《同步导学案》人教七年级数学（下册）第五章 第六课时 平行线的性质 9页

第六课时 平行线的性质 ‎1. 理解平行线的性质，能运用平行线的性质进行有关推理．‎ ‎2.通过平行线性质的研究和发现过程，提高问题的能力．‎ ‎3.重难点：正确区分平行线的性质和判定并灵活运用.‎ 知识导入 我们通过＂同位角相等，内错角相等或者同旁内角互补＂可以判断两直线的位置关系平行．那么两条直线平行时，与其它直线所组成的同位角、内错角、同旁内角又会有什么样的数量关系呢？我们现在就来探讨．‎ 知识讲解 知识点：平行线的性质 平行线的性质1：两条直线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行， 同位角相等. 数学符号表示：（如图5.3-1）‎ 因为a∥b (已知) 所以 ∠1=∠2 (两直线平行， 同位角相等) ‎ 平行线的性质2：两条直线被第三条直线所截，内错角角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等.数学符号表示：（如图5.3-1）‎ 因为 a∥b（已知）所以 ∠1=∠3 (两直线平行，内错角相等) ‎ 平行线的性质3：两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补.数学符号表示：（如图5.3-1）‎ 因为 a ∥b（已知）‎ 所以 ∠1+∠4=180（两直线平行，同旁内角互补）‎ 例 图5.3 -2是一块梯形铁片的残余部分，量得∠A=100°，∠B=115°，梯形另外两个角分别是多少度？‎ 分析 要求得梯形另外两个角首先补全图形找出两角，然后由梯形的定义可知上下两底平行，这样求角就转化为平行线中角度的关系了，最后利用平行线的性质解答.‎ 解析 因为梯形上、下两底互相平行，所以∠A与∠D互补，∠B与∠C互补，‎ 于是 ∠D=180°-∠A=180°-100°=80°，‎ ‎∠C=180°-∠B=180°-115°=65°,‎ 所以梯形的另外两个角分别是80°，65°.‎ 点拨 有平行线时角度的求解常用到平行线的性质，求角过程中要分清“三线八角”，理解平行线的性质.‎ 知识探究 平行线的性质的运用 两直线平行， 同位角相等.两直线平行，内错角相等.两直线平行，同旁内角互补.‎ 例 如图5.3-3.∠1=70°,∠2=70°,∠3=60°,求∠4的度数.‎ 分析 此题可用多种方法求解.先求∠4的同位角或内错角或同旁内角.然后用平行线的性质求∠4的度数.‎ 解答 解法— 因为∠2与∠5是对顶角，所以∠5=∠2=70°.又因为∠1=70°，‎ 所以∠1=∠5.根据同位角相等.两直线平行.可得a∥b.‎ 因为∠3与∠6是邻补角，∠3=60°.‎ 所以∠6=180°-∠3=180°-60°=120°.‎ 根据两直线平行，同位角相等，可得∠4=∠6=120°.‎ 解法二 因为∠5与∠2是对顶角，所以∠5=∠2=70°.‎ 又因为∠1=70°，所以∠1=∠5.‎ 根据同位角相等，两直线平行，可得a∥b.‎ 因为∠7与∠3是对顶角，所以∠7=∠3=60°.‎ 根据两直线平行.同旁内角互补，可得∠4+∠7=180°.‎ 所以∠4=180°-∠7=180°-60°=120°.‎ 解法三 因为∠5与∠2是对顶角，所以∠5=∠2=70°.‎ 又∠1=70°，所以∠1=∠5‎ 根据同位角相等.两直线平行，可知a∥b.‎ 因为∠8与∠3是邻补角，所以∠8=180°-∠3=180°-60°=120°.‎ 根据两直线平行，内错角相等，可得∠4=∠8=120°‎ 解法四 因为∠5与∠2是对顶角，所以∠5=∠2=70°‎ 又因为∠1=70°，所以∠1=∠5.‎ 根据同位角相等，两直线平行，可知a∥b 根据两直线平行，同位角相等，可得∠9=∠3=60°，‎ 又由∠9与∠4是邻补角，可得∠4=180°-∠9=180°-60°=120°.‎ 易错辨析 题 如果∠A和∠B的两边分别平行，那么∠A和∠B的关系是（　　）‎ 错解 相等 辨析 本题主要利用两直线平行，同位角相等以及同旁内角互补作答．如图5.3-4，∠1，∠2，∠3的两边互相平行，‎ 因为∠3=∠4，∠4=∠1，∠4+∠2=180°；‎ 所以∠3=∠1，∠3+∠2=180°．‎ 所以这两个角相等或互补．‎ 正解　∠A和∠B的关系是相等或互补．‎ ‎1.如图5.3-5所示,AB∥CD,则与∠1相等的角(∠1除外)共有( )‎ A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 ‎ ‎ ‎2.如图5.3-6所示,CD∥AB,OE平分∠AOD,OF⊥OE,∠D=50°,则∠BOF为( )‎ ‎ A.35° B.30° C.25° D.20°‎ ‎3.如图5.3-7所示,AB∥CD,∠D=80°,∠CAD:∠BAC=3:2,则∠CAD=_______,∠ACD=_______.‎ ‎4.如图5.3-8所示,把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠,若∠EFG=50°,求∠DEG的度数.‎ ‎5.如图5.3-9所示，已知：AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，且AB∥CD．求证：∠1+∠2=90°．‎ 证明：因为 AB∥CD，（已知）‎ 所以∠BAC+∠ACD=180°，（ ）‎ 又因为 AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，（ ）‎ 所以，( ) ‎ ‎ ‎ 所以．‎ 即  ∠1+∠2=90°． ‎ 结论：若两条平行线被第三条直线所截,则一组同旁内角的平分线互相 ．‎ 推广：若两条平行线被第三条直线所截,则一组同位角的平分线互相 ．‎ 平行纸条图的探索 例．已知：如图5.3-10，若∠BED=∠B+∠D，求证：AB∥CD。‎ 分析：从图中找出能直接判定AB∥CD的角很困难，这时可从线入手，‎ 于是我们考虑添加一条平行直线，即过点E作AB的平行线，‎ 然后利用平行公理的推论“平行于同一条直线的两直线平行”来推证出AB∥CD。‎ 证明：过点E作EF∥AB.（如图5.3-11）‎ 所以∠BEF= ∠B （ 两直线平行，内错角相等）‎ 又因为∠BED=∠B+∠D（已知）‎ ‎∠BED=∠BEF+∠DEF（如图）‎ 所以∠B+∠D =∠BEF+∠DEF 所以∠D= ∠DEF（ 等量代换）‎ 所以EF∥CD （内错角相等，两直线平行）‎ 所以AB∥CD（平行于同一条直线的两直线平行）‎ 如果反过来我们可以得到一个常用结论：‎ 已知：如图5.3-10，AB∥CD，‎ 求证：∠BED=∠B+∠D.‎ 证明：过点E作EF∥AB.（如图5.3-11）‎ 因为AB∥CD（已知）‎ 所以CD∥EF∥AB.（平行于同一条直线的两直线平行）‎ 所以∠BEF= ∠B，∠D= ∠DEF 两直线平行，内错角相等）‎ 因为∠BED=∠BEF+∠DEF（由图得）‎ 所以∠BED=∠B+∠D（ 等量代换）‎ ‎2、如图5.3-12，当我们把∠B、∠E变得越大时，∠C就越大，‎ ‎ 我们猜测∠B、∠C、∠E之间的关系是∠B+∠E+∠C=360°,推理说明猜测的正确性.‎ 证明：过点C作CF∥AB.（如图5.3-13）‎ 因为AB∥DE（已知）‎ 所以AB∥DE∥CF.（平行于同一条直线的两直线平行）‎ 所以∠BCF+ ∠B=180°，∠E= ∠ECF 两直线平行，同旁内角互补）‎ 所以∠B+∠E+∠BCF+∠ECF=360°‎ 点拨：只要是证明平行纸条图相关的题，我们首先想到作的辅助线就是作平行线.已知AB∥ CD，图5.3-14四个图形中∠ P与∠ A、∠ C的关系为 ‎ (1)∠ P=360°-∠ A-∠ C, (2)∠ P=∠ A +∠ C, (3)∠ P=∠ C-∠ A, (4)∠ P=∠ A- ∠ C ‎ ‎ 练习：1.在图5.3-15中（1）如图①所示，已知AB∥CD，∠ABE=130°，∠CDE=151°，则∠ BED= 。‎ ‎（2）一张对边平行的纸条，剪成如图②形状，如果∠B=130°，∠D=28°，则∠E= 。‎ ‎（3）已知：如图③，AB∥CD，且∠B=135°，∠E=25°，则∠D= 。‎ 参考答案 课时检测 1. C 2. C ‎ 3. ‎60°，40°‎ 4. 因为AD∥BC所以∠DEF=∠EFG=50°所以∠DEG=2∠DEF=2×50°=100°‎ ‎5．两直线平行，同旁内角互补 已知 角平分线的定义 垂直 平行 拓展提升 1. ‎∠BED=79°‎ 2. ‎∠E=158° ‎ ‎3.∠D=110°‎