高考数学专题复习练习：考点规范练26 6页

考点规范练26　平面向量的数量积与平面向量的应用 ‎　考点规范练B册第17页　 ‎ 基础巩固 ‎1.对任意平面向量a,b,下列关系式中不恒成立的是(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A.|a·b|≤|a||b| B.|a-b|≤||a|-|b||‎ C.(a+b)2=|a+b|2 D.(a+b)·(a-b)=a2-b2‎ 答案B 解析A项,设向量a与b的夹角为θ,‎ 则a·b=|a||b|cos θ≤|a||b|,所以不等式恒成立;‎ B项,当a与b同向时,|a-b|=||a|-|b||;当a与b非零且反向时,|a-b|=|a|+|b|>||a|-|b||.故不等式不恒成立;‎ C项,(a+b)2=|a+b|2恒成立;‎ D项,(a+b)·(a-b)=a2-a·b+b·a-b2=a2-b2,故等式恒成立.‎ 综上,选B.‎ ‎2.已知a,b为单位向量,其夹角为60°,则(2a-b)·b=(　　)‎ A.-1 B.0 C.1 D.2‎ 答案B 解析由已知得|a|=|b|=1,a与b的夹角θ=60°,‎ ‎∴(2a-b)·b=2a·b-b2=2|a||b|cos θ-|b|2=2×1×1×cos 60°-12=0,故选B.‎ ‎3.(2016山西孝义模拟)已知向量a,b满足|a|=2,|b|=1,(a+b)·b=0,则向量a,b的夹角为(　　)‎ A.30° B.60° C.150° D.120°‎ 答案D 解析设向量a,b的夹角为θ,‎ 则(a+b)·b=a·b+b2=|a|·|b|cos θ+|b|2=0,‎ 即2×1×cos θ=-1,故cos θ=-‎1‎‎2‎.‎ 又θ∈[0°,180°],故θ=120°,故选D.‎ ‎4.已知向量p=(2,-3),q=(x,6),且p∥q,则|p+q|的值为(　　)‎ A.‎5‎ B.‎13‎ C.5 D.13‎ 答案B 解析由题意得2×6+3x=0,x=-4.|p+q|=|(2,-3)+(-4,6)|=|(-2,3)|=‎13‎.‎ ‎5.在四边形ABCD中,AC=(1,2),BD=(-4,2),则该四边形的面积为(　　)‎ A.‎5‎ B.2‎5‎ C.5 D.10‎ 答案C 解析依题意得,AC‎·‎BD=1×(-4)+2×2=0,∴AC‎⊥‎BD.‎ ‎∴四边形ABCD的面积为‎1‎‎2‎‎|‎AC||BD|=‎1‎‎2‎‎×‎5‎×‎‎20‎=5.‎ ‎6.(2016山东昌乐二中模拟)在△ABC中,AB边的高为CD,若CB=a,CA=b,a·b=0,|a|=1,|b|=2,则AD=(　　)‎ A.‎1‎‎3‎a-‎1‎‎3‎b B.‎2‎‎3‎a-‎2‎‎3‎b C.‎3‎‎5‎a-‎3‎‎5‎b D.‎4‎‎5‎a-‎4‎‎5‎b 答案D 解析∵a·b=0,∴∴CA‎⊥‎CB.‎ ‎∵|a|=1,|b|=2,∴AB=‎5‎.‎ 又CD⊥AB,∴由射影定理,得AC2=AD·AB.‎ ‎∴AD=‎4‎‎5‎‎=‎‎4‎‎5‎‎5‎.∴ADAB‎=‎4‎‎5‎‎5‎‎5‎=‎‎4‎‎5‎.‎ ‎∴AD‎=‎4‎‎5‎AB=‎4‎‎5‎(CB-‎CA)=‎4‎‎5‎(a-b),故选D.‎ ‎7.(2016河南郑州三模)已知P是双曲线x‎2‎‎3‎-y2=1上任意一点,过点P分别作曲线的两条渐近线的垂线,垂足分别为A,B,则PA‎·‎PB的值是(　　)‎ A.-‎3‎‎8‎ B.‎‎3‎‎16‎ C.-‎3‎‎8‎ D.不能确定〚导学号74920478〛‎ 答案A 解析设P(m,n),则m‎2‎‎3‎-n2=1,即m2-3n2=3.‎ 由双曲线x‎2‎‎3‎-y2=1的渐近线方程为y=±‎3‎‎3‎x.‎ 则由y=‎3‎‎3‎x,‎y-n=-‎3‎(x-m),‎解得交点A‎3m+‎3‎n‎4‎‎,‎‎3‎m+n‎4‎;‎ 由y=-‎3‎‎3‎x,‎y-n=‎3‎(x-m),‎解得交点B‎3m-‎3‎n‎4‎‎,‎n-‎3‎m‎4‎.‎ PA‎=‎‎3‎n-m‎4‎‎,‎‎3‎m-3n‎4‎‎,‎ PB‎=‎‎-m-‎3‎n‎4‎‎,‎‎-3n-‎3‎m‎4‎‎,‎ 则PA‎·PB=‎3‎n-m‎4‎×‎-m-‎3‎n‎4‎+‎3‎m-3n‎4‎×‎‎-3n-‎3‎m‎4‎=-‎2m‎2‎-6‎n‎2‎‎16‎=-‎6‎‎16‎=-‎3‎‎8‎.‎ ‎8.(2016北京,文9)已知向量a=(1,‎3‎),b=(‎3‎,1),则a与b夹角的大小为　　　　　. ‎ 答案π‎6‎ 解析设a与b的夹角为θ,则cos θ=a·b‎|a||b|‎‎=‎2‎‎3‎‎2×2‎=‎‎3‎‎2‎,且两个向量夹角范围是[0,π],∴所求的夹角为π‎6‎.‎ ‎9.(2016全国乙卷,文13)设向量a=(x,x+1),b=(1,2),且a⊥b,则x=　　　　　. ‎ 答案-‎‎2‎‎3‎ 解析∵a⊥b,∴a·b=x+2(x+1)=0,‎ 解得x=-‎2‎‎3‎.‎ ‎10.(2016内蒙古包头一模)设e1,e2是夹角为60°的两个单位向量,若a=e1+λe2与b=2e1-3e2垂直,则λ=　　　　　. ‎ 答案‎1‎‎4‎ 解析∵e1,e2是夹角为60°的两个单位向量,‎ ‎∴|e1|=|e2|=1,e1·e2=‎1‎‎2‎.‎ ‎∵(e1+λe2)⊥(2e1-3e2),‎ ‎∴(e1+λe2)·(2e1-3e2)=2e‎1‎‎2‎+(2λ-3)e1·e2-3λe‎2‎‎2‎=2+‎1‎‎2‎(2λ-3)-3λ=0.∴λ=‎1‎‎4‎.‎ ‎11.(2016山东昌乐二中模拟)已知|a|=2,|b|=1,(2a-3b)·(2a+b)=9.‎ ‎(1)求向量a与b的夹角θ;‎ ‎(2)求|a+b|及向量a在a+b方向上的投影.‎ 解(1)因为|a|=2,|b|=1,(2a-3b)·(2a+b)=9,‎ 所以4a2-3b2-4a·b=9,即16-8cos θ-3=9.‎ 所以cos θ=‎1‎‎2‎.‎ 因为θ∈[0,π],所以θ=π‎3‎.‎ ‎(2)由(1)可知a·b=|a||b|cosπ‎3‎=1,‎ 所以|a+b|=a‎2‎‎+b‎2‎+2a·b‎=‎‎7‎,a·(a+b)=a2+a·b=5.‎ 所以向量a在a+b方向上的投影为a·(a+b)‎‎|a+b|‎‎=‎5‎‎7‎=‎‎5‎‎7‎‎7‎.‎ 能力提升 ‎12.已知非零向量m,n满足4|m|=3|n|,向量m与n的夹角为θ,且cos θ=‎1‎‎3‎.若n⊥(tm+n),则实数t的值为(　　)‎ A.4 B.-4 C.‎9‎‎4‎ D.-‎9‎‎4‎〚导学号74920479〛‎ 答案B 解析由4|m|=3|n|,可设|m|=3k,|n|=4k(k>0),‎ 又n⊥(tm+n),所以n·(tm+n)=n·tm+n·n=t|m|·|n|cos θ+|n|2=t×3k×4k×‎1‎‎3‎+(4k)2=4tk2+16k2=0.所以t=-4,故选B.‎ ‎13.在矩形ABCD中,AB=1,AD=‎3‎,P为矩形内一点,且AP=‎3‎‎2‎,若AP=λAB+μAD(λ,μ∈R),则λ+‎3‎μ的最大值为(　　)‎ A.‎3‎‎2‎ B.‎6‎‎2‎ C.‎3+‎‎3‎‎4‎ D.‎6‎‎+3‎‎2‎‎4‎〚导学号74920480〛‎ 答案B 解析因为AP=λAB+μAD,‎ 所以|AP|2=|λAB+μAD|2.‎ 所以‎3‎‎2‎‎2‎=λ2|AB|2+μ2|AD|2+2λμAB‎·‎AD.‎ 因为AB=1,AD=‎3‎,AB⊥AD,所以‎3‎‎4‎=λ2+3μ2.‎ 又‎3‎‎4‎=λ2+3μ2≥2‎3‎λμ,‎ 所以(λ+‎3‎μ)2=‎3‎‎4‎+2‎3‎λμ≤‎3‎‎4‎‎+‎3‎‎4‎=‎‎3‎‎2‎.‎ 所以λ+‎3‎μ的最大值为‎6‎‎2‎,当且仅当λ=‎6‎‎4‎,μ=‎2‎‎4‎时等号成立.‎ ‎14.已知AB‎⊥‎AC,|AB|=‎1‎t,|AC|=t.若点P是△ABC所在平面内的一点,且AP‎=AB‎|AB|‎+‎‎4‎AC‎|AC|‎,则PB‎·‎PC的最大值等于(　　)‎ A.13 B.15 C.19 D.21〚导学号74920481〛‎ 答案A 解析以点A为原点,AB‎,‎AC所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系,如图.‎ 则A(0,0),B‎1‎t‎,0‎,C(0,t),‎ ‎∴AB‎|AB|‎=(1,0),AC‎|AC|‎=(0,1),‎ ‎∴AP‎=AB‎|AB|‎+‎‎4‎AC‎|AC|‎=(1,0)+4(0,1)=(1,4),‎ ‎∴点P的坐标为(1,4),PB‎=‎1‎t‎-1,-4‎,‎PC=(-1,t-4),∴PB‎·‎PC=1-‎1‎t-4t+16=-‎1‎t‎+4t+17≤-4+17=13.当且仅当‎1‎t=4t,即t=‎1‎‎2‎时等号成立,‎ ‎∴PB‎·‎PC的最大值为13.‎ ‎15.‎ ‎(2016河南驻马店期末)如图,在平行四边形ABCD中,已知AB=8,AD=5,CP=3PD‎,AP·‎BP=2,则AB‎·‎AD的值是　　　　　. ‎ 答案22‎ 解析∵CP=3PD,∴AP‎=AD+‎1‎‎4‎AB,BP=AD-‎‎3‎‎4‎AB.‎ 又AB=8,AD=5,‎ ‎∴AP‎·BP=AD‎+‎‎1‎‎4‎AB·‎AD‎-‎‎3‎‎4‎AB=|AD|2-‎1‎‎2‎AB‎·AD-‎3‎‎16‎|‎AB|2=25-‎1‎‎2‎AB‎·‎AD-12=2.‎ ‎∴AB‎·‎AD=22.‎ ‎16.(2016浙江,文15)已知平面向量a,b,|a|=1,|b|=2,a·b=1.若e为平面单位向量,则|a·e|+|b·e|的最大值是　　　　　.〚导学号74920482〛 ‎ 答案‎7‎ 解析设a与b的夹角为φ,由已知得φ=60°,不妨取a=(1,0),b=(1,‎3‎).‎ 设e=(cos α,sin α),‎ 则|a·e|+|b·e|=|cos α|+|cos α+‎3‎sin α|‎ ‎≤|cos α|+|cos α|+‎3‎|sin α|=2|cos α|+‎3‎|sin α|,‎ 当cos α与sin α同号时等号成立.‎ 所以2|cos α|+‎3‎|sin α|=|2cos α+‎3‎sin α|‎ ‎=‎7‎‎2‎‎7‎cosα+‎3‎‎7‎sinα‎=‎‎7‎|sin(α+θ)|‎　‎‎　‎其中sin θ=‎2‎‎7‎,cos θ=‎3‎‎7‎,取θ为锐角‎　‎‎　‎.显然‎7‎|sin(α+θ)|≤‎7‎.‎ 易知当α+θ=π‎2‎时,|sin(α+θ)|取最大值1,此时α为锐角,sin α,cos α同为正,因此上述不等式中等号能同时取到.故所求最大值为‎7‎.‎ 高考预测 ‎17.已知非零向量a,b满足|a|=2,且|a+b|=|a-b|,则向量b-a在向量a方向上的投影是　　　　　. ‎ 答案-2‎ 解析∵|a+b|=|a-b|,∴a⊥b,即a·b=0.‎ ‎∴(b-a)·a=a·b-a2=-4.‎ ‎∴向量b-a在向量a方向上的投影为‎(b-a)·a‎|a|‎‎=‎‎-4‎‎2‎=-2.‎