2020-2021学年安徽省合肥市包河区九年级（上）期中数学试卷 解析版 24页

2020-2021学年安徽省合肥市包河区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分）1．如果4x＝3y，那么下列结论正确的是（　　）A．＝B．＝C．＝D．x＝4，y＝32．函数y＝3（x﹣2）2+4的图象的顶点坐标是（　　）A．（3，4）B．（﹣2，4）C．（2，4）D．（2，﹣4）3．如图，AD，BC相交于点O，AB∥CD．若AB＝1，CD＝2，则△ABO与△DCO的面积之比为（　　）A．1：2B．1：4C．2：1D．4：14．将抛物线y＝（x+1）2向右平移3个单位，再向上平移1个单位，则平移后抛物线的解析式是（　　）A．y＝（x+4）2+1B．y＝（x+4）2﹣1C．y＝（x﹣2）2﹣1D．y＝（x﹣2）2+15．共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放a辆单车，计划第三个月投放单车y辆，设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是（　　）A．y＝x2+aB．y＝a（1+x）2C．y＝（1﹣x）2+aD．y＝a（1﹣x）26．如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与△A1B1C1相似的是（　　） A．B．C．D．7．如图所示是一个抛物线形桥拱的示意图，在所给出的平面直角坐标系中，当水位在AB位置时，水面宽度为10m，此时水面到桥拱的距离是4m，则抛物线的函数关系式为（　　）A．y＝B．y＝﹣C．y＝﹣D．y＝8．勾股定理与黄金分割是几何中的双宝，前者好比黄金，后者堪称珠玉．生活中到处可见黄金分割的美．在设计人体雕像时，使雕像的下部（腰以下）与全部（全身）的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感．如果雕像的高为2m，那么它的下部应设计为（结果保留两位小数）（　　）A．1.23mB．1.24mC．1.25mD．1.236m9．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝CD＝BD＝，DE⊥AB于E．AE的长为（　　）A．3B．C．D． 10．若二次函数y＝ax2+bx+c的图象的顶点在第一象限，且过点（0，1）和（﹣1，0），则s＝a+b+c的值的变化范围是（　　）A．0＜s＜1B．0＜s＜2C．1＜s＜2D．﹣1＜s＜2二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）11．（5分）若，则＝　　．12．（5分）反比例函数，当x＞0时，y随x的增大而减小，写出一个m的可能值　　．13．（5分）如图，△ABC的中线BE、CD交于点G，则值为　　．14．（5分）如图，正方形OPQR内接于△ABC，已知△AOR，△BOP，△CRQ的面积分别为S1＝1，S2＝3，S3＝1，那么正方形OPQR的边长＝　　．三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15．（8分）已知抛物线的顶点坐标是（1，﹣4），且经过点（0，﹣3），求与该抛物线相应的二次函数表达式．16．（8分）已知：，求的值．四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．（8分）如图，DE∥AB，EF∥BC，AF＝5cm，FB＝3cm，CD＝2cm，求BD的长． 18．（8分）已知：二次函数y＝ax2+1的图象与反比列函数的图象有一个公共点是（﹣1，﹣1）．（1）求二次函数及反比例函数解析式；（2）在同一坐标系中画出它们的图象，说明x取何值时，二次函数与反比例函数都随x的增大而减小．五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19．（10分）如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点E，且∠ABD＝∠ACD．（1）求证：＝；（2）求证：∠DAC＝∠CBD． 20．（10分）某超市销售一种饮料，每瓶进价为9元，当每瓶售价为10元时，日均销售量为560瓶，经市场调查表明，当售价超过10元时，每瓶售价每增加0.5元，日均销售量减少40瓶．（1）当每瓶售价为11元时，日均销售量为　　瓶；（2）当每瓶售价为多少元时，所得日均总利润最大？最大日均总利润为多少元？六、解答题（本题12分）21．（12分）如图，已知反比例函数与一次函数y＝x+b的图象在第一象限内相交于点A（1，﹣k+4）．（1）试确定这两个函数的表达式；（2）求出这两个函数图象的另一个交点B的坐标，并求△AOB的面积；（3）直接写出不等式≥x+b的解集．七、解答题（本题12分）22．（12分）已知二次函数y＝（x﹣m）2﹣1（m为常数）． （1）求证：不论m为何值，该函数图象与x轴总有两个公共点；（2）当1≤x≤3时，y的最小值为3，求m的值．八、解答题（本题14分）23．（14分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5cm，∠BAC＝60°，动点M从点B出发，在BA边上以每秒2cm的速度向点A匀速运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒cm的速度向点B匀速运动，设运动时间为t秒（0≤t≤5），连接MN．（1）若△MBN与△ABC相似，求t的值．（2）当t为何值时，四边形ACNM的面积最小？并求出最小值． 2020-2021学年安徽省合肥市包河区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分）1．如果4x＝3y，那么下列结论正确的是（　　）A．＝B．＝C．＝D．x＝4，y＝3【分析】根据等式的性质，依次分析各个选项，选出正确的选项即可．【解答】解：A．若＝，等式两边同时乘以12得：4x＝3y，A项正确，B．若＝，等式两边同时乘以12得：3x＝4y，B项错误，C．若＝，等式两边同时乘以3y得：3x＝4y，C项错误，D．若x＝4，y＝3，则3x＝4y，D项错误，故选：A．2．函数y＝3（x﹣2）2+4的图象的顶点坐标是（　　）A．（3，4）B．（﹣2，4）C．（2，4）D．（2，﹣4）【分析】由函数解析式即可求得答案．【解答】解：∵y＝3（x﹣2）2+4，∴函数图象顶点坐标为（2，4），故选：C．3．如图，AD，BC相交于点O，AB∥CD．若AB＝1，CD＝2，则△ABO与△DCO的面积之比为（　　） A．1：2B．1：4C．2：1D．4：1【分析】根据相似三角形的判定与性质即可求出答案．【解答】解：∵AB∥CD，∴△AOB∽△DOC，∵，∴，故选：B．4．将抛物线y＝（x+1）2向右平移3个单位，再向上平移1个单位，则平移后抛物线的解析式是（　　）A．y＝（x+4）2+1B．y＝（x+4）2﹣1C．y＝（x﹣2）2﹣1D．y＝（x﹣2）2+1【分析】根据图象的平移规律：左加右减，上加下减，可得答案．【解答】解：将抛物线y＝（x+1）2向右平移3个单位，再向上平移1个单位，则平移后抛物线的解析式是y＝（x+1﹣3）2+1，即y＝（x﹣2）2+1，故选：D．5．共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放a辆单车，计划第三个月投放单车y辆，设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是（　　）A．y＝x2+aB．y＝a（1+x）2C．y＝（1﹣x）2+aD．y＝a（1﹣x）2【分析】主要考查增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），如果设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x ，然后根据已知条件可得出方程．【解答】解：设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，依题意得第三个月第三个月投放单车a（1+x）2辆，则y＝a（1+x）2．故选：B．6．如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与△A1B1C1相似的是（　　）A．B．C．D．【分析】根据相似三角形的判定方法一一判断即可．【解答】解：因为△A1B1C1中有一个角是135°，选项中，有135°角的三角形只有B，且满足两边成比例夹角相等，故选：B．7．如图所示是一个抛物线形桥拱的示意图，在所给出的平面直角坐标系中，当水位在AB位置时，水面宽度为10m，此时水面到桥拱的距离是4m，则抛物线的函数关系式为（　　）A．y＝B．y＝﹣C．y＝﹣D．y＝ 【分析】抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，解析式符合最简形式y＝ax2，把点A或点B的坐标代入即可确定抛物线解析式．【解答】解：依题意设抛物线解析式y＝ax2，把B（5，﹣4）代入解析式，得﹣4＝a×52，解得a＝﹣，所以y＝﹣x2．故选：C．8．勾股定理与黄金分割是几何中的双宝，前者好比黄金，后者堪称珠玉．生活中到处可见黄金分割的美．在设计人体雕像时，使雕像的下部（腰以下）与全部（全身）的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感．如果雕像的高为2m，那么它的下部应设计为（结果保留两位小数）（　　）A．1.23mB．1.24mC．1.25mD．1.236m【分析】把雕像的高2m乘以0.618，然后进行近似计算．【解答】解：∵雕像的下部（腰以下）与全部（全身）的高度比值接近0.618，∴雕像的下部（腰以下）的长＝0.618×2≈1.24（m）．故选：B．9．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝CD＝BD＝，DE⊥AB于E．AE的长为（　　） A．3B．C．D．【分析】首先由两个角对应相等的三角形相似，证得△ABC∽△DBE；又由相似三角形的对应边成比例，可得，设AE＝x，则BE＝5﹣x，得出，解方程可得出答案．【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝CD＝BD＝，∴BC＝2，∴AB＝＝＝5，设AE＝x，则BE＝5﹣x，∵DE⊥AB，∴∠C＝∠BED＝90°，∵∠B＝∠B，∴△ABC∽△DBE，∴，∴，解得，x＝3．故选：A．10．若二次函数y＝ax2+bx+c的图象的顶点在第一象限，且过点（0，1）和（﹣1，0），则s＝a+b+c的值的变化范围是（　　）A．0＜s＜1B．0＜s＜2C．1＜s＜2D．﹣1＜s＜2 【分析】代入两点的坐标可得出c＝1、a＝b﹣1，进而可得出s＝2b，由抛物线的顶点在第一象限可得出﹣＞0且a＜0，解之可得出b＞0，再根据b＝a+1、a＜0，即可得出0＜s＜2，此题得解．【解答】解：将点（0，1）和（﹣1，0）代入y＝ax2+bx+c，，解得：，∴s＝a+b+c＝2b．∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象的顶点在第一象限，∴对称轴x＝﹣＞0且a＜0，∴，b＞0．又∵b＝a+1，a＜0，∴2b＝2a+2＜2，∴0＜s＜2．故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）11．（5分）若，则＝　　．【分析】直接利用已知得出a＝b，再代入化简得出答案．【解答】解：∵，∴a＝b，则＝＝＝．故答案为：． 12．（5分）反比例函数，当x＞0时，y随x的增大而减小，写出一个m的可能值　4　．【分析】利用反比例函数的性质可得m﹣2＞0，再解即可．【解答】解：∵当x＞0时，y随x的增大而减小，∴m﹣2＞0，解得：m＞2，∴m可以是4，故答案为：4．13．（5分）如图，△ABC的中线BE、CD交于点G，则值为　　．【分析】根据三角形重心的性质即可求解．【解答】解：∵△ABC的中线BE、CD交于点G，∴CG：DG＝2：1，∴＝＝．故答案为：．14．（5分）如图，正方形OPQR内接于△ABC，已知△AOR，△BOP，△CRQ的面积分别为S1＝1，S2＝3，S3＝1，那么正方形OPQR的边长＝　2　． 【分析】在PQ上取一点E，使得PE＝QC，连接OE，利用正方形的性质得出条件，判定△OPE≌△RQC（SAS），再利用有两个角分别相等的三角形相似判定△BOE∽△OAR，然后利用相似三角形的性质得出S△ABC的值，则可求得正方形OPQR的面积，最后求得其算术平方根即可．【解答】解：在PQ上取一点E，使得PE＝QC，连接OE，如图：∵四边形OPQR为正方形，∴OP＝RQ，∠OPE＝∠RQP＝90°，∴∠RQC＝90°，∴∠OPE＝∠RQC．在△OPE和△RQC中，，∴△OPE≌△RQC（SAS），∴S△BOE＝S2+S3＝4．∠OEP＝∠C，∵正方形OPQR中OR∥PQ，∴∠B＝∠AOR，∠C＝∠ARO，∴∠OEP＝∠ARO，∴△BOE∽△OAR， ∴＝＝，∴＝．又∵OR∥PQ，∴△ABC∽△AOR，∴S△ABC＝•S△AOR＝9．∴S正方形OPQR＝S△ABC﹣S1﹣S2﹣S3＝9﹣1﹣3﹣1＝4．∴正方形OPQR的边长为2．故答案为：2．三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15．（8分）已知抛物线的顶点坐标是（1，﹣4），且经过点（0，﹣3），求与该抛物线相应的二次函数表达式．【分析】设顶点式y＝a（x﹣1）2﹣4，然后把（0，﹣3）代入求出a即可得到抛物线解析式．【解答】解：设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4，把（0，﹣3）代入得﹣3＝a（0﹣1）2﹣4，解得a＝1，所以二次函数表达式为y＝（x﹣1）2﹣4，即y＝x2﹣2x﹣3．16．（8分）已知：，求的值．【分析】直接利用已知设x＝2a，y＝3a，z＝4a，进而代入得出答案．【解答】解：∵，∴设x＝2a，y＝3a，z＝4a， ∴＝＝＝．四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．（8分）如图，DE∥AB，EF∥BC，AF＝5cm，FB＝3cm，CD＝2cm，求BD的长．【分析】根据平行线分线段成比例解答即可．【解答】解：∵DE∥AB，EF∥BC，AF＝5cm，FB＝3cm，CD＝2cm，∴，∴＝，∴，解得：BD＝cm．18．（8分）已知：二次函数y＝ax2+1的图象与反比列函数的图象有一个公共点是（﹣1，﹣1）． （1）求二次函数及反比例函数解析式；（2）在同一坐标系中画出它们的图象，说明x取何值时，二次函数与反比例函数都随x的增大而减小．【分析】（1）根据二次函数y＝ax2+1与反比例函数有一个公共点是（﹣1，﹣1），求出a、k即可．（2）画出函数图象，根据图象解答即可．【解答】解：（1）把（﹣1，﹣1）分别代入y＝ax2+1与，解得：a＝﹣2，k＝1，∴二次函数为y＝﹣2x2+1，反比例函数y＝；（2）画出函数图象如图：由图象可知，当x＞0时，二次函数与反比例函数值都随x的增大而减小．五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19．（10分）如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点E，且∠ABD＝∠ACD．（1）求证：＝；（2）求证：∠DAC＝∠CBD． 【分析】（1）依据∠ABD＝∠ACD，∠AEB＝∠DEC，即可得到△ABE∽△DCE，进而得出比例式；（2）依据＝，∠AED＝∠BEC，即可判定△ADE∽△BCE，进而得出∠DAC＝∠CBD．【解答】证明：（1）∵∠ABD＝∠ACD，∠AEB＝∠DEC，∴△ABE∽△DCE，∴；（2）∵，∴＝，又∵∠AED＝∠BEC，∴△ADE∽△BCE，∴∠DAC＝∠CBD．20．（10分）某超市销售一种饮料，每瓶进价为9元，当每瓶售价为10元时，日均销售量为560瓶，经市场调查表明，当售价超过10元时，每瓶售价每增加0.5元，日均销售量减少40瓶．（1）当每瓶售价为11元时，日均销售量为　480　瓶；（2）当每瓶售价为多少元时，所得日均总利润最大？最大日均总利润为多少元？ 【分析】（1）根据日均销售量为560﹣40×计算可得；（2）根据“总利润＝每瓶利润×日均销售量”列出函数解析式，将其配方成顶点式，利用二次函数的性质解答即可．【解答】解：（1）当每瓶的售价为11元时，日均销售量为560﹣40×＝480瓶，故答案为：480；（2）设每瓶的售价为x元，日均利润为y，则y＝（x﹣9）（560﹣40×）＝﹣80x2+2080x﹣12240＝﹣80（x﹣13）2+1280，当x＝13时，y取得最大值，最大值为1280，答：当每瓶售价为13元时，所得日均总利润最大，最大日均总利润为1280元．六、解答题（本题12分）21．（12分）如图，已知反比例函数与一次函数y＝x+b的图象在第一象限内相交于点A（1，﹣k+4）．（1）试确定这两个函数的表达式；（2）求出这两个函数图象的另一个交点B的坐标，并求△AOB的面积；（3）直接写出不等式≥x+b的解集． 【分析】（1）先把A点坐标代入反比例函数的解析式中便可求得k，进而把求得的A点坐标代入一次函数的解析式中便可求得一次函数；（2）联立方程组便可求得B点的坐标，求出OC，再由△AOC和△BOC的面积和，便可求得结果；（3）根据直线在双曲线上方部分的x的取值范围进行解答．【解答】解：（1）把A（1，﹣k+4）代入中，得﹣k+4＝，∴k＝2，∴反比例函数的解析式为：y＝，A点的坐标为（1，2），把A（1，2）代入y＝x+b中，得2＝1+b，∴b＝1，∴一次函数的解析式为：y＝x+1；（2）联立方程组，解得，或，∴B（﹣2，﹣1），令y＝0，则y＝x+1＝0，得x＝﹣1， ∴C（﹣1，0），∴OC＝1，∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝+＝；（3）由函数图象可知，直线在双曲线下方时，x＜﹣2或0＜x＜1，∴不等式≥x+b的解集是x≤﹣2或0＜x≤1．七、解答题（本题12分）22．（12分）已知二次函数y＝（x﹣m）2﹣1（m为常数）．（1）求证：不论m为何值，该函数图象与x轴总有两个公共点；（2）当1≤x≤3时，y的最小值为3，求m的值．【分析】（1）通过解方程（x﹣m）2﹣1＝0时，利用△与0的关系可判断该函数图象与x轴总有两个公共点；（2）抛物线的对称轴为直线x＝m，讨论：当m＜1时，根据二次函数的性质得x＝1时，y＝3，则（1﹣m）2﹣1＝3；当1＜m＜3时，x＝m，y＝﹣1不合题意舍去；当m＞3时，根据二次函数的性质得到x＝3，y＝3，所以（3﹣m）2﹣1＝3，然后解关于m的方程得到满足条件的m的值．【解答】（1）证明：当y＝0时，（x﹣m）2﹣1＝0，即：x2﹣2mx+m2﹣1＝0，∵△＝4m2﹣4（m2﹣1）＝4＞0即不论m为何值，该函数图象与x轴总有两个公共点；（2）抛物线的对称轴为直线x＝m，当m＜1时，y随x增大而增大，故当x＝1时，y有最小值． x＝1时，y＝3，所以（1﹣m）2﹣1＝3，解得m1＝3（舍去），m2＝﹣1；当1＜m＜3时，x＝m，y＝﹣1不合题意舍去；当m＞3时，y随x增大而减小，故当x＝3时，y有最小值，当x＝3时，y＝3，所以（3﹣m）2﹣1＝3，解得m1＝1（舍去），m2＝5；综上所述，m的值为﹣1或5．八、解答题（本题14分）23．（14分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5cm，∠BAC＝60°，动点M从点B出发，在BA边上以每秒2cm的速度向点A匀速运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒cm的速度向点B匀速运动，设运动时间为t秒（0≤t≤5），连接MN．（1）若△MBN与△ABC相似，求t的值．（2）当t为何值时，四边形ACNM的面积最小？并求出最小值．【分析】（1）分两种情况：①当△MBN∽△ABC时，由相似三角形的对应边成比例得出比例式，即可得出t的值；②当△NBM∽△ABC 时，由相似三角形的对应边成比例得出比例式，即可得出t的值；（2）过M作MD⊥BC于点D，则MD∥AC，证出△BMD∽△BAC，得出比例式求出MD＝t．四边形ACNM的面积y＝△ABC的面积﹣△BMN的面积，得出y是t的二次函数，由二次函数的性质即可得出结果．【解答】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，∠BAC＝60°，∴∠B＝30°，∴AB＝2AC＝10，BC＝5．分两种情况：①当△MBN∽△ABC时，则，即，解得：t＝．②当△NBM∽△ABC时，同理可得：t＝，综上所述：当t＝或时，△MBN与△ABC相似；（2）过M作MD⊥BC于点D，则MD∥AC，∴△BMD∽△BAC，∴，即＝， 解得：MD＝t．设四边形ACNM的面积为y，y＝×5×5﹣（5﹣t）t＝（t﹣2.5）2+．根据二次函数的性质可知，当t＝2.5时，y的值最小值为．