2020-2021学年湘教 版九年级下册数学《第1章 二次函数》单元测试卷（有答案） 17页

2020-2021 学年湘教新版九年级下册数学《第 1 章 二次函数》单 元测试卷 一．选择题 1．设 a，b，c 分别是二次函数 y＝﹣x2+3 的二次项系数、一次项系数、常数项，则（ ） A．a＝﹣1，b＝3，c＝0 B．a＝﹣1，b＝0，c＝3 C．a＝﹣1，b＝3，c＝3 D．a＝1，b＝0，c＝3 2．若将抛物线 y＝x2﹣3 向上平移 5 个单位长度，则得到的新抛物线的顶点坐标为（ ） A．（0，2） B．（0，﹣8） C．（5，﹣3） D．（﹣5，﹣3） 3．二次函数 y＝ x2+3x+ 化为 y＝（x﹣h）2+k 的形式，结果正确的是（ ） A． B． C． D． 4．小强在一次训练中，掷出的实心球飞行高度 y（米）与水平距离 x（米）之间的关系大致 满足二次函数 y＝﹣ x2+ x+ ，则小强此次成绩为（ ） A．8 米 B．10 米 C．12 米 D．14 米 5．二次函数 y＝ax2+bx+c 的图象如图所示，那么一次函数 y＝ax+b 的图象大致是（ ） A． B． C． D． 6．抛物线 y＝3（x+1）2﹣3 的顶点是（ ） A．（1，3） B．（1，﹣3） C．（﹣1，3） D．（﹣1，﹣3） 7．二次函数 y＝ax2+bx 的图象如图所示，则（ ） A．a＞0，b＞0 B．a＞0，b＜0 C．a＜0，b＞0 D．a＜0，b＜0 8．若点 A（﹣2，y1），B（0，y2），C（﹣ ，y3）是二次函数 y＝ax2﹣2a+1（a 是常数， 且 a＜0）的图象上三点，则 y1，y2，y3 的大小关系为（ ） A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y2＞y3＞y1 D．y3＞y1＞y2 9．如图，在等腰 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝4，F 是 AB 边上的中点，点 D、E 分别在 AC、BC 边上运动，且保持 AD＝CE．连接 DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，下 列结论： ① △DEF 是等腰直角三角形； ② 四边形 CDFE 不可能为正方形， ③ △DEF 的 面积最小值为 2； ④ 在此运动变化的过程中，四边形 CDFE 的始终为面积 4； ⑤ △CDE 面积的最大值为 3．其中正确的结论是（ ） A． ①②③ B． ①④⑤ C． ①③④ D． ③④⑤10．如图，已知二次函数 y1＝ax2+bx+c 与一次函数 y2＝kx+m 的图象相交于点 A（﹣3，5）， B（7，2），则能使 y1≤y2 成立的 x 的取值范围是（ ） A．2≤x≤5 B．x≤﹣3 或 x≥7 C．﹣3≤x≤7 D．x≥5 或 x≤2 二．填空题 11．如图，某名运动员推铅球，铅球行进高度 y（m）与水平距离 x（m）之间的关系是 y＝ ﹣ x2+ x+ ，此运动员将铅球推出的距离是 m． 12．某公司 10 月份的产值是 100 万元，如果该公司第四季度每个月产值的增长率相同，都 为 x（x＞0），12 月份的产值为 y 万元，那么 y 关于 x 的函数解析式是 ． 13．设 y1 与 y2 都是 x 的二次函数（y1 有最小值），且 y1+y2＝﹣x2﹣8x+4，已知当 x＝m 时， y1＝y2＝﹣8，当 x＝﹣m 时，y1＝y2＝8，则 m 的值为 ． 14．下表是二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的自变量 x 与函数值 y 的对应关系，一元二次方 程 ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个近似解 x 的值大约是 （精确到 0.1） x 6.1 6.2 6.3 6.4 y＝ax2+bx+c ﹣0.3 ﹣0.1 0.2 0.4 15．已知二次函数图象的顶点坐标为（1，﹣3），且过点（2，0），则这个二次函数的解析 式 ． 16．若点 P（a，b）在抛物线 y＝﹣2x2+2x+1 上，则 a﹣b 的最小值为 ． 17．在等式 y＝ax2+bx+c 中，当 x＝1 时，y＝5；当 x＝﹣1 时，y＝﹣2．下列结论一定正确 的有 （填序号即可）． ① a+b+c＝5； ② b＝ ； ③ 3a﹣2b+3c＝1； ④ 若 a＜0，则 a﹣b+3c＞﹣1． 18．若抛物线 y＝x2﹣x﹣k（k 为常数）与 x 轴的两个交点都在 x 轴的正半轴上，则 k 的取值 范围是 ． 19．已知二次函数 y＝ax2+bx+c（a＜0）与一次函数 y＝kx+1 图象交于 A（﹣3，m），B（1， n）两点，则关于 x 的不等式 ax2+（b﹣k）x+c≥1 的解集为 ． 20．如图，抛物线 y＝ 的图象与坐标轴交于点 A，B，D，顶点为 E，以 AB 为直 径画半圆交 y 正半轴交于点 C，圆心为 M，P 是半圆上的一动点，连接 EP． ① 点 E 在 ⊙ M 的内部； ② CD 的长为 ； ③ 若 P 与 C 重合，则∠DPE＝15°； ④ 在 P 的运动过程中，若 AP＝ ，则 PE＝ ⑤ N 是 PE 的中点，当 P 沿半圆从点 A 运动至点 B 时，点 N 运动的路径长是 2 π ． 以上 5 个结论正确的是 ；（填写序号） 三．解答题 21．已知：二次函数 y＝x2﹣1． （1）写出此函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标； （2）画出它的图象． 22．已知抛物线 y＝x2﹣mx+2m﹣1 过定点 H． （1）求出 H 的坐标． （2）若抛物线经过点 A（0，1），求证：该抛物线恒在直线 y＝﹣2x﹣1 上方． 23．如图，函数 y＝﹣x2+ x+c（﹣2020≤x≤1）的图象记为 L1，最大值为 M1；函数 y＝﹣ x2+2cx+1（1≤x≤2020）的图象记为 L2，最大值为 M2．L1 的右端点为 A，L2 的左端点为 B，L1，L2 合起来的图形记为 L． （1）当 c＝1 时，求 M1，M2 的值； （2）若把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，当点 A，B 重合时，求 L 上“美点” 的个数； （3）若 M1，M2 的差为 ，直接写出 c 的值． 24．已知二次函数 y＝ax2+bx+c 的图象如图所示：求二次函数的函数表达式． 25．已知：抛物线 y＝x2﹣4x+3． （1）它与 x 轴交点的坐标为 ，与 y 轴交点的坐标为 ，顶点坐标为 ． （2）在坐标系中画出此抛物线． 26．已知函数 y＝（m2﹣m）x2+mx+（m+1），m 是常数． （1）若这个函数是一次函数，求 m 的值； （2）若这个函数是二次函数，求 m 的值． 27．已知抛物线 y＝ax2+bx+c 过点 A（6，0）． （1）若点（0，1）也在该抛物线上，求 a，b 满足的关系式． （2）若该抛物线与直线 y＝3 只有一个交点 P，抛物线上任意不同两点（x1，y1），（x2， y2）都满足：当 x1＜x2＜3 时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0；当 3＜x1＜x2 时，（x1﹣x2）（y1 ﹣y2）＜0．点 B 在对称轴 l 右侧的二次函数图象上运动，OB 交 l 于点 M，点 M、N 关于 点 P 对称，连接 BN、ON． ① 连接 OP，当 OP＝ MN 时，请判断△NOB 的形状，并求出此时点 B 的坐标． ② 求证：NM 平分∠ONB． 参考答案与试题解析 一．选择题 1．解：二次函数 y＝﹣x2+3 的二次项系数是 a＝﹣1，一次项系数是 b＝0，常数项是 c＝3； 故选：B． 2．解：将抛物线 y＝x2﹣3 向上平移 5 个单位长度，则所得到抛物线为：y＝x2+2． 则平移后的抛物线的顶点坐标为：（0，2）． 故选：A． 3．解：y＝ x2+3x+ ＝ （x2+6x+9﹣9+5）＝ （x+3）2+2． 故选：A． 4．解：在 y＝﹣ x2+ x+ 中，当 y＝0 时，﹣ x2+ x+ ＝0， 解得 x1＝﹣2（舍去），x2＝10， 即小强此次成绩为 10 米， 故选：B． 5．解：∵y＝ax2+bx+c 的图象的开口向下， ∴a＜0， ∵对称轴在 y 轴的左侧， ∴b＜0， ∴一次函数 y＝ax+b 的图象经过二，三，四象限． 故选：C． 6．解：由 y＝3（x+1）2﹣3，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（﹣1，﹣3）， 故选：D． 7．解：如图，抛物线的开口向下，则 a＜0，． 抛物线的对称轴位于 y 轴的左侧，则 a、b 同号，即 b＜0． 综上所述，a＜0，b＜0． 故选：D． 8．解：y＝ax2﹣2ax+1（a 是常数，且 a＜0）， 对称轴是直线 x＝﹣ ＝1， 即二次函数的开口向下，对称轴是直线 x＝1， 即在对称轴的左侧 y 随 x 的增大而增大， ∵﹣2＜﹣ ＜0＜1， ∴y2＞y3＞y1， 故选：C． 9．解：连结 CF，如图， ∵△ABC 为直角三角形， ∴∠A＝45°， ∵F 是等腰直角△ABC 斜边上的中点， ∴CF＝AF＝BF，CF⊥AB，∠1＝45°， 在△ADF 和△CEF 中， ， ∴△ADF≌△CEF（SAS）， ∴DF＝EF，∠3＝∠2， ∵∠3+∠CFD＝90°， ∴∠2+∠CFD＝90°，即∠DFE＝90°， ∴△DEF 为等腰直角三角形，所以 ① 正确； 当 FD⊥AC 时，FE⊥BC，则 AD＝CE＝ AC，此时四边形 CDFE 为正方形，所以 ② 错 误； ∵△DEF 为等腰直角三角形， ∴DE＝ FD， 当 FD⊥AC 时，FD 的长度最小，此时 FD＝ AC＝2， ∴△DEF 的面积最小值为 ＝2，所以 ③ 正确； ∵△ADF≌△CEF， ∴S△ADF＝S△CEF， ∴四边形 CDFE 的面积＝S△ACF＝ S△ABC＝ ×4×4＝4，所以 ④ 正确； ∵S△CDE＝S 四边形 CDFE﹣S△DEF＝4﹣S△DEF， 而当 FD⊥AC 时，FD 的长度最小，此时 FD＝ AC＝2， ∴S△DEF 的最小值为 ×2×2＝2， ∴△CDE 面积的最大值为 4﹣2＝2，所以 ⑤ 错误． 故选：C． 10．解：由图可知，能使 y1≤y2 成立的 x 的取值范围是﹣3≤x≤7； 故选：C． 二．填空题 11．解：由题意得：当 y＝0 时，0＝﹣ x2+ x+ ， ∴x2﹣8x﹣9＝0， ∴（x+1）（x﹣9）＝0， ∴x1＝﹣1（不合题意，舍去），x2＝9． ∴此运动员把铅球推出 9m． 故答案为：9． 12．解：由题意可得， y＝100（1+x）2， 故答案为：y＝100（1+x）2． 13．解：∵当 x＝m 时，y1＝y2＝﹣8， ∴y1+y2＝﹣m2﹣8m+4＝﹣8+（﹣8）＝﹣16， ∵当 x＝﹣m 时，y1＝y2＝8， ∴y1+y2＝﹣m2+8m +4＝8+8＝16， 解得 m＝2， 故答案为：2． 14．解：由表可知，当 x＝6.2 时，y 的值最接近 0， 所以，方程 ax2+bx+c＝0 一个解的近似值为 6.2， 故答案为：6.2． 15．解：设此二次函数的解析式为 y＝a（x﹣1）2﹣3． ∵其图象经过点（2，0）， ∴a（2﹣1）2﹣3＝0， ∴a＝3， ∴y＝3（x﹣1）2﹣3，即 y＝3x2﹣6x， 故答案为 y＝3x2﹣6x． 16．解：∵点 P（a，b）在抛物线 y＝﹣2x2+2x+1 上， ∴b＝﹣2a2+2a+1， ∴a﹣b＝a﹣（﹣2a2+2a+1）＝2a2﹣a﹣1， ∵a﹣b＝2a2﹣a﹣1＝2（a﹣ ）2﹣ ， ∴a﹣b 的最小值为﹣ ， 故答案为﹣ ． 17．解：在等式 y＝ax2+bx+c 中，当 x＝1 时，y＝5；当 x＝﹣1 时，y＝﹣2． ∴a+b+c＝5，a﹣b+c＝﹣2，故 ① 正确； 由题意得 ， 两式相减得，2b＝7， 解得，b＝ ，故 ② 正确； 两式相加得，2a+2c＝3， ∴a+c＝ ， ∴3a+3c＝ ， ∴3a﹣2b+3c＝ ﹣2× ＝﹣ ，故 ③ 错误； ∵3a+3c＝ ， ∴3c＝ ﹣3a，b＝ ， ∴a﹣b+3c＝a﹣ + ﹣3a＝1﹣2a， ∵a＜0， ∴1﹣2a＞1， ∴a﹣b+3c＞﹣1，故 ④ 正确； 故答案为 ①②④ ． 18．解：若抛物线 y＝x2﹣x﹣k 与 x 轴的两个交点都在 x 轴正半轴上， 则方程 x2﹣x﹣k＝0 的两根大于 0，即最小的根 x＝ ＞0， 当 1+4k＝0，即 k＝﹣ 时，x 最小，即﹣ ＜k＜0． 故答案是：﹣ ＜k＜0． 19．解：函数大概图象如下： 根据题意得出当 ax2+bx+c≥kx+1 时，则 ax2+（b﹣k）x+c≥1， 则从图象看，关于 x 的不等式 ax2+（b﹣k）x+c≥1 的解集为﹣3≤x≤1， 故答案为﹣3≤x≤1． 20．解：抛物线 y＝ 的图象与坐标轴交于点 A，B，D， 则点 A、B、D 的坐标分别为：（﹣1，0）、（3，0）、（0，﹣ ），则点 M（1，0）， 顶点 E 的坐标为：（1，﹣2），AB＝4，CO＝ ，OD＝ ，故点 D 不在 ⊙ M 上； ① ME＝2＝AM，∴E 应该在 ⊙ M 上，故不符合题； ② C 是圆 M 与 y 轴交点，圆 M 半径为 2，M（1，0）由勾股定理得 OC＝ ， CD＝2× ＝3，故 CD 的长为 ，符合题意； ③ 如图 1，连接 PM、PE，点 E（﹣1，2），故点 E 在圆上， CO＝ ，OM＝1，PM＝2，故∠OPM＝30°， EM∥y 轴，则∠MEP＝∠EPC，而∠MEP＝∠MPE， ∴∠DPE＝ DOM＝15°，符合题意； ④ 如图 2，连接 PB、PA、AE， ∵点 B、E 均在圆上，则∠ABP＝∠AEP＝ α ， sin∠AEP＝sin∠ABP＝ ＝ ＝sin α ，则 cos α ＝ ， 过点 A 作 AK 垂直于 PE 于 K， 则 AK＝AEsin α ＝2 × ＝ ，EK＝AEcos α ═ ，则 PK＝AK＝ ， 故则 PE＝ ，符合题意； ⑤ 如图 3，图中实点 G、N、M、F 是点 N 运动中所处的位置， 则 GF 是等腰直角三角形的中位线，GF＝ AB＝2，ME 交 AB 于点 R，则四边形 GEFM 为正方形， 当点 P 在半圆任意位置时，中点为 N，连接 MN，则 MN⊥PE，连接 NR， 则 NR＝ ME＝MR＝RE＝RG＝RF＝ GF＝1，则点 N 的运动轨迹为以 R 为圆心的半圆， 则 N 运动的路径长＝ ×2 π r＝ π ，故不符合题意； 故答案为： ②③④ ． 三．解答题 21．解：（1）∵二次函数 y＝x2﹣1， ∴抛物线的开口方向向上，顶点坐标为（0，﹣1），对称轴为 y 轴； （2）在 y＝x2﹣1 中，令 y＝0 可得 0＝x2﹣1． 解得 x＝﹣1 或 1， 令 x＝0 可得 y＝﹣1，结合（1）中的顶点坐标及对称轴，可画出其图象如图所示： ． 22．解：（1）∵y＝x2﹣mx+2m﹣1 ＝x2﹣4﹣m（x﹣2）+3 ＝（x+2）（x﹣2）﹣m（x﹣2）+3 ＝（x﹣2）（x+2﹣m）+3， ∴抛物线 y＝x2﹣mx+2m﹣1 必过定点（2，3）， 故 H 的坐标为（2，3）； （2）证明：∵抛物线经过点 A（0，1）， ∴2m﹣1＝1，解得 m＝1， ∴抛物线 y＝x2﹣x+1， 设 y1＝x2﹣x+1，y2＝﹣2x﹣1， 则 y1﹣y2＝（x2﹣x+1）﹣（﹣2x﹣1）＝x2+x+2＝（x+ ）2+ ＞0， ∴y1＞y2， ∴该抛物线恒在直线 y＝﹣2x﹣1 上方． 23．解：（1）当 c＝1 时， 函数 y＝﹣x2+ x+c＝﹣x2+ x+1＝﹣（x﹣ ）2+ ． 又∵﹣2020≤x≤1， ∴M1＝ ， y＝﹣x2+2cx+1＝﹣x2+2x+1＝﹣（x﹣1）2+2． 又∵1≤x≤2020， ∴M2＝2； （2）当 x＝1 时，y＝﹣x2+ x+c＝c﹣ ；y＝﹣x2+2cx+1＝2c． 若点 A，B 重合，则 c﹣ ＝2c，c＝﹣ ， ∴L1：y＝﹣x2+ x﹣ （﹣2020≤x≤1）； L2：y＝﹣x2﹣x+1（1≤x≤2020）． 在 L1 上，x 为奇数的点是“美点”，则 L1 上有 1011 个“美点”； 在 L2 上，x 为整数的点是“美点”，则 L2 上有 2020 个“美点”． 又点 A，B 重合， 则 L 上“美点”的个数是 1011+2020﹣1＝3030． （3）y＝﹣x2+ x+c（﹣2020≤x≤1）上时，当 x＝ 时，M1＝ +c， y＝﹣x2+2cx+1（1≤x≤2020），对称轴为 x＝c， 当 c≥1 时，M2＝c2+1， ∴| +c﹣c2﹣1|＝ ， ∴c＝﹣1（舍去）或 c＝2； 当 c＜1 时，M2＝2c， ∴|2c﹣ ﹣c|＝ ， ∴c＝3（舍去）或 c＝﹣ ； ∴c＝﹣ 或 2． 24．解：由图象可知抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），且过点（0，﹣3）， 设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣1）2﹣4， 把（0，﹣3）代入解析式得 a﹣4＝﹣3， 解得 a＝1， 则抛物线的解析式为：y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3． 25．解：（1）∵抛物线 y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1＝（x﹣3）（x﹣1）， ∴该抛物的顶点坐标为（2，﹣1），当 y＝0 时，x1＝3，x2＝1，当 x＝0 时，y＝3， ∴它与 x 轴交点的坐标为（3，0）、（1，0），与 y 轴交点的坐标为（0，3），顶点坐 标为（2，﹣1）， 故答案为：（3，0）、（1，0），（0，3），（2，﹣1）； （2）由（1）知，它与 x 轴交点的坐标为（3，0）、（1，0），与 y 轴交点的坐标为（0， 3），顶点坐标为（2，﹣1），且过点（4，3）， 抛物线如右图所示． 26．解：（1）依题意 m2﹣m＝0 且 m≠0，所以 m＝1 （2）依题意 m2﹣m≠0，所以 m≠1 且 m≠0． 27．解：（1）将（0，1）和点 A 的坐标代入抛物线表达式得： ， 解得：36a+6b＝﹣1； （2）当 x1＜x2＜3 时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0，即为当 x＜3 时，y 随 x 的增大而增大， 当 3＜x1＜x2 时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0，即为当 x＞3 时，y 随 x 的增大而减小，故抛 物线开口下，且抛物线的对称轴为直线 x＝3， ∵该抛物线与直线 y＝3 只有一个交点 P，故点 P 是抛物线的顶点，即点 P（3，3）， 则设抛物线的表达式为 y＝a（x﹣3）2+3，将点（6，0）代入上式并解得 a＝﹣ ， 故抛物线的表达式为 y＝﹣ （x﹣3）2+3＝﹣ x2+2x ① ； 设点 B 的坐标为（m，﹣ m2+2m）， 由点 O、B 的坐标知，直线 OB 的表达式为 y＝（﹣ m+2）x， 当 x＝3 时，y＝（﹣ m+2）x＝6﹣m，故点 M（3，6﹣m）， ∵点 M、N 关于点 P 对称，由中点公式得，点 N（3，m）， ① 由 O、P 的坐标得，OP＝ ＝3 ＝ MN，则 MN＝6 ， 即 MN＝m﹣（6﹣m）＝6 ，解得 m＝3+3 ， 则点 B（3 ，﹣3），点 N（3，3+3 ）， 由点 B、O 的坐标知，OB2＝（3+3 ）2+（﹣3）2＝36+18 ， 同理 ON2＝36+18 ＝OB2，BN2＝72+36 ＝OB2+ON2， 故△NOB 为等腰直角三角形； ② 连接 NB， 由点 O、N 的坐标，同理可得，直线 ON 的表达式为 y＝ mx ② ， 联立 ①② 得：﹣ x2+2x＝ mx，解得 x＝6﹣m，设直线 ON 交抛物线与点 H，则点 H 的横坐标为 6﹣m， 而点 B 的横坐标为 m，抛物线的对称轴为 x＝3，故点 B、H 关于抛物线对称轴（即关于 MN）对称， ∴NM 平分∠ONB．