高考数学专题复习教案： 空间几何体的表面积与体积备考策略 5页

空间几何体的表面积与体积备考策略 主标题：空间几何体的表面积与体积备考策略 副标题：通过考点分析高考命题方向，把握高考规律，为学生备考复习打通快速通道。‎ 关键词：表面积，体积，备考策略 难度：2‎ 重要程度：4‎ 内容 考点一　空间几何体的表面积 ‎【例1】（15北京理科）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是 A． B． C． D．5‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：根据三视图恢复成三棱锥，其中平面ABC，取AB棱的中点D，连接CD、PD，有，底面ABC为等腰三角形底边AB上的高CD为2，AD=BD=1,PC=1, ,,，,三棱锥表面积 ‎.‎ ‎【备考策略】 (1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系．‎ ‎(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理．‎ ‎(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．‎ 考点二　空间几何体的体积 ‎【例2】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(　　)．‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎ ‎ A．16＋8π B．8＋8π C．16＋16π D．8＋16π ‎(2)如图所示，已知三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则三棱锥B1－ABC1的体积为 (　　)．‎ A. B. C. D. ‎ ‎ 解析　(1)由三视图可知该几何体由长方体和圆柱的一半组成．其中长方体的长、宽、高分别为4,2,2，圆柱的底面半径为2、高为4.所以V＝2×2×4＋×22×π×4＝16＋8π.故选A.‎ ‎(2)三棱锥B1－ABC1的体积等于三棱锥A－B1BC1的体积，三棱锥A－B1BC1的高为，底面积为，故其体积为××＝.‎ 答案　(1)A　(2)A ‎【备考策略】(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．‎ 考点三　球与空间几何体的接、切问题 ‎【例3】 (1)已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、侧视图、俯视图均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是______________．‎ ‎ ‎ ‎(2)(2013·辽宁卷)已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为 (　　)．‎ A. B．2 ‎ C. D．3 审题路线　(1)正方体内接于球⇒正方体的体对角线长等于球的直径⇒求得球的半径⇒代入球的表面积公式(注意只算球的表面积)．‎ ‎(2)BC为过底面ABC的截面圆的直径⇒取BC中点D，则球心在BC的垂直平分线上，再由对称性求解．‎ 解析　(1)由三视图知，棱长为2的正方体内接于球，故正方体的体对角线长为2，即为球的直径．‎ 所以球的表面积为S＝4π·2＝12π.‎ ‎(2)因为在直三棱柱中AB＝3，AC＝4，AA1＝12，AB⊥AC，所以BC＝5，且BC为过底面ABC的截面圆的直径，取BC中点D，则OD⊥底面ABC，则O在侧面BCC1B1内，矩形BCC1B1的对角线长即为球的直径，所以2r＝＝13，即r＝.‎ 答案　(1)12π　(2)C ‎【备考策略】解决球与其他几何体的切、接问题，关键在于仔细观察、分析，弄清相关元素的关系和数量关系，选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系)，达到空间问题平面化的目的．‎ 考点四　几何体的展开与折叠问题 ‎【例4】 (1)如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD中，AC与BD相交于O，剪去△AOB，将剩余部分沿OC，OD折叠，使OA，OB重合，则以A，B，C，D，O为顶点的四面体的体积为________．‎ ‎(2)如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC为直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝CC1＝3.P是BC1上一动点，则CP＋PA1的最小值为________(其中PA1表示P，A1两点沿棱柱的表面距离)．‎ ‎ ‎ 解析　(1)折叠后的四面体如图所示．‎ OA，OC，OD两两相互垂直，且OA＝OC＝OD＝2，体积V＝ S△OCD·OA＝××(2)3＝.‎ ‎(2)由题意知，把面BB1C1C沿BB1展开与面AA1B1B在一个平面上，如图所示，连接A1C即可．‎ 则A1、P、C三点共线时，CP＋PA1最小，‎ ‎∵∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝C1C＝3，‎ ‎∴A1B1＝AB＝＝5，∴A1C1＝5＋3＝8，‎ ‎∴A1C＝＝.故CP＋PA1的最小值为.‎ 答案　(1)　(2) ‎【备考策略】 (1)有关折叠问题，一定要分清折叠前后两图形(折前的平面图形和折叠后的空间图形)各元素间的位置和数量关系，哪些变，哪些不变．‎ ‎(2)研究几何体表面上两点的最短距离问题，常选择恰当的母线或棱展开，转化为平面上两点间的最短距离问题．‎