人教版七年级上册数学第四章几何图形初步线段长短的比较与运算教学课件 35页

第四章 几何图形初步 人教版 七年级数学上册 线段长短的比较与运算 导入新课 情境引入 观察这三组图形，你能比较出每 组图形中线段 a 和 b 的长短吗？ 三组图形中，线段a 与b的长度均相等 很多时候，眼见未必为实. 准确 比较线段的长短还需要更加严谨 的办法. (1) (2) (3) a b a a b b 讲授新课 线段长短的比较一 合作探究 做手工时，在没有刻度尺的条件下，若想从较 长的木棍上截下一段，使截下的木棒等于另一根短 木棒的长，我们常采用以上办法. 画在黑板上的线段是无法移动的，在只有圆 规和无刻度的直尺的情况下，请大家想想办法，如 何再画一条与它相等的线段？ 思考： 小提示：在可打开 角度的最大范围内， 圆规可截取任意长 度，相当于可以移 动的“小木棍”. 作一条线段等于已知线段 已知：线段 a，作一条线段 AB，使 AB=a. 第一步：用直尺画射线 AF； 第二步：用圆规在射线 AF 上截取 AB = a. ∴ 线段 AB 为所求. a A Fa B 在数学中，我们常限定用无刻度的直尺和 圆规作图，这就是尺规作图. 　　 你们平时是如何比较两个同学的身高 的？你能从比身高的方法中得到启示来比较 两条线段的长短吗？ 讨论： 160cm 170cm 比较两个同学高矮的方法： ——叠合法. ②让两个同学站在同一平地上，脚底平齐，观看 两人的头顶，直接比出高矮. ①用卷尺分别度量出两个同学的身高，将所得的 数值进行比较. ——度量法. DC B 试比较线段AB，CD的长短. (1) 度量法； (2) 叠合法 将其中一条线段“移”到另一条线段上，使其一 端点与另一线段的一端点重合，然后观察两条线段 另外两个端点的位置作比较. (A) C DA B 尺规作图 C D 1. 若点 A 与点 C 重合，点 B 落 在C，D之间，那么 AB CD. (A) B ＜ 叠合法结论： C D A B B(A) 2. 若点 A 与点 C 重合，点 B 与 点 D ，那么 AB = CD. 3. 若点 A 与点 C 重合，点 B 落 在 CD 的延长线上，那么 AB CD. 重合 ＞ BA BA C D (A) (B) 线段的和、差、倍、分二 在直线上画出线段 AB=a ，再在 AB 的延长线 上画线段 BC=b，线段 AC 就是 与 的和，记 作 AC= . 如果在 AB 上画线段 BD=b，那么线 段 AD 就是 与 的差，记作AD= . A B CD a+b a-b a b b 画一画 a b a+b a b a-b 1. 如图，点B，C在线段 AD 上则AB+BC=____； AD－CD=___；BC＝ ___ －___= ___ － ___. A B C D AC AC AC AB BD CD 做一做 2. 如图，已知线段a，b，画一条线段AB，使 AB=2a－b. a b A B2a－b 2a b 在一张纸上画一条线段，折叠纸片，使 线段的端点重合，折痕与线段的交点处于线 段的什么位置？ A BM A BM 如图，点 M 把线段 AB 分成相等的两条线段 AM 与 BM，点 M 叫做线段 AB 的中点. 类似地， 还有线段的三等分点、四等分点等. 线段的三等分点 线段的四等分点 A a a M B M 是线段 AB 的中点 几何语言：∵ M 是线段 AB 的中点 ∴ AM = MB = AB ( 或 AB = 2 AM = 2 MB ) 1 2 反之也成立：∵ AM = MB = AB ( 或 AB = 2 AM = 2 AB ) ∴ M 是线段 AB 的中点 1 2 点 M , N 是线段 AB 的三等分点： 1 3AM = MN = NB = ___ AB (或 AB = ___AM = ___ MN = ___NB)3 3 3 NM BA 例1 若 AB = 6cm，点 C 是线段 AB 的中点，点 D 是线段 CB 的中点，求：线段 AD 的长是多少? 解：∵ C 是线段 AB 的中点， ∵ D 是线段 CB 的中点， 典例精析 ∴ AC = CB = AB = ×6= 3 (cm).1 2 1 2 ∴ CD = CB = ×3=1.5 (cm).1 2 1 2 ∴ AD =AC + CD = 3 + 1.5 = 4.5 (cm). A C BD 例2 如图，B、C是线段AD上两点，且AB：BC：CD= 3：2：5，E、F分别是AB、CD的中点，且EF=24，求 线段AB、BC、CD的长． FE CB DA 解析：根据已知条件AB：BC：CD=3：2：5，不妨 设AB=3x,BC =2x,CD=5x,然后运用线段的和差倍分， 用含x的代数式表示EF的长，从而得到一个关于x的 一元一次方程，解方程，得到x的值，即可得到所 求各线段的长. FE CB DA 解：设AB=3x，BC=2x，CD=5x， 因为E、F分别是AB、CD的中点， 所以 1 3 ,2 2BE AB x  1 5 ,2 2CF CD x  所以EF=BE+BC+CF= 3 52 6 .2 2x x x x   因为EF=24，所以6x=24,解得x=4. 所以AB=3x=12，BC=2x=8，CD=5x=20. 方法总结：求线段的长度时，当题目中涉及到线段 长度的比例或倍分关系时，通常可以设未知数，运 用方程思想求解. 变式训练： 如图，已知线段AB和CD的公共部分BD= AB = CD，线段AB、CD的中点E、F之间距离是10cm， 求AB，CD的长． 1 31 4 FE BD CA 解析：根据已知条件，不妨设BD=xcm，则AB= 3xcm,CD=4xcm,易得AC=6xcm.在由线段中点的 定义及线段的和差关系，用含x的代数式表示EF 的长，从而得到一个一元一次方程，求解即可. 解：设BD=xcm,则AB=3xcm，CD=4xcm，AC =6xcm， 因为E、F分别是AB、CD的中点， 所以 1 3 cm,2 2AE AB x  1 2 cm,2CF CD x  所以EF=AC-AE-CF= 3 56 2 (cm).2 2x x x x   所以AB=3xcm=12cm，CD=4xcm=16cm. FE BD CA 因为EF=10，所以 x=10,解得x=4.5 2 例3 A，B，C三点在同一直线上，线段AB=5cm， BC=4cm，那么A，C两点的距离是（　　） A．1cm B．9cm C．1cm或9cm D．以上答案都不对 解析：分以下两种情况进行讨论：当点C在AB之 间上，故AC=AB-BC=1cm；当点C在AB的延长 线上时，AC=AB+BC=9cm． C 方法总结：无图时求线段的长，应注意分类讨论， 一般分以下两种情况：点在某一线段上；点在 该线段的延长线. 变式训练： 已知A，B，C三点共线，线段AB=25cm，BC=16cm， 点E，F分别是线段AB，BC的中点，则线段EF的长 为（　　） A．21cm或4cm B．20.5cm C．4.5cm D．20.5cm或4.5cm D 1. 如图，点C 是线段AB 的中点，若 AB = 8 cm， 则 AC = cm. A BC 4 C 练一练 A C B 2. 如图，下列说法，不能判断点C 是线段AB 的 中点的是 ( ) A. AC = CB B. AB = 2 AC C. AC + CB = AB D. CB = AB A C B 2 1 3. 如图，线段 AB =4 cm，BC = 6 cm，若点D 为 线段 AB 的中点，点 E 为线段 BC 的中点，求 线段 DE 的长. A D B E C 答案：DE 的长为 5 cm. 如图：从 A 地到 B 地有四条道路，除它们外 能否再修一条从 A 地到 B 地的最短道路？如果能， 请你联系以前所学的知识，在图上画出最短路线. 有关线段的基本事实 • • A B 议一议 经过比较，我们可以得到一个关于线段的基本 事实：两点的所有连线中，线段最短. 连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离. • • A B 你能举出这条性质在生活中的应用吗？ 简单说成： 两点之间，线段最短. 两点之间线段最短 1. 如图，这是 A，B 两地之间的公路，在公路工程 改造计划时，为使 A，B 两地行程最短，应如何 设计线路？请在图中画出，并说明理由. 想一想 . B A . 2. 把原来弯曲的河道改直，A，B 两地间的河道长 度有什么变化？ A B A，B 两地间的 河道长度变短. 1. 如图，AB+BC AC，AC+BC AB，AB+ AC BC (填“>”“<”或“=”). 其中蕴含的 数学道理是 . ＞ 两点之间线段最短 练一练 ＞ ＞ A B C 2. 在一条笔直的公路两侧，分别有 A，B 两个村庄， 如图，现在要在公路 l 上建一个汽车站 C，使汽 车站到 A，B 两村庄的距离之和最小，请在图中 画出汽车站的位置. C A B l 1. 下列说法正确的是 ( ) A. 两点间距离的定义是指两点之间的线段 B. 两点之间的距离是指两点之间的直线 C. 两点之间的距离是指连接两点之间线段的长度 D. 两点之间的距离是两点之间的直线的长度 2. 如图，AC = DB，则图中另外两条相等的线段为 _____________. 当堂练习 C A C D B AD＝BC 3.已知线段 AB = 6 cm，延长 AB 到 C，使 BC = 2 AB，若 D 为 AB 的中点，则线段 DC 的长 为________. CA D B 15 cm 4.点A，B，C在同一条数轴上，其中点A，B表示 的数分别是-3，1，若BC=5，则AC=_________．11或1 5. 如图：AB = 4 cm，BC = 3 cm，如果点O 是线 段 AC 的中点．求线段 OB 的长度． A B CO 解：∵ AC = AB + BC = 4+3=7 (cm)， 点O 为线段 AC 的中点， ∴ OC = AC= ×7 = 3.5 (cm)， ∴ OB = OC－BC = 3.5－3 = 0.5 (cm)． 1 2 1 2 6.已知，如图，B，C两点把线段AD分成2：5：3三部 分，M为AD的中点，BM=6，求CM和AD的长． D A C B M AD=10x=20 ． 解：设AB=2x，BC=5x，CD=3x, 所以AD=AB+BC+CD=10x. 因为M是AD的中点， 所以AM=MD=5x，所以BM=AM-AB=3x. 因为BM=6，即3x=6，所以x=2. 故CM=MD-CD=2x=4，