人教版七年级数学上册第四章4.3角 29页

第四章 几何图形初步 4.3角 第3课时 1. 了解余角、补角的概念，掌握余角和补角的性质， 并能利用余角、补角的知识解决相关问题.(重点、 难点) 2. 了解方位角的概念，并能用方位角知识解决一些 简单的实际问题.(难点) 学习目标 导入新课 情境引入 将一张长方形纸片， 沿一个角折叠后，折痕与 长方形的边形成了4个角. 1 2 3 4 思考： 1. ∠1 与∠2 有什么数量关系？ ∠1+∠2 = 90° 2. ∠3与∠4有什么数量关系？ ∠3+∠4 = 180° 讲授新课 1 如果两个角的和等于90°( 直角 )，就说这 两个角互为余角 ( 简称为两个角互余 ). 如图，可以说 ∠1 是 ∠2 的余角，或 ∠2 是 ∠1的余角，或 ∠1和 ∠2互余. 2 余角和补角的概念 图中给出的各角，哪些互为余角？ 15o 24o 66o 75o 46.2o 43.8o 如果两个角的和等于180°(平角)，就说这 两个角互为补角 ( 简称为两个角互补 ). 如图，可以说 ∠3 是 ∠4 的补角，或 ∠4 是 ∠3 的补角，或 ∠3 和 ∠4 互补. 4 3 图中给出的各角，哪些互为补角？ 10o 30o 60o 80o 100o 120o 150o 170o 例1 若一个角的补角等于它的余角的 4 倍，求这 个角的度数. 解：设这个角为 x°，则它的补角是 ( 180－x )°， 余角是 ( 90－x )° . 根据题意，得 180－x = 4 ( 90－x ) . 解得 x = 60. 答：这个角的度数是 60 °. 典例精析 练一练 已知 ∠A 与∠B 互余，且 ∠A 的度数比∠B 度数的 3 倍还多30°，求∠B的度数. 解：设∠B的度数为x°，则 ∠A 的度数为 (3x+30)°. 根据题意得： x + ( 3x+30 ) = 90. 解得 x=15. 故 ∠B 的度数为15°. 例2 如图，已知O为AD上一点，∠AOC与∠AOB 互补，OM，ON分别为∠AOC，∠AOB的平分线， 若∠MON=40°，试求∠AOC与∠AOB的度数． O D A B C N M 解：设∠AOB=x， 因为∠AOC与∠AOB互补， 则∠AOC=180°-x． 因为OM，ON分别为∠AOC， ∠AOB的平分线， 所以∠AOM= ，∠AOM= .1 ( )2 x180 - 1 2 x O D A B C N M 所以 1 1( ) 40 ,2 2x x  180 - 解得x=50°，则180°-x=130°. 即∠AOB=50°， ∠AOC=130°. ∠α ∠α的余角 ∠α的补角 5° 32° 45° 77° 62°23′ x°(0＜x＜90) 27°37′ 117°37′ 85° 175° 58° 148° 45° 135° 103°13° 观察与思考 (90－x)° (180－x)° 观察可得结论： 锐角的补角比它的余角大_____.90° ∠1 与∠2，∠3都互为补角， ∠2 与∠3 的大小有什么关系？ 思考： 1 2 同角 (等角) 的补角相等.结论： 3 ∠2=180°－∠1 ∠3=180°－∠1 同角 (等角) 的余角相等.类似地，可以得到： = 余角和补角的性质 例3 如图，点A，O，B在同一直线 上，射线 OD 和射线 OE 分别平分 ∠AOC 和∠BOC，图中哪些角互 为余角？ 解：因为点A，O，B在同一直线 上，所以 ∠AOC 和 ∠BOC 互为补角. O A B C D E 又因为射线 OD 和射线 OE 分别平分∠AOC 和∠BOC，所 以∠COD+∠COE= ∠AOC+ ∠BOC = (∠AOC+∠BOC ) = 90°. 1 2 1 2 1 2 O A B C D E 所以∠COD和∠COE互为余角， 同理∠AOD和∠BOE，∠AOD和∠COE， ∠COD和∠BOE也互为余角. 如图，O为直线AB上一点，OD平分∠AOC，∠DOE=90°． （1）∠AOD的余角是_______________，∠COD的余角是 _________________; （2 ）OE是∠BOC的平分线吗？请说明理由． 变式训练 ∠COE、∠BOE O A B C D E ∠COE、∠BOE 解：OE平分∠BOC，理由如下： ∵∠DOE=90°，∴∠AOD+∠BOE=90°， ∴∠COD+∠DOE=90°， ∴∠AOD+∠BOE=∠COD+∠DOE， ∵OD平分∠AOC∴∠AOD=∠COD， ∴∠COE=∠BOE，∴OE平分∠BOC． 如图,已知∠AOB=90°， ∠AOC= ∠BOD，则与 ∠AOC互余的角有__________________.∠BOC 和 ∠AOD 练一练 O A B C D 东西 北 南 O 正东： 正南： 正西： 正北： 西北方向： 西南方向： 东北方向： 东南方向： 射线 OA A B C D 45° E GF H 45° 八大方位 45°45° 射线 OB 射线 OC 射线 OD 射线 OE 射线 OF 射线 OH 射线 OG 方位角 45° 如图，说出下列方位 (1) 射线 OA 表示的方向 为 . (2) 射线 OB 表示的方向 为 ___ _ . (3) 射线 OC 表示的方向 为 . (4) 射线 OD 表示的方向 为 . 北 东西 南 C A B D 北偏东 40° 北偏西 65° 南偏西 45°(西南) 南偏东 20° 40°65° 70° O 20° 例4 如图，货轮O在航行过程中，发现灯塔A在它南偏东 60°的方向上. 同时，在它北偏东40°，南偏西10°，西 北(即北偏西45°) 方向上又分别发现了客 轮B，货轮C和海岛D. 仿照表示灯塔方位的 方法画出表示客轮B， 货轮C和海岛D方向的 射线. 东 南 西 北 60° ● B 40° 10° 45° C ● ● A ● D O● 费俊龙、聂海胜乘坐“神舟”六号遨游太空时， 我国当时派出远望一号~四号船队，跟踪检测. 其中 远望一、二号停在太平洋洋面上，某一时刻，分别 测得神舟六号在北偏东60°和北偏东30°的方向， 你能在下图中画出当时神舟六号所处的位置吗？ ● ● 远望一号 远望二号 练一练 ● ● 远望一号 远望二号 60° 30° ● 当堂练习 1.一个角的余角是它的2倍，这个角的度数是（　） A．30° B．45° C．60° D．75° A 2.下列说法正确的是（　　） A．一个角的补角一定大于它本身 B．一个角的余角一定小于它本身 C．一个钝角减去一个锐角的差一定是一个锐角 D．一个角的余角一定小于其补角 D 3.已知∠A与∠B互余，∠B与∠C互补，若∠A=60°， 则∠C的度数是_______.150 ° 4. ∠1 与 ∠2 互余，∠1 = (6x + 8)°，∠2 = (4x－8)°， 则∠1= ，∠2= .62° 28° 5. 如图，已知∠ACB=∠CDB=90°. (1) 图中有哪几对互余的角？ (2) 图中哪几对角是相等的角(直角除外)？为什么？ 答案：∠A+∠B=90° ∠A+∠2=90° ∠1+∠B=90° ∠1+∠2=90° 答案：∠B=∠2 ∠A=∠1 ( 同角的余角相等 ) ( 同角的余角相等 ) A C D 12 B 60° 30° 6. 垃圾打捞船 A 和 B 都停驻在湖边观测湖面，从 A 船发现它的北偏东60°方向有白色漂浮物， 同时，从 B 船也发现该白色漂浮物在它的北偏 西30°方向. (1) 试在图中确定白色漂浮物C的位置； A B 北 北C 60° 北 A. 南偏东30° B. 南偏西30° C. 南偏东60° D. 南偏西60° (2) 点 C 在点 A 的北偏东60°的方向上，那么点 A 在点 C 的______方向上. 60° 30° A B 北 北 C D 课堂小结 互余 互补 两角间的 数量关系 对应图形 性质 1 2 90     ( 1 90 2)    同角或等角的 余角相等 1 2 180     ( 1 180 2)    同角或等角的 补角相等 方 位 角 物体运动的方向与正北、正南方向之 间的夹角称为方位角，一般以正北、 正南为基准，用向东或向西旋转的角 度表示方向 定义 书写 通常要先写北或南，再写偏东或偏西