【北师大版】2021版高考数学一轮复习第二章函数及其应用2.3 函数的奇偶性、对称性与周期性 8页

- 1 - 2.3 函数的奇偶性、对称性与周期性 核心考点·精准研析 考点一 函数奇偶性的判断 1.下列函数为奇函数的是 ( ) A.f(x)= B.f(x)=ex C.f(x)=cos x D.f(x)=ex-e-x 2.已知函数 f(x)=3x- ,则 f(x) ( ) A.是奇函数,且在 R 上是增加的 B.是偶函数,且在 R 上是增加的 C.是奇函数,且在 R 上是减少的 D.是偶函数,且在 R 上是减少的 3.若函数 f(x)(x∈R)是奇函数,函数 g(x)(x∈R)是偶函数,则 ( ) A.函数 f(g(x))是奇函数 B.函数 g(f(x))是奇函数 C.函数 f(x)·g(x)是奇函数 D.函数 f(x)+g(x)是奇函数 4.已知定义在 R 上的函数 f(x),对任意的 x1,x2∈R 都有 f(x1+x2)-f(x1)=f(x2)+5,则下列命题正确的是 ( ) A.f(x)是奇函数 B.f(x)是偶函数 C.f(x)+5 是奇函数 D.f(x)+5 是偶函数 【解析】1.选 D.对于 A,定义域不关于原点对称,故不是奇函数;对于 B, f(-x)=e-x= ≠-f(x),故不是奇函 数;对于 C,f(-x)=cos(-x)=cos x≠-f(x),故不是奇函数;对于 D,f(-x)=e-x-ex=-(ex-e-x)=-f(x),是奇函数. 2.选 A.因为函数 f(x)的定义域为 R, f(-x)=3-x- = -3x=-f(x), - 2 - 所以函数 f(x)是奇函数. 因为函数 y= 在 R 上是减少的, 所以函数 y=- 在 R 上是增加的. 又因为 y=3x 在 R 上是增加的, 所以函数 f(x)=3x- 在 R 上是增加的. 3.选 C.令 h(x)=f(x)·g(x),因为函数 f(x)是奇函数,函数 g(x)是偶函数,所以 f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x), 所以 h(-x)=f(-x)·g(-x)=-f(x)·g(x)=-h(x),所以 h(x)=f(x)·g(x)是奇函数. 4.选 C.取 x1=x2=0,得 f(0+0)-f(0)=f(0)+5,所以 f(0)=-5.令 x1=x,x2=-x,则 f[x+(-x)]-f(x)=f(-x)+5,所以 f(0)-f(x)=f(-x)+5,所以 f(-x)+5=-[f(x)+5],所以函数 f(x)+5 是奇函数. 判断函数奇偶性的方法 (1)定义法:利用奇、偶函数的定义或定义的等价形式: =±1(f(x)≠0)判断函数的奇偶性. (2)图像法:利用函数图像的对称性判断函数的奇偶性. (3)验证法:即判断 f(x)±f(-x)是否为 0. (4)性质法:在公共定义域内有:奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇×奇=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇. 考点二 函数的周期性及应用 【典例】1.(2020·南昌模拟)已知函数 f(x)= 如果对任意的 n∈N*,定义 fn(x)= ,那么 f2 019(2)的值为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 2.已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,若对于 x≥0,都有 f(x+2)=- ,且当 x∈[0,2) 时,f(x)=log2(x+1),则 f(-2 017)+f(2 019)的值为 ( ) A.0 B.-4 C.-2 D.2 - 3 - 3.(2019·重庆模拟)已知奇函数 f(x)的图像关于直线 x=3 对称,当 x∈[0,3]时,f(x)=-x,则 f(-16)=________. 【解题导思】 序号 联想解题 1 由已知想到周期函数 2 由 f(x+2)=- ,想到周期函数 3 由 f(x)的图像关于直线 x=3 对称,想到 f(x)=f(6-x) 【解析】1.选 C.因为 f1(2)=f(2)=1,f2(2)=f(1)=0,f3(2)=f(0)=2, 所以 fn(2)的值具有周期性,且周期为 3, 所以 f2 019(2)=f3×673(2)=f3(2)=2. 2.选 A.当 x≥0 时,f(x+2)=- ,所以 f(x+4)=f(x),即 4 是 f(x)(x≥0)的一个周期. 所以 f(-2 017)=f(2 017)=f(1)=log22=1, f(2 019)=f(3)=- =-1, 所以 f(-2 017)+f(2 019)=0. 3.根据题意,函数 f(x)的图像关于直线 x=3 对称, 则有 f(x)=f(6-x),又由函数为奇函数, 则 f(-x)=-f(x),则有 f(x)=-f(x-6)=f(x-12), 则 f(x)的最小正周期是 12, 故 f(-16)=f(-4)=-f(4)=-f(2)=-(-2)=2. 答案:2 1.抽象函数的周期性 (1)如果 f(x+a)=-f(x)(a≠0),那么 f(x)是周期函数,其中一个周期 T=2a. (2)如果 f(x+a)= (a≠0),那么 f(x)是周期函数,其中的一个周期 T=2a. (3)如果 f(x+a)+f(x)=c(a≠0),那么 f(x)是周期函数,其中的一个周期 T=2a. (4)如果 f(x+a)=f(x-b),则 T=|a+b|. - 4 - (5)如果 f(x)的图像关于(a,0)对称,且关于 x=b 对称,则 T=4|a-b|. (6)如果 f(x)的图像关于(a,0)对称,且关于(b,0)对称,则 T=2|a-b|. 2.函数 f(x)满足的关系 f(a+x)=f(b-x)表明的是函数图像的对称性,函数 f(x)满足的关系 f(a+x)=f(b+x)(a≠b)表明的是函数的周期性,在使用这两个关系时不要混淆. 1.(2020·菏泽模拟)定义在 R 上的函数 f(x)的周期为π,且是奇函数,f =1,则 f 的值为 ( ) A.1 B.-1 C.0 D.2 【解析】选 B.因为函数 f(x)的周期为π,所以 f =f =f ,因为 f(x)为奇函数,所以 f =-f =-1. 2.(2019·长春模拟)已知定义在 R 上的函数 f(x)的周期为 6,且 f(x)= 则 f(-7)+f(8)= ( ) A.11 B. C.7 D. 【解析】选 A.根据 f(x)的周期是 6,故 f(-7)=f(-1)= -(-1)+1=4, f(8)=f(2)=f(-2)= -(-2)+1=7,所以 f(-7)+f(8)=11. 3.已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且 f(x+4)=f(x-2).若当x∈[-3,0]时,f(x)=6-x,则 f(919)=________. 【解析】因为 f(x+4)=f(x-2), 所以 f[(x+2)+4]=f[(x+2)-2]即 f(x+6)=f(x),所以 f(x)是周期为 6 的周期函数, 所以 f(919)=f(153×6+1)=f(1). 又 f(x)是定义在 R 上的偶函数, 所以 f(1)=f(-1)=6,即 f(919)=6. 答案:6 - 5 - 考点三 函数性质的综合应用 命 题 精 解 读 1.考什么:(1)求函数值、解析式或参数值,奇偶性与单调性、奇偶性与周期性交汇等问题.(2)考查 数学运算、数学抽象、逻辑推理等核心素养. 2.怎么考:函数奇偶性、单调性、周期性以及对称性(奇偶性质的扩展)等知识单独或交汇考查. 学 霸 好 方 法 奇偶函数对称区间上的单调性 奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性. 求函数值、解析式或参数值 【典例】1.(2019·全国卷Ⅱ)已知 f(x)是奇函数,且当 x<0 时,f(x)=-eax.若 f(ln 2)=8,则 a=________________. 2.设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x<0 时,f(x)=2x2-x,则当 x>0 时,f(x)= ( ) A.2x2-x B.2x2+x C.-2x2-x D.-2x2+x 【解析】1.因为 ln 2>0,所以-ln 2<0,由于 f(x)是奇函数,所以 f(-ln 2)= -f(ln 2)=-8,即-e(-ln 2)a=-8,解得 a=-3. 答案:-3 2.选 C.当 x>0 时,-x<0,f(-x)=2(-x)2-(-x)=2x2+x,因为 f(x)是定义在 R 上的奇函数,所以 f(x)=-f(-x)=-2x2-x. 1.如何求奇偶函数对称区间上的解析式? 提示:将待求区间上的自变量转化到已知区间上,再利用奇偶性求出. 2.如何求奇偶函数对称区间上的函数值? 提示:将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解. 奇偶性与单调性交汇问题 - 6 - 【典例】函数 f(x)在(-∞,+∞)上是减少的,且为奇函数.若 f(1)=-1,则满足-1≤f(x-2)≤1 的 x 的取值范 围是 ( ) A.[-2,2] B.[-1,1] C.[0,4] D.[1,3] 【解析】选 D.由已知,得 f(-1)=1,使-1≤f(x)≤1 成立的 x 满足-1≤x≤1,所以由-1≤x-2≤1 得 1≤x≤3, 即使-1≤f(x-2)≤1 成立的 x 满足 1≤x≤3. 解决与抽象函数有关的不等式问题的关键是什么? 提示:利用题设条件,想办法去掉“f”符号即可解决. 奇偶性与周期性交汇问题 【典例】(2018·全国卷Ⅱ)已知 f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,满足 f(1-x)=f(1+x).若 f(1)=2,则 f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)= ( ) A.-50 B.0 C.2 D.50 【解析】选 C.f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,图像关于原点对称,满足 f(1-x)=f(1+x),则 f(x+4)=f(1-(x+3))=f(-x-2)=-f(x+2)=-f(1-(x+1))=-f(-x)=f(x),所以 f(x)是周期为 4 的函数. 又 f(1)=2,f(2)=f(1+1)=f(1-1)=f(0)=0,f(3)=f(-1)=-f(1)=-2,f(4)=f(0)=0, 所以 f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=12×0+f(1)+f(2)=2. 如何求解项数较多的式子的值? 提示:因为多项式个数较多,可能与函数的周期性有关,可依据题设条件,先探索函数的周期性,再去求解. 1.设函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 f(x)= 则 g(-8)= ( ) A.-2 B.-3 C.2 D.3 【解析】选 A.方法一:当 x<0 时,-x>0,且 f(x)为奇函数,则 f(-x)=log3(1-x),所以 f(x)=-log3(1-x).因此 g(x)=-log3(1-x),x<0,故 g(-8)=-log39=-2. 方法二:由题意知,g(-8)=f(-8)=-f(8)=-log39=-2. - 7 - 2.(2020·石家庄模拟)已知 f(x)是定义在 R 上以 3 为周期的偶函数,若 f(1)<1,f(5)= ,则实数 a 的取 值范围为 ( ) A.(-1,4) B.(-2,1) C.(-1,2) D.(-1,0) 【解析】选 A.因为函数 f(x)是定义在 R 上以 3 为周期的偶函数,所以 f(5)=f(-1)=f(1),即 <1,化简得 (a-4)(a+1)<0,解得-1