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  • 2021-10-21 发布

人教版七年级数学上册第四章4.3角

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第四章 几何图形初步 4.3角 第3课时 1. 了解余角、补角的概念,掌握余角和补角的性质, 并能利用余角、补角的知识解决相关问题.(重点、 难点) 2. 了解方位角的概念,并能用方位角知识解决一些 简单的实际问题.(难点) 学习目标 导入新课 情境引入 将一张长方形纸片, 沿一个角折叠后,折痕与 长方形的边形成了4个角. 1 2 3 4 思考: 1. ∠1 与∠2 有什么数量关系? ∠1+∠2 = 90° 2. ∠3与∠4有什么数量关系? ∠3+∠4 = 180° 讲授新课 1 如果两个角的和等于90°( 直角 ),就说这 两个角互为余角 ( 简称为两个角互余 ). 如图,可以说 ∠1 是 ∠2 的余角,或 ∠2 是 ∠1的余角,或 ∠1和 ∠2互余. 2 余角和补角的概念 图中给出的各角,哪些互为余角? 15o 24o 66o 75o 46.2o 43.8o 如果两个角的和等于180°(平角),就说这 两个角互为补角 ( 简称为两个角互补 ). 如图,可以说 ∠3 是 ∠4 的补角,或 ∠4 是 ∠3 的补角,或 ∠3 和 ∠4 互补. 4 3 图中给出的各角,哪些互为补角? 10o 30o 60o 80o 100o 120o 150o 170o 例1 若一个角的补角等于它的余角的 4 倍,求这 个角的度数. 解:设这个角为 x°,则它的补角是 ( 180-x )°, 余角是 ( 90-x )° . 根据题意,得 180-x = 4 ( 90-x ) . 解得 x = 60. 答:这个角的度数是 60 °. 典例精析 练一练 已知 ∠A 与∠B 互余,且 ∠A 的度数比∠B 度数的 3 倍还多30°,求∠B的度数. 解:设∠B的度数为x°,则 ∠A 的度数为 (3x+30)°. 根据题意得: x + ( 3x+30 ) = 90. 解得 x=15. 故 ∠B 的度数为15°. 例2 如图,已知O为AD上一点,∠AOC与∠AOB 互补,OM,ON分别为∠AOC,∠AOB的平分线, 若∠MON=40°,试求∠AOC与∠AOB的度数. O D A B C N M 解:设∠AOB=x, 因为∠AOC与∠AOB互补, 则∠AOC=180°-x. 因为OM,ON分别为∠AOC, ∠AOB的平分线, 所以∠AOM= ,∠AOM= .1 ( )2 x180 - 1 2 x O D A B C N M 所以 1 1( ) 40 ,2 2x x  180 - 解得x=50°,则180°-x=130°. 即∠AOB=50°, ∠AOC=130°. ∠α ∠α的余角 ∠α的补角 5° 32° 45° 77° 62°23′ x°(0<x<90) 27°37′ 117°37′ 85° 175° 58° 148° 45° 135° 103°13° 观察与思考 (90-x)° (180-x)° 观察可得结论: 锐角的补角比它的余角大_____.90° ∠1 与∠2,∠3都互为补角, ∠2 与∠3 的大小有什么关系? 思考: 1 2 同角 (等角) 的补角相等.结论: 3 ∠2=180°-∠1 ∠3=180°-∠1 同角 (等角) 的余角相等.类似地,可以得到: = 余角和补角的性质 例3 如图,点A,O,B在同一直线 上,射线 OD 和射线 OE 分别平分 ∠AOC 和∠BOC,图中哪些角互 为余角? 解:因为点A,O,B在同一直线 上,所以 ∠AOC 和 ∠BOC 互为补角. O A B C D E 又因为射线 OD 和射线 OE 分别平分∠AOC 和∠BOC,所 以∠COD+∠COE= ∠AOC+ ∠BOC = (∠AOC+∠BOC ) = 90°. 1 2 1 2 1 2 O A B C D E 所以∠COD和∠COE互为余角, 同理∠AOD和∠BOE,∠AOD和∠COE, ∠COD和∠BOE也互为余角. 如图,O为直线AB上一点,OD平分∠AOC,∠DOE=90°. (1)∠AOD的余角是_______________,∠COD的余角是 _________________; (2 )OE是∠BOC的平分线吗?请说明理由. 变式训练 ∠COE、∠BOE O A B C D E ∠COE、∠BOE 解:OE平分∠BOC,理由如下: ∵∠DOE=90°,∴∠AOD+∠BOE=90°, ∴∠COD+∠DOE=90°, ∴∠AOD+∠BOE=∠COD+∠DOE, ∵OD平分∠AOC∴∠AOD=∠COD, ∴∠COE=∠BOE,∴OE平分∠BOC. 如图,已知∠AOB=90°, ∠AOC= ∠BOD,则与 ∠AOC互余的角有__________________.∠BOC 和 ∠AOD 练一练 O A B C D 东西 北 南 O 正东: 正南: 正西: 正北: 西北方向: 西南方向: 东北方向: 东南方向: 射线 OA A B C D 45° E GF H 45° 八大方位 45°45° 射线 OB 射线 OC 射线 OD 射线 OE 射线 OF 射线 OH 射线 OG 方位角 45° 如图,说出下列方位 (1) 射线 OA 表示的方向 为 . (2) 射线 OB 表示的方向 为 ___ _ . (3) 射线 OC 表示的方向 为 . (4) 射线 OD 表示的方向 为 . 北 东西 南 C A B D 北偏东 40° 北偏西 65° 南偏西 45°(西南) 南偏东 20° 40°65° 70° O 20° 例4 如图,货轮O在航行过程中,发现灯塔A在它南偏东 60°的方向上. 同时,在它北偏东40°,南偏西10°,西 北(即北偏西45°) 方向上又分别发现了客 轮B,货轮C和海岛D. 仿照表示灯塔方位的 方法画出表示客轮B, 货轮C和海岛D方向的 射线. 东 南 西 北 60° ● B 40° 10° 45° C ● ● A ● D O● 费俊龙、聂海胜乘坐“神舟”六号遨游太空时, 我国当时派出远望一号~四号船队,跟踪检测. 其中 远望一、二号停在太平洋洋面上,某一时刻,分别 测得神舟六号在北偏东60°和北偏东30°的方向, 你能在下图中画出当时神舟六号所处的位置吗? ● ● 远望一号 远望二号 练一练 ● ● 远望一号 远望二号 60° 30° ● 当堂练习 1.一个角的余角是它的2倍,这个角的度数是( ) A.30° B.45° C.60° D.75° A 2.下列说法正确的是(  ) A.一个角的补角一定大于它本身 B.一个角的余角一定小于它本身 C.一个钝角减去一个锐角的差一定是一个锐角 D.一个角的余角一定小于其补角 D 3.已知∠A与∠B互余,∠B与∠C互补,若∠A=60°, 则∠C的度数是_______.150 ° 4. ∠1 与 ∠2 互余,∠1 = (6x + 8)°,∠2 = (4x-8)°, 则∠1= ,∠2= .62° 28° 5. 如图,已知∠ACB=∠CDB=90°. (1) 图中有哪几对互余的角? (2) 图中哪几对角是相等的角(直角除外)?为什么? 答案:∠A+∠B=90° ∠A+∠2=90° ∠1+∠B=90° ∠1+∠2=90° 答案:∠B=∠2 ∠A=∠1 ( 同角的余角相等 ) ( 同角的余角相等 ) A C D 12 B 60° 30° 6. 垃圾打捞船 A 和 B 都停驻在湖边观测湖面,从 A 船发现它的北偏东60°方向有白色漂浮物, 同时,从 B 船也发现该白色漂浮物在它的北偏 西30°方向. (1) 试在图中确定白色漂浮物C的位置; A B 北 北C 60° 北 A. 南偏东30° B. 南偏西30° C. 南偏东60° D. 南偏西60° (2) 点 C 在点 A 的北偏东60°的方向上,那么点 A 在点 C 的______方向上. 60° 30° A B 北 北 C D 课堂小结 互余 互补 两角间的 数量关系 对应图形 性质 1 2 90     ( 1 90 2)    同角或等角的 余角相等 1 2 180     ( 1 180 2)    同角或等角的 补角相等 方 位 角 物体运动的方向与正北、正南方向之 间的夹角称为方位角,一般以正北、 正南为基准,用向东或向西旋转的角 度表示方向 定义 书写 通常要先写北或南,再写偏东或偏西