人教版七年级数学上册专题训练(十) 14页

第四章　几何图形初步 人教版 专题训练(十)　角的计算中的数学思想及动点问题 类型一　直接计算 1 ．如图，∠ AOC ＝∠ BOD ，∠ AOD ＝ 120° ， ∠ BOC ＝ 70° ，求∠ AOB 的度数． 类型二　方程思想 2 ．如图，已知∠ AOE 是平角，∠ DOE ＝ 20° ， OB 平分∠ AOC ，且∠ COD ∶∠ BOC ＝ 2∶3 ，求∠ BOC 的度数 . 解：设∠ COD ＝ 2 x ° ，则∠ BOC ＝ 3 x ° ，因为 OB 平分∠ AOC ，所以∠ AOB ＝ 3 x °. 所以 2 x ＋ 3 x ＋ 3 x ＋ 20 ＝ 180. 解得 x ＝ 20. 所以∠ BOC ＝ 3×20° ＝ 60° 3 ．如图，∠ AOB ∶∠ BOC ∶∠ COD ＝ 4∶5∶3 ， OM 平分∠ AOD ，∠ BOM ＝ 20° ，求∠ AOD 和∠ MOC 的度数 . 类型三　整体思想 4 ．如图，已知∠ AOB ＝ 110° ， OD 为∠ AOB 内一条射线， OE 平分∠ AOD ， OF 平分∠ BOD ，求∠ EOF 的度数． 5 ．如图， OB ， OC 是∠ AOD 内部的两条射线， OM 平分∠ AOB ， ON 平分∠ COD ，∠ MON ＝ 80°. (1) 若∠ BOC ＝ 40° ，求∠ AOD 的度数； (2) 若∠ AOD ＝ x ° ，求∠ BOC 的度数 ( 用含 x 的式子表示 ) 解： (1) 因为∠ MON －∠ BOC ＝∠ BOM ＋∠ CON ，∠ BOC ＝ 40° ，∠ MON ＝ 80° ，所以∠ BOM ＋∠ CON ＝ 80° － 40° ＝ 40° ，因为 OM 平分∠ AOB ， ON 平分∠ COD ，所以∠ AOM ＝∠ BOM ，∠ DON ＝∠ CON ，所以∠ AOM ＋∠ DON ＝ 40° ，所以∠ AOD ＝∠ MON ＋∠ AOM ＋∠ DON ＝ 80° ＋ 40° ＝ 120° (2) 因为∠ AOD ＝ x ° ，∠ MON ＝ 80° ，所以∠ AOM ＋∠ DON ＝∠ AOD －∠ MON ＝ ( x － 80)° ，因为∠ BOM ＋∠ CON ＝∠ AOM ＋∠ DON ＝ ( x － 80)° ，所以∠ BOC ＝∠ MON － (∠ BOM ＋∠ CON ) ＝ 80° － ( x － 80)° ＝ (160 － x )° 类型四　分类讨论思想 6 ．已知∠ AOB ＝ 60° ，其平分线为 OM ，∠ BOC ＝ 20° ，其平分线为 ON ，求∠ MON 的大小． 解：①∠ BOC 在∠ AOB 内部，如图① . 因为∠ AOB ＝ 60° ，其平分线为 OM ，所以∠ MOB ＝ 30°. 因为∠ BOC ＝ 20° ，其平分线为 ON ，所以∠ BON ＝ 10° ，所以∠ MON ＝∠ MOB －∠ BON ＝ 30° － 10° ＝ 20° ； ②∠ BOC 在∠ AOB 外部，如图② . 因为∠ AOB ＝ 60° ，其平分线为 OM ，所以∠ MOB ＝ 30°. 因为∠ BOC ＝ 20° ，其平分线为 ON ，所以∠ BON ＝ 10° ，所以∠ MON ＝∠ MOB ＋∠ BON ＝ 30° ＋ 10° ＝ 40°. 综上所述，∠ MON 为 20° 或 40° 7 ．如图，点 O 是直线 AB 上的一点，∠ COD 是直角， OE 平分∠ BOC . (1) 若∠ AOC ＝ 30° ，求∠ DOE 的度数； (2) 在 (1) 的条件下，∠ BOC 的内部有一射线 OG ， 射线 OG 将∠ BOC 分为 1∶4 两部分，求∠ DOG 的度数 . 类型五　角的计算中的动点问题 8 ．如图①，直线 DE 上有一点 O ，过点 O 在直线 DE 上方作射线 OC ，将一直角三角板 AOB (∠ OAB ＝ 30°) 的直角顶点放在点 O 处，一条直角边 OA 在射线 OD 上，另一边 OB 在直线 DE 上方．将直角三角板绕着点 O 按每秒 10° 的速度逆时针旋转一周，设旋转时间为 t 秒． (1) 当直角三角板旋转到如图②所示的位置时， OA 恰好平分∠ COD ，此时，∠ BOC 与∠ BOE 之间有何数量关系？请说明理由； (2) 若射线 OC 的位置保持不变，且∠ COE ＝ 140°. ① 在旋转的过程中，是否存在某个时刻，使得射线 OA ， OC ， OD 中的某一条射线是另两条射线所夹角的平分线？若存在，请直接写出所有满足题意的 t 的取值；若不存在，请说明理由； ②在旋转的过程中，当边 AB 与射线 OE 相交时 ( 如图③ ) ，求∠ AOC －∠ BOE 的度数． 解： (1)∠ BOC ＝∠ BOE ，理由：因为∠ AOB ＝ 90° ，所以∠ BOC ＋∠ AOC ＝ 90° ，∠ AOD ＋∠ BOE ＝ 90° ，因为 OA 平分∠ COD ，所以∠ AOD ＝∠ AOC ，所以∠ BOC ＝∠ BOE (2)① 存在，理由：当 OA 平分∠ COD 时，∠ AOD ＝∠ AOC ，即 10 t ＝ 20 ，解得 t ＝ 2 ；当 OC 平分∠ AOD 时，∠ AOC ＝∠ COD ，即 10 t － 40 ＝ 40 ，解得 t ＝ 8 ；当 OD 平分∠ AOC 时，∠ AOD ＝∠ COD ，即 360 － 10 t ＝ 40 ，解得 t ＝ 32. 综上， t 的值为 2 ， 8 ， 32 ② 因为∠ AOC ＝∠ COE －∠ AOE ＝ 140° －∠ AOE ，∠ BOE ＝ 90° －∠ AOE ，所以∠ AOC －∠ BOE ＝ (140° －∠ AOE ) － (90° －∠ AOE ) ＝ 50° ，所以∠ AOC －∠ BOE 的度数为 50°