x [ ]1,2 (1) 0h = ( ) 0h x ≤ ( )f x ( )g x ( )1,2 ( )f x ( )g x ( )1,3− 1x = 1x = - 8 - 【点睛】本题考查了函数图像的对称性，重点考查了数形结合的数学思想方法，属中档题. 11.一对夫妇为了给他们的独生孩子支付将来上大学的费用，从孩子一周岁生日开始，每年到 银行储蓄 元一年定期，若年利率为 保持不变，且每年到期时存款（含利息）自动转为新的 一年定期，当孩子 18 岁生日时不再存入，将所有存款（含利息）全部取回，则取回的钱的总 数为 　　 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由题意可得：孩子 18 岁生日时将所有存款（含利息）全部取回，可以看成是以 为首项 ， 为公比的等比数列的前 17 项的和，再由等比数列前 项和公式求解即可. 【详解】解：根据题意， 当孩子 18 岁生日时，孩子在一周岁生日时存入的 元产生的本利合计为 ， 同理：孩子在 2 周岁生日时存入的 元产生的本利合计为 ， 孩子在 3 周岁生日时存入 元产生的本利合计为 ， 孩子在 17 周岁生日时存入的 元产生的本利合计为 ， 可以看成是以 为首项， 为公比的等比数列的前 17 项的和， 此时将存款（含利息）全部取回， 则取回的钱的总数： 的 a r ( ) 17(1 )a r+ 17[(1 ) (1 )]a r rr + − + 18(1 )a r+ 18[(1 ) (1 )]a r rr + − + (1 )a r+ (1 )r+ n a 17(1 )a r+ a 16(1 )a r+ a 15(1 )a r+ …… a (1 )a r+ (1 )a r+ (1 )r+ - 9 - ； 故选 ． 【点睛】本题考查了不完全归纳法及等比数列前 项和，属中档题. 12.已知函数 f（x）＝（k＋ ）lnx＋ ，k∈[4，＋∞），曲线 y＝f（x）上总存 在两点 M（x1，y1），N（x2，y2），使曲线 y＝f（x）在 M，N 两点处的切线互相平行， 则 x1＋x2 的取值范围为 A. （ ，＋∞） B. （ ，＋∞） C. [ ，＋∞） D. [ ，＋∞ ） 【答案】B 【解析】 【分析】 利用过 M、N 点处的切线互相平行，建立方程，结合基本不等式，再求最值，即可求 x1+x2 的取值范围． 【详解】由题得 f′（x）= ﹣ ﹣1=﹣ =﹣ ，（ x＞0，k＞0） 由题意，可得 f′（x1）=f′（x2）（x1，x2＞0，且 x1≠x2）， 即 ﹣1= ﹣ ﹣1， 化简得 4（x1+x2）=（k+ ）x1x2， 而 x1x2＜ ， 4（x1+x2）＜（k+ ） ， 即 x1+x2＞ 对 k∈[4，+∞）恒成立， 令 g（k）=k+ ， 17 17 16 18(1 )[(1 ) 1](1 ) (1 ) (1 ) [(1 ) (1 )]1 1 a r r aS a r a r a r r rr r + + −= + + + + ……+ + = = + − ++ − D n 4 k 24 x x － 8 5 16 5 8 5 16 5 4k k x + 2 4 x 2 2 4 4x k xk x  − + +   ( ) 2 4x k x k x  − −   2 1 1 4 4k k x x + − 2 4k k x + 2 2 4 x 4 k 21 2( )2 x x+ 4 k 21 2( )2 x x+ 16 4k k + 4 k - 10 - 则 g′（k）=1﹣ = ＞0 对 k∈[4，+∞）恒成立， ∴g（k）≥g（4）=5， ∴ ≤ ， ∴x1+x2＞ ， 故 x1+x2 的取值范围为（ ，+∞）. 故答案为 B 【点睛】本题运用导数可以解决曲线的切线问题，函数的单调性、极值与最值，正确求导 是我们解题 的关键，属于中档题. 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分． 13.已知向量 ．若向量 ，则 _____． 【答案】 【解析】 【分析】 由向量的差的坐标运算可得： ， 由两向量平行的坐标运算得： ，运算即可得解. 【详解】解： 向量 ， ， ， ， ， ． 故答案为： ． 【点睛】本题考查了两向量平行的坐标运算，属基础题. 14.已知数列 满足 ， ，则 通项公式 ________． 2 4 k ( )( ) 2 2 2k k k + − 16 4k k + 16 5 16 5 16 5 ( ) ( )3, 2 , ,1a b m= − = ( )2 / /a b b−   m = 3 2 − 2 (3 2 , 4)a b m− = − − 4 3 2m m− = −  (3, 2)a = − ( ,1)b m= ∴ 2 (3 2 , 4)a b m− = − − ( 2 ) / /a b b−   4 3 2m m∴− = − 3 2m∴ = − 3 2 − { }na 1 1a = ( )* 1 11 , 2n na a a n N n−= + + + ∈ ≥ { }na na = - 11 - 【答案】 【解析】 【分析】 用 换已知式中的 得 ，然后作差可得 ， 又 ，可得数列 是等比数列. 【详解】因为 ①，所以 ②， ②—①得 ，即 ， 又 ，所以 ，故数列 是以 1 为首项， 2 为公比的等比数列，所以 . 故答案为： 【点睛】本题考查由递推公式求通项公式，考查学生的逻辑推理能力，是一道容易题. 15.如图所示，位于 处的信息中心获悉：在其正东方向相距 海里的 处有一艘渔船遇 险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西 45°、相距 20 海里的 处的乙船 ，现乙船朝北偏东 的方向沿直线 前往 处救援，则 的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】 在 中，利用余弦定理计算出 ， ， ，再利用 两角和的余弦公式计算即可得到答案. 【详解】由已知， ，在 中，由余弦定理可得 12n− 1n + n 1 11n na a a+ = + + + * 1 2 ( )2,n na a n n N+ = ≥ ∈ 2 1 11 2 2a a a= + = = { }na ( )* 1 11 , 2n na a a n N n−= + + + ∈ ≥ 1 11n na a a+ = + + + 1 *( 2, )n n na na a n N+ = ≥ ∈− * 1 2 ( )2,n na a n n N+ = ≥ ∈ 2 1 11 2 2a a a= + = = * 1 2 ( )nna a n N+ = ∈ { }na 12n na -= 12n− A 30 2 B C θ CB B cosθ 17 17 ABC BC cos ACB∠ cos cos(45 )ACBθ = + ∠ 135CAB∠ =  ABC - 12 - ， 所以 ， 所以 . 故答案为： 【点睛】本题考查余弦定理在解三角形中的应用，涉及到两角和的余弦公式，是一道中档题. 16.已知直三棱柱 外接球的表面积为 ， ， ，若 外接 圆的圆心在 上，则直三棱柱 的体积为_________． 【答案】6 【解析】 【分析】 由已知球的表面积可得外接球半径 R， 外接圆的圆心在 上可得 ，再利 用勾股定理 计算即可. 【详解】设直三棱柱 的高为 ，外接球的球心为 O，半径为 R，由已知， ， 解得 ，又 外接圆的圆心在 上，所以 ， 故 ，即 ，解得 ， 所以直三棱柱 体积 . 故答案为：6 【点睛】本题考查直三棱柱体积的计算问题，涉及到外接球的知识，考查学生的空间想象能 力，是一道中档题. 三、解答题： 的 2 2 2 cos 1800 400 1200 10 34BC AC AB AC AB CAB= + − ⋅ ∠ = + + = 2 2 2 5 34cos 2 34 AC CB ABACB AC CB + −∠ = =⋅ 3 34sin 34ACB∠ = 2 2cos cos(45 ) cos sin2 2ACB ACB ACBθ = + ∠ = ∠ − ∠ 2 5 34 2 3 34 2 34 2 34 = × − × = 17 17 17 17 1 1 1ABC A B C− 52π 1AB = 2AC = ABC AC 1 1 1ABC A B C− ABC AC AB BC⊥ 2 2 2( ) ( )2 2 AC h R+ = 1 1 1ABC A B C− h 24 52Rπ π= 13R = ABC AC AB BC⊥ 3BC = 2 2 2( ) ( )2 2 AC h R+ = 25 134 4 h+ = 4 3h = 1 1 1ABC A B C− 1 3 4 3 62ABCV S h= × = × × =  - 13 - 17.某校在一次期末数学测试中，为统计学生的考试情况，从学校的 2000 名学生中随机抽取 50 名学生的考试成绩，被测学生成绩全部介于 65 分到 145 分之间（满分 150 分），将统计结果 按如下方式分成八组：第一组 ，第二组 ，…，第八组 ，如图是按上 述分组方法得到的频率分布直方图的一部分． （1）求第七组的频率； （2）用样本数据估计该校的 2000 名学生这次考试成绩的平均分（同一组中的数据用该组区 间的中点值代表该组数据平均值）； （3）若从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取 2 名，求他们的分差的绝对值 小于 10 分的概率． 【答案】（1）0.08（2）102（3） 【解析】 【分析】 （1）利用各小矩形的面积和为 1 即可得到； （2）平均数的估计值为各小矩形的组中值与小矩形面积乘积的和； （3）易得第六组有 3 人，第八组有 2 人，从中任取两人他们的分差的绝对值小于 10 分，则 这两人必来自同一组，再按古典概型的概率计算公式计算即可. 【详解】（1）由频率分布直方图得第七组的频率为： ． （2）用样本数据估计该校的 2000 名学生这次考试成绩的平均分为： ， （3）样本成绩属于第六组的有 人，设为 A，B，C，样本成绩属于第八 [65,75) [75,85) [135,145] 2 5 1 (0.004 0.012 0.016 0.030 0.020 0.006 0.004) 10 0.08− + + + + + + × = 70 0.004 10 80 0.012 10 90 0.016 10 100 0.030 10× × + × × + × × + × × + 110 0.020 10 120 0.006 10 130× × + × × + 0.008 10 140 0.004 10 102× × + × × = 0.006 10 50 3× × = - 14 - 组的有 人，设为 a，b，从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中 随机抽取 2 名，有 ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共 10 种，他们的分差的绝对值小于 10 分包含的基本事件有 ， ， ， ，共 4 种，∴他们的分差的绝对值小于 10 分的概率 ． 【点睛】本题考查频率分布直方图及其应用，涉及到频率的计算、平均数的估计、古典概型 的概率计算等知识，是一道容易题. 18.在 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，且 ． （1）求角 的大小； （2）若 ， 的面积为 ，求 及 的值． 【答案】（1） ；（2） . 【解析】 【分析】 （1）由三角恒等变形可得 ， ，即 ． （2）由余弦定理得 ，再由正弦定理及三角形面积公式可得： ，即 ，得解. 【详解】解：（1） ，可得： ， ， ， ， ． （2） ， ， ， 0.004 10 50 2× × = { , }A B { , }A C { , }C B { , }A a { , }A b { , }B a { , }B b { , }C a { , }C b { , }a b { , }A B { , }A C { , }C B { , }a b 4 2 10 5p = = ABC∆ A B C a b c 22sin 2 2 cos 3 0C C− + + = C 2b a= ABC∆ 2 sin sin2 A B sin A c 3 4C π= 10sin , 110A c= = 2cos 2C = − 0 C π< <又 3 4C π= 5c a= 2sin ( ) sin 2sin sin sin a b cC CA B C = =  2 sin 1c C= = 22sin 2 2 cos 3 0C C− + + = 22(1 cos ) 2 2 cos 3 0C C− − + + = 22cos 2 2 cos 1 0C C∴ + + = 2cos 2C∴ = − 0 C π< < 3 4C π∴ = 2 2 2 2 2 22 cos 3 2 5c a b ab C a a a= + − = + = 5c a∴ = sin 5sinC A∴ = - 15 - ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了三角恒等变形及正余弦定理，属中档题. 19.如图，四棱锥 的底面 是矩形，侧面 是正三角形， ， ， ． 、 分别为 、 的中点． （1）求证： ； （2）求点 到平面 的距离． 【答案】（1）详见解析；（2） . 【解析】 【分析】 （1）先由面 面 与 ，证明 平面 ， 再证明 ； （2）先建立以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系， 再求平面 的法向量 ，再利用空间向量求点到面的距离，得解. 【详解】（1）证明： 为正三角形， ， ， 1 10sin sin 105 A C∴ = = 1 2sin sin sin2 2ABCS ab C A B∆ = = ∴ 1 2sin sin sin2 2ab C A B= ∴ 2sin ( ) sin 2sin sin sin a b cC CA B C = =  2 sin 1c C∴ = = P ABCD− ABCD PAB 2AB = 2BC = 6PC = E H PA AB PH AC⊥ P DEH 66 11 PAB ⊥ ABCD PH AB⊥ PH ⊥ ABCD PH AC⊥ H HA x HB y HP z DEH n PAB 2AB = 2PB AB∴ = = - 16 - ， ， 根据勾股定理得 ， 为矩形， ， ， 面 且交于点 ， 面 ， 面 ， 面 面 ， 为 的中点， 为正三角形， ， 平面 ， 平面 ， ． （2）解：取 中点 ，以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立空间直 角坐标系， 则 ，0， ， ， ， ， ，0， ， ， ，0， ， ， ， ， ， ，0， ， 设平面 的法向量 ， ， ， 则 ，取 ，得 ，1， ， 点 到平面 的距离 ． 【点睛】本题考查了线面垂直、线线垂直及利用空间向量求点到面的距离，属中档题. 20.已知点 ，若点 满足 . （Ⅰ）求点 的轨迹方程； 2BC = 6PC = 2 2 2PC BC PB∴ = + ∴ BC PB⊥ ABCD BC AB∴ ⊥ PB AB Ì PAB B BC∴ ⊥ PAB BC ⊂ ABCD ∴ PAB ⊥ ABCD H AB PAB PH AB∴ ⊥ PH∴ ⊥ ABCD AC ⊂ ABCD PH AC∴ ⊥ CD E H HA x HB y HP z (0P 3) (1D 2 0) (1A 0) 1 3( ,0, )2 2E (0H 0) (1HD = 2 0) 1 3( ,0, )2 2HE = (0HP = 3) DEH (n x= y )z · 2 0 1 3· 02 2 n HD x y n HE x z  = + = = + =   1y = ( 2n = − 2 ) 3 ∴ P DEH | | 2 66 | | 1122 1 3 n HPd n = = = + +  ( 1,0), (1,0)M N− ( , )P x y | | | | 4PM PN+ = P - 17 - （Ⅱ）过点 的直线 与（Ⅰ）中曲线相交于 两点， 为坐标原点， 求△ 面积的最大值及此时直线 的方程. 【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） 面积的最大值为 ，此时直线 的方程为 . 【解析】 【分析】 （1）根据椭圆的定义求解轨迹方程； （2）设出直线方程后，采用 （ 表示原点到直线 的距离）表示面积，最后 利用基本不等式求解最值. 【详解】解：（Ⅰ）由定义法可得， 点的轨迹为椭圆且 ， . 因此椭圆的方程为 . （Ⅱ）设直线 的方程为 与椭圆 交于点 ， ，联立直线与椭圆的方程消去 可得 ， 即 ， . 面积可表示为 令 ，则 ，上式可化为 ， 当且仅当 ，即 时等号成立， 因此 面积的最大值为 ，此时直线 的方程为 . ( 3,0)Q − l ,A B O AOB l 2 2 14 3 x y+ = AOB∆ 3 l 6 33x y= ± − 1 | |2 AB d× × d AB P 2 4a = 1c = 2 2 14 3 x y+ = l 3x ty= − 2 2 14 3 x y+ = 1 1( , )A x y 2 2( , )B x y x 2 2(3 4) 6 3 3 0t y ty+ − − = 1 2 2 6 3 3 4 ty y t + = + 1 2 2 3 3 4y y t −= + AOB∆ 2 1 2 1 2 1 2 1 1| | | | 3 ( ) 42 2AOBS OQ y y y y y y= ⋅ − = ⋅ ⋅ + −△ 2 2 2 2 2 2 2 2 1 6 3 3 3 2 3 63 ( ) 4 9 3 4 3 12 3 4 3 4 2 3 4 3 4 t t t tt t t t −= ⋅ ⋅ − = ⋅ ⋅ + + = ⋅ ++ + + + 23 1t u+ = 1u ≥ 2 6 6 333 u u u u =+ + ≤ 3u= 6 3t = ± AOB∆ 3 l 6 33x y= ± − - 18 - 【点睛】常见的利用定义法求解曲线的轨迹方程问题： （1）已知点 ，若点 满足 且 ，则 轨 迹是椭圆； （2）已知点 ，若点 满足 且 ，则 的 轨迹是双曲线. 21.已知函数 ， ， ， ． （1）讨论函数 的单调区间及极值； （2）若关于 的不等式 恒成立，求整数 的最小值． 【答案】（1）详见解析；（2） . 【解析】 【分析】 先求函数 的导函数 ， 再讨论①当 时，②当 时函数 的单调区间及极值； （2）不等式 恒成立等价于 恒成立， 再构造函数 ，利用导数求函数 的最大值即可得解. 【详解】解：（1）因为 ，定义域为 ，所以 ， ①当 时 恒成立， 在 上是增函数，无极值， ②当 时令 ， ， 令 ， ， 所以函数 在 上为增函数，在 ， 为减函数， 所以当 时，有极大值，极大值为 ，无极小值， （2）：由 恒成立知 恒成立， 令 ， 则 ， 的( ,0), ( ,0)M c N c− ( , )P x y | | | | 2PM PN a+ = 2 2a c> P ( ,0), ( ,0)M c N c− ( , )P x y || | | || 2PM PN a− = 2 2a c< P 2( )f x lnx mx= − 21( ) 2g x mx x= + m R∈ ( ) ( ) ( )F x f x g x= + ( )f x x ( ) 1F x mx − m 2 ( )f x 21 1 2( ) 2 mxf x mxx x −′ = − = 0m 0m > ( )f x ( ) 1F x mx − 2 2 2( 1)lnx x x m x + + + 2 2( 1 2 )( ) lnx xh x x x + + += ( )h x 2( )f x lnx mx= − (0, )+∞ 21 1 2( ) 2 mxf x mxx x −′ = − = 0m ( ) 0f x′ > ( )f x∴ (0, )+∞ 0m > ( ) 0f x′ > 10 2 x m ∴ < < ( ) 0f x′ < 1 2 x m ∴ > ( )f x 1(0, ) 2m 1( 2m )+∞ 1 2 x m = 1 ( 2 1)2 ln m− + ( ) 1F x mx − 2 2 2( 1)lnx x x m x + + + 2 2( 1 2 )( ) lnx xh x x x + + += 2 2 2( 1)(2 )( ) ( 2 ) x lnx xh x x x − + +′ = + - 19 - 令 ，因为 ， （1） ， 为增函数． 故存在 ， ，使 ，即 ， 当 时， ， 为增函数，当 时， ， 为减函数． 所以 ， 而 ， ，所以 ， 所以整数 的最小值为 2． 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调区间、极值及函数的最值，属综合性较强的题 型. 请考生在 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 选修 4-4：坐标系与参数方程 22.在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），以坐 标原点 为极点， 轴的正半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，直线 的极坐标方程 为 . （Ⅰ）求曲线 和直线 的直角坐标方程； （Ⅱ）直线 与 轴交点为 ，经过点 的直线与曲线 交于 ， 两点，证明： 为定值. 【答案】（Ⅰ）曲线 ： . 的直角坐标方程为 .（Ⅱ）见证明 【解析】 【分析】 （Ⅰ）根据曲线的参数方程，平方相加，即可求得曲线 普通方程，再根据极坐标方程与直 角坐标方程的互化公式，即可得到直线的直角坐标方程． （Ⅱ）设过点 的直线方程为 （ 为参数），代入曲线的普通方程，根据参 数的几何意义，即可求解． ( ) 2x lnx xϕ = + 1 1( ) 4 02 2 lnϕ = − < ϕ 1 0= > ( )xϕ 0 1(2x ∈ 1) 0( ) 0xϕ = 0 02 0lnx x+ = 00 x x< < ( ) 0h x′ > ( )h x 0x x< ( ) 0h x′ < ( )h x 0 0 0 2 00 0 2( 1) 1( ) ( ) 2max lnx xh x h x xx x + += = = + 0 1(2x ∈ 1) 0 1 (1,2)x ∈ m xOy C cos 3sin sin 3 cos x y α α α α  = + = − α O x l cos 26 πρ θ + =   C l l y P P C A B PA PB⋅ C 2 2 4x y+ = l 3 4 0x y− − = C P cos 4 sin x t y t α α =  = − + t - 20 - 【详解】（Ⅰ）由题意，可得 ， 化简得曲线 ： . 直线 的极坐标方程展开为 ， 故 的直角坐标方程为 . （Ⅱ）显然 的坐标为 ，不妨设过点 的直线方程为 （ 为参数）， 代入 ： 得 ， 所以 为定值. 【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程，极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及直 线的参数方程的应用，其中解答中熟记参数方程与普通方程，极坐标方程与直角坐标方程的 互化公式，以及直线参数方程中参数的几何意义是解答的关键，着重考查了推理与运算能力， 属于基础题． 选修 4-5：不等式选讲 23.已知函数 . （1）若 时，解不等式 ； （2）若关于 的不等式 在 上有解，求实数 的取值范围. 【答案】（1） ；（2） . 【解析】 试题分析： （1）当 时，不等式为 ，根据分类讨论解不等式即可．（2）由题意 可得当 时， 有解，即 上有解，故只需 （ ，由此可得结论． 试题解析： （1）当 时，不等式为 ， ( ) ( )2 22 2 cos 3sin sin 3 cos 4x y α α α α+ = + + − = C 2 2 4x y+ = l 3 1cos sin 22 2 ρ θ ρ θ− = l 3 4 0x y− − = P ( )0, 4− P cos 4 sin x t y t α α =  = − + t C 2 2 4x y+ = 2 8 sin 12 0t t α− + = 1 2 12PA PB t t⋅ = = ( ) 1 2 ( )f x x x m m R= − + + ∈ 2m = ( ) 3f x ≤ x ( ) 2 3f x x≤ − [0,1]x∈ m 4{ | 0}3x x− ≤ ≤ 3 2m− ≤ ≤ 2m = 1 2 2 3x x− + + ≤ [ ]0,1x∈ 2 2x m x+ ≤ − [ ]2 2 3 0,1x m x x在− − ≤ ≤ − ∈ ( )min max2) 2 3x m x− − ≤ ≤ − 2m = 1 2 2 3x x− + + ≤ - 21 - 若 ，则原不等式可化为 ，所以 ； 若 ，则原不等式可化 ，所以 ； 若 ，则原不等式可化为 ，所以 ． 综上不等式的解集为 ． （2）当 时，由 ，得 即 故 ， 又由题意知（ ， 所以 ． 故实数 m 的取值范围为 ． 为 1x ≤ − 41 2 2 3 3x x x− + − − ≤ ≥ −，解得 4 13 x− ≤ ≤ − 1 1x− < < 1 2 2 3 0x x x− + + ≤ ≤，解得 1 0x− < ≤ 1x ≥ 21 2 2 3 3x x x− + + ≤ ≤，解得 x∈Φ 4{ | 0}3x x− ≤ ≤ [ ]0,1x∈ ( ) 2 3f x x≤ − 1 2 3 2x x m x− + + ≤ − 2 2x m x+ ≤ − 2 2 2 2 2 3x x m x x m x− ≤ + ≤ − − − ≤ ≤ −，解得 ( )min max2) 2 3x m x− − ≤ ≤ − 3 2m− ≤ ≤ [ ]3,2− - 22 -