七年级数学下册第7章二元一次方程组7-3三元一次方程组及其解法教学课件华东师大版 20页

* 7.3 三元一次方程组及其解法 1. 经历探索三元一次方程组的解法的过程 . 2. 会解三元一次方程组 . 3. 能利用三元一次方程组解决简单的实际问题 . 小明手头有 12 张面额分别为 1 元、 2 元、 5 元的纸 币，共计 22 元，其中 1 元纸币的数量是 2 元纸币数量的 4 倍 . 求 1 元、 2 元、 5 元纸币各多少张 . 问题中含有几个未知数？有几个相等关系？ 小明手头有 12 张面额分别为 1 元、 2 元、 5 元的纸币，共 计 22 元，其中 1 元纸币的数量是 2 元纸币数量的 4 倍 . 求 1 元、 2 元、 5 元纸币各多少张 . 【 解析 】 （ 1 ）这个问题中包含有 个未知数 : 1 元、 2 元、 5 元纸币的张数 （ 2 ）这个问题中包含有 个相等关系： 1 元纸币张数＋ 2 元纸币张数＋ 5 元纸币张数＝ 12 张 1 元纸币 的张数＝ 2 元纸币的张数的 4 倍 1 元纸币的金额＋ 2 元纸币的金额＋ 5 元纸币的金额＝ 22 元 三 三 交流探索 设 1 元、 2 元、 5 元的纸币分别为 x 张、 y 张、 z 张 根据题意，可以得到下面三个方程： x+y+z=12 x=4y x+2y+5z=22 ① ② ③ 你能根据等量关系列出方程吗 ? x+y+z=12 x=4y x+2y+5z=22 ① ② ③ 观察方程①、③你能得出什么？ 含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都 是 1 ，像这样的方程叫做 三元一次方程 . 概念学习 这个问题的解必须同时满足上面三个条件，因此，我 们把这三个方程合在一起，写成 x+y+z=12 x=4y x+2y+5z=22 这个方程组含有 三个未知数 ，每个方程中含未知数 的 项的次数都是 1 ，并且一共有 三个方程 ，像这样的方 程组叫做 三元一次方程组 . 如何解三元一次方程组呢？ x+y+z=12 x=4y x+2y+5z=22 是不是类似于解二元一次方程组先把三元化为二 元，再把二元化为一元呢？ 议一议 解三元一次方程组的基本思路与解二元一次方程组的 基本思路一样，即 三元一次方程组 消元 二元一次方程组 消元 一元一次方程 归纳 【 例 】 解三元一次方程组 3x ＋ 4z=7 ① 2x ＋ 3y ＋ z=9 ② 5x － 9y ＋ 7z=8 ③ 【 分析 】 方程①中只含 x,z, 因此， 可以由②③消去 y ，得到一个只含 x ， z 的方程，与方程①组成一个二 元一次方程组 . 【 例题 】 ② ×3 ＋③ ，得 11x ＋ 10z=35 ④ ① 与④组成方程组 解这个方程组，得 把 x ＝ 5 ， z ＝ -2 代入②，得 y= 因此，三元一次方程组的解为 3x ＋ 4z=7 11x ＋ 10z=35 x=5 z=-2 3x ＋ 4z=7 ① 2x ＋ 3y ＋ z=9 ② 5x － 9y ＋ 7z=8 ③ x=5 y= z=-2 【 解析 】 x ＋ y － z ＝ 6 x － 3y ＋ 2z ＝ 1 3x ＋ 2y － z ＝ 4 解三元一次方程组 ① ② ③ 【 答案 】 【 跟踪训练 】 1. 在方程 5x － 2y ＋ z ＝ 3 中，若 x ＝－ 1 ， y ＝－ 2 ， 则 z ＝ _______. 【 解析 】 把 x=-1,y=-2 代入方程中，即 可求出 z 的值 . 答案： 4 2. 解方程组 , 则 x ＝ _____ ， y ＝ ______ ， z ＝ _______. x ＋ y － z ＝ 11 y ＋ z － x ＝ 5 z ＋ x － y ＝ 1 ① ② ③ 【 解析 】 通过观察未知数的系数，可采取 ① + ② 求出 y ， ② + ③ 求出 z ，最后再将 y 与 z 的值代 入任何一个方程求出 x 即可 . 答案： 6 8 3 3. 若 x ＋ 2y ＋ 3z ＝ 10 ， 4x ＋ 3y ＋ 2z ＝ 15 ，则 x ＋ y ＋ z 的 值为（ ） A.2 B.3 C.4 D.5 【 解析 】 选 D. 通过观察未知数的系数，可采取 两个方程 相加得， 5x+5y+5z=25 ，所以 x+y+z=5. 4. 在等式 y=ax 2 ＋ bx ＋ c 中 , 当 x=-1 时 ,y=0; 当 x=2 时 ,y=3; 当 x=5 时 ,y=60. 求 a,b,c 的值 解： 根据题意，得三元一次方程组 a － b ＋ c= 0 ① 4a ＋ 2b ＋ c=3 ② 25a ＋ 5b ＋ c=60 ③ ② －①， 得 a ＋ b=1 ④ ③ －①，得 4a ＋ b=10 ⑤ ④ 与⑤组成二元一次方程组 a ＋ b=1 4a ＋ b=10 a=3 b=-2 解这个方程组，得 把 代入①，得 a=3 b=-2 ｛ c=-5 a=3 b=-2 c=-5 因此 答： a=3, b=-2, c=-5. 5. 某农场 300 名职工耕种 51 公顷土地，计划种植水稻、 棉花和蔬菜，已知种植农作物每公顷所需的劳动力人数及 投入的资金如下表： 农作物品种 每公顷所需劳动力 每公顷投入资金 水稻 4 人 1 万元 棉花 8 人 1 万元 蔬菜 5 人 2 万元 已知农场计划投入 67 万元，应该怎样安排这三种农作物 的种植面积，才能使所有职工都有工作，而且投入的资 金正好够用？ 解： 设安排 x 公顷种水稻、 y 公顷种棉花、 z 公顷种蔬菜 . 答： 安排 15 公顷种水稻、 20 公顷种棉花、 16 公顷种蔬菜 . 4x+8y+5z=300 x+y+2z=67 x+y+z=51 x=15 y=20 解得： z=16 1. 三元一次方程组的解法 2. 三元一次方程组的应用 三元一次方程组 消元 二元一次方程组 消元 一元一次方程 通过本课时的学习，需要我们掌握： 速度就是一切，它是竞争不可或缺的因素 .