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- 2021-10-22 发布
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第二课时 二元一次方程组的应用(二)
教学目标
1.学会利用二元一次方程组解决简单的实际问题,会归纳列方程组解决实际问题的一般步骤.
2.通过解决实际问题的教学,掌握使用方程去反映现实世界中的等量关系的方法与思想,体会代数方法的优越性,再次感受二元一次方程组与现实生活的联系和作用.
教学重难点
以方程组为工具分析、解决含有多个未知数的实际问题是重点,根据题意找出等量关系是难点.
教学过程
导入新课
导入方式一:
前面我们结合实际问题,讨论了用方程组表示问题中的条件以及如何解方程组.本节我们继续探究如何用方程组解决实际问题.
(说明:开门见山,直接提出本节学习目标,强化本章的中心问题.)
导入方式二:
出示问题:养牛场原有30只大牛和15只小牛,1天约用饲料675 kg;一周后又购进12只大牛和5只小牛,这时1天约用饲料940 kg.饲养员李大叔估计每只大牛1天约需饲料18~20 kg,每只小牛1天约需饲料7~8 kg.你能否通过计算检验他的估计?
(说明:以学生身边的实际问题展开讨论,突出数学与现实的联系.)
推进新课
一、探索新知
活动
1.探索分析,解决问题
学生思考、讨论.
判断李大叔的估计是否正确的方法有两种:
(1)先假设李大叔的估计正确,再根据问题中给定的数量关系来检验.
(2)根据问题中给定的数量关系求出平均每只大牛和每只小牛1天各约需用饲料量,再来判断李大叔的估计是否正确.
学生在比较探究后发现用方法(2)较简便.
(说明:引导学生探寻解题思路,并对各种方法进行比较,方法(1)主要是估算的运用,而方法(2)是方程思想的应用.)
设问1.如果选择方法(2),如何计算平均每只大牛和每只小牛1天各约需用饲料量?
(有前面几节的知识准备,学生可以回答)
列方程组求解.
主要思路:
学生先独立思考,然后师生共同讨论解题过程.
解:设平均每只大牛和每只小牛1天各约需用饲料x kg和y kg,
根据题意可列方程组
解这个方程组,
得
(说明:规范解题步骤,培养学生有条理地思考、表达的习惯.)
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这就是说,平均每只大牛和每只小牛1天各约需用饲料20 kg和5 kg.饲养员李大叔对大牛的食量估计正确,对小牛的食量估计不正确.
(说明:让学生认识到检验的重要性,并学会正确作答.)
归纳:
活动
2.拓广探索,比较分析
设问2.以上问题还能列出不同的方程组吗?结果是否一致?
个别学生可能会列出如下方程组
但结果一致.
(说明:比较分析,加深对方程组的认识.)
活动
3.归纳总结
列二元一次方程组解应用题的步骤可归纳如下:(1)审题,弄清题意和题目中的数量关系;(2)设未知数,用字母(如x,y)表示题目中的两个未知数,可以直接设,也可以间接设;(3)找出能够表示实际问题全部含义的两个相等关系;(4)根据这些相等关系列出需要的代数式,再列出方程并组成方程组;(5)解这个方程组,求出未知数的值;(6)检验方程组的解,看所求得的解是否符合题意,不符合题意的解应该舍去;(7)写出答语(包括单位名称).
二、应用新知
【例2】 据统计资料,甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1∶1.5.现要把一块长200 m,宽100 m的长方形土地,分为两块小长方形土地,分别种植这两种作物.怎样划分这块土地,使甲、乙两种作物的总产量的比是3∶4(结果取整数)?
1.探索分析,研究策略
如何解决这一实际问题呢?
学生自主探索,合作交流,整理思路:
(1)先明确有两种方法可分割长方形,即横向或纵向.
(2)确定分割线的位置,也就是确定面积比.
(3)面积比与总产量比及单位面积产量比之间有关.
(4)选取数学工具求解.
……
学生经讨论后发现列方程组求解较为方便.
2.合作交流,解决问题
总结学生的讨论结果:
种植方案一:如图,甲、乙两种作物的种植区域分别为长方形AEFD和EBCF,设AE=x m,EB=y m,长方形土地的长为200 m,所以x+y=200.①
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总产量=面积×单位面积产量.
设甲的单位面积产量为a,因为甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1∶1.5,所以乙的单位面积产量就是1.5a.
甲种作物的总产量为100xa,乙种作物的总产量为100y×1.5a,根据总产量比值是3∶4可以列出第二个方程(100xa)∶(100y×1.5a)=3∶4.②
将①②两个方程联立就可以得到方程组
将方程②化简,得2x∶3y=3∶4.
所以8x=9y.③
由①,得y=200-x.④
将④代入③,得8x=9(200-x).
所以x=≈106.
把x=106代入④,得y=200-106=94.
所以这种种植方案为:过长方形土地长边上离一端约106 m处,把这块地分为两个长方形,较大一块地种甲种作物,较小一块地种乙种作物.
你能求出第二种种植方案吗?试试看.
(具体过程由学生写出.)
三、拓展提升
学生在手工实践课中,遇到这样一个问题:要用20张白卡纸制作包装纸盒,每张白卡纸可以做盒身2个,或者做盒底盖3个.如果1个盒身和2个盒底盖可以做成一个包装纸盒,那么能否将这些白卡纸分成两部分,一部分做盒身,一部分做盒底盖,使做成的盒身和盒底盖正好配套?请你设计一种分法.
按以下步骤展开问题的讨论:
(1)学生独立思考,选择数学模型.
(2)小组讨论达成共识,形成解题思路.
(3)学生板书交流.
(4)对方程组的解进行探究和讨论,从而得到实际问题的结果.
【引申问题1】 如果用1个盒身和1个盒底做成无盖的纸盒,这20张白卡纸如何分法才能使做成的盒身和盒底正好配套?
【引申问题2】 针对这一问题背景,你能提出一个探索性问题吗?
(说明:安排开放题,以利于培养学生的探索精神和创新意识.)
本课小结
通过学习用二元一次方程组解决实际问题,同学们不仅要学会分析阅读材料,从给定问题中寻找等量关系,从而建立数学模型,还要了解同一数学问题并非只有一种方案,往往是多元化的,要从不同角度来观察问题、解决问题.
有趣的诗歌算题
在我国民间流传着许多诗歌形式的数学算题,这些题目叙述生动、活泼,它们大都是关于方程或
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方程组的应用题.由于诗歌的语言通俗易懂、雅俗共赏,因而一扫纯数学的枯燥乏味之感,令人耳目一新、回味无穷.下面采撷几例用方程组解的应用题,共同赏析.
一、周瑜寿属
而立之年督东吴,早逝英年两位数;
十比个位正小三,个位六倍与寿符;
哪位同学算得快,多少年寿属周瑜?
诗中的“寿”指的是年龄.诗的意思是:周瑜病逝时的年龄是一个大于30的两位数,其十位上的数字比个位上的数字小3,个位上的数字的6倍正好等于这个两位数,求这个两位数.
解:设这个两位数的十位上的数字为x,个位上的数字为y,
根据题意,得解得
答:这个两位数是36,即周瑜共活了36岁.
二、官兵分布
一千官兵一千布,一官四尺无零数;
四兵才得布一尺,请问官兵多少数?
这首诗的意思是:一千名官兵分一千尺布,一名军官分四尺,四名士兵分一尺,正好分完,问军官和士兵各多少名?
解:设有x名军官,y名士兵,
根据题意,得
解得
答:有200名军官,800名士兵.
三、老头买梨
一群老头去赶集,半路买了一堆梨;
一人一个多一个,一人两个少两梨;
请问君子知道否,几个老头几个梨?
这首诗的意思是:若干个人分若干个梨,如果一人分一个,那么还剩余一个梨;如果一人分两个,那么少两个梨,不够分配,问共有多少个人和多少个梨?
解:设有x个老头,y个梨,
根据题意,得解得
答:有3个老头,4个梨.
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