2020-2021学年浙教 版九年级上册数学《第4章 相似三角形》单元测试卷 15页

2020-2021 学年浙教新版九年级上册数学《第 4 章 相似三角形》 单元测试卷 一．选择题 1．点 B 是线段 AC 的黄金分割点，且 AB＜BC，若 AC＝2，则 BC 的长为（ ） A． B． C． +1 D． ﹣1 2．若两个相似五边形的相似比为 3：5，则它们的面积比为（ ） A．3：5 B．5：3 C．9：25 D．25：9 3．已知 2x＝3y，则下列比例式成立的是（ ） A． B． C． D． 4．如图，△ABO∽△CDO，若 BO＝8，DO＝4，CD＝3，则 AB 的长是（ ） A．2 B．3 C．4 D．6 5．设 a＞0，b＞0，称 为 a，b 的“调和平均数”，如图，C 为线段 AB 上的点，且 AC ＝a，BC＝b，O 是 AB 的中点，以 AB 为直径作半圆，过点 C 作 AB 的垂线交半圆于 D， 连接 OD，AD，BD，过点 C 作 OD 的垂线，垂足为 E，如：图中的线段 OD 的长度是 a， b 的算术平均数，则长度是 a，b 的“调和平均数”的线段是（ ） A．OC B．CE C．DE D．OE 6．如图．在平面直角坐标系中，点 A、B、C、D 的坐标分别为（﹣2，5）、（0，5）、（0， ﹣1）、（4，﹣1）．若线段 AB 和 CD 是位似图形，位似中心在 y 轴上，则位似中心的 坐标为（ ） A．（0，1） B．（0， ） C．（0， ） D．（0，3） 7．如图，两条直线被三条平行线所截，AB＝4，BC＝6，DF＝9，则 DE 的长为（ ） A．3.2 B．3.6 C．4 D．4.2 8．已知点 E、F 分别在△ABC 的 AB、AC 边上，则下列判断正确的是（ ） A．若△AEF 与△ABC 相似，则 EF∥BC B．若 AE×BE＝AF×FC，则△AEF 与△ABC 相似 C．若 ，则△AEF 与△ABC 相似 D．若 AF•BE＝AE•FC，则△AEF 与△ABC 相似 9．如图，某测量工作人员站在地面点 B 处利用标杆 FC 测量一旗杆 ED 的高度．测量人员 眼睛处点 A 与标杆顶端处点 F，旗杆顶端处点 E 在同一直线上，点 B，C，D 也在同一条 直线上．已知此人眼睛到地面距离 AB＝1.6 米，标杆高 FC＝3.2 米，且 BC＝1 米，CD ＝5 米，则旗杆的高度为（ ） A．8.4 米 B．9.6 米 C．11.2 米 D．12.4 米 10．在坐标系中，已知 A（6，0），B（0，8），C（0，﹣2），过点 C 作直线 L 交 x 轴于 点 D，使得以点 D、C、O 为顶点的三角形与△AOB 相似，这样的直线一共可以作（ ） 条． A．3 B．4 C．5 D．6 二．填空题 11．两个三角形的相似比是 2：3，那么它们面积的比是 ． 12．已知 3a﹣5b＝0，则 ＝ ． 13．四条线段 a、b、c、d 成比例，其中 a＝3cm，b＝9cm，d＝6cm，则 c＝ ． 14．如图，点 P 是线段 AB 的黄金分割点，且 AP＞BP，设以 AP 为边长的正方形面积为 S1， 以 PB 为宽，以 AB 为长的矩形面积为 S2，S1 S2（填“＞”或“＝”或“＜”）． 15．若两个相似多边形的相似比是 2：3，则它们的面积比等于 ． 16．如图，周一某校升国旗时，甲、乙两名同学分别站在 C、D 的位置时，乙的影子 AD 刚 好在甲的影子 AC 里边，已知甲身高 BC 为 1.6 米，乙身高 DE 为 1.4 米，甲的影长 AC 是 6 米，则甲、乙同学相距 米． 17．已知点 M 是线段 AB 的黄金分割点，线段 AB 的长度为 12cm，那么较长的线段 AM 的 长是 cm． 18．在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点 A 的坐标为（2，﹣5），若以原点 O 为位似中心， 作△ABC 的位似图形△A1B1C1，使△ABC 与△A1B1C1 的位似比为 2：1，且点 A1 和点 A 不在同一象限内，则点 A1 的坐标为 ． 19．如图， ⊙ O 的直径 AB 过 的中点 A，若∠C＝30°，AB、CD 交于点 E，连接 AC、BD， 则 ＝ ． 20．如图，已知直线 l1∥l2∥l3，如果 DE：EF＝2：3，AC＝15，那么 BC＝ ． 三．解答题 21．已知 a：b：c＝2：3：5，如果 3a﹣b+c＝24，求 a，b，c 的值． 22．如图，点 B 是线段 AC 的黄金分割点，且 AB＞BC，若 AC＝2，求 AB、BC 的长． 23．如图，l1∥l2∥l3，直线 a，b 与 l1、l2、l3 分别相交于 A、B、C 和点 D、E、F．若 ， DE＝6，求 EF 的长． 24．如图，AB 与 CD 相交于点 O，△OBD∽△OAC， ＝ ，OB＝6，S△AOC＝50， 求：（1）AO 的长； （2）求 S△BOD 25．如图，在矩形 ABCD 中，E 为 AD 上一点，EF⊥EC 交 AB 于 F，连接 FC，求证：△AEF ∽△DCE． 26．△ABC 是一块直角三角形余料，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，如图将它加工成正 方形零件，试说明哪种方法利用率高？（得到的正方形的面积较大） 27．两个相似多边形的最长边分别为 6cm 和 8cm，它们的周长之和为 56cm，面积之差为 28cm2，求较小相似多边形的周长与面积． 参考答案与试题解析 一．选择题 1．解：∵点 B 是线段 AC 的黄金分割点，且 AB＜BC， ∴BC＝ AC， ∵AC＝2， ∴BC＝ ﹣1． 故选：D． 2．解：∵两个相似五边形的相似比为 3：5， ∴它们的面积比为：9：25． 故选：C． 3．解：A、变成等积式是：xy＝6，故错误； B、变成等积式是：3x＝y，故错误； C、变成等积式是：2x＝3y，故正确； D、变成等积式是：2x＝﹣5y，故错误； 故选：C． 4．解：∵△ABO∽△CDO， ∴ ， ∵BO＝8，DO＝4，CD＝3， ∴ ＝ ， 解得：AB＝6． 故选：D． 5．解：∵AB 是圆的直径， ∴∠ADB＝90°，又 DC⊥AB， ∴CD2＝AC•BC＝ab， ∵线段 OD 的长度是 a，b 的算术平均数， ∴OD＝ ， ∵DC⊥OC，CE⊥OD， ∴CD2＝DE•OD， ∴DE＝ ＝ ＝ ， ∴线段 DE 的长度是 a，b 的“调和平均数”， 故选：C． 6．解：连接 AD 交 BC 于 E，则点 E 为位似中心， ∵点 A、B、C、D 的坐标分别为（﹣2，5）、（0，5）、（0，﹣1）、（4，﹣1）， ∴AB＝2，CD＝4，BC＝6， ∵线段 AB 和 CD 是位似图形， ∴AB∥CD， ∴ ＝ ，即 ＝ ， 解得，BE＝2， ∴OE＝OB﹣BE＝3， ∴位似中心点 E 的坐标为（0，3）， 故选：D． 7．解：∵AD∥BE∥CF， ∴ ， ∴ ， ∵DF＝9， ∴DE＝ ， 故选：B． 8．解：选项 A 错误，∵△AEF 与△ABC 相似，可能是∠AEF＝∠C，推不出 EF∥BC． 选项 B 错误，由 AE×BE＝AF×FC，推不出△AEF 与△ABC 相似． 选项 C 错误，由 ，推不出△AEF 与△ABC 相似． 选项 D 正确．理由：∵AF•BE＝AE•FC， ∴ ＝ ， ∴EF∥BC， ∴△AEF∽△ABC． 故选：D． 9．解：作 AH⊥ED 交 FC 于点 G，如图所示： ∵FC⊥BD，ED⊥BD，AH⊥ED 交 FC 于点 G， ∴FG∥EH， ∵AH⊥ED，BD⊥ED，AB⊥BC，ED⊥BC， ∴AH＝BD，AG＝BC， ∵AB＝1.6，FC＝3.2，BC＝1，CD＝5， ∴FG＝3.2﹣1.6＝1.6，BD＝6， ∵FG∥EH， ∴ ， ＝ 解得：EH＝9.6， ∴ED＝9.6+1.6＝11.2（m ） 答：电视塔的高 ED 是 11.2 米， 故选：C． 10．解：若△AOB∽△COD，则 ＝ ＝ ， ∴OD＝ ，则 D（ ，0）或（﹣ ，0）． 若△AOB∽△DOC，则 ＝ ＝ ， ∴OD＝ ，则 D（ ，0）或（﹣ ，0）． 所以可以作出四条直线． 故选：B． 二．填空题 11．解：∵两个三角形的相似比是 2：3， ∴它们面积的比是（ ）2＝ ， 故答案为：4：9． 12．解：∵3a﹣5b＝0， ∴3a＝5b， ∴ ＝ ； 故答案为： ． 13．解：∵四条线段 a、b、c、d 成比例， ∴ ＝ ， ∵a＝3cm，b＝9cm，d＝6cm， ∴ ＝ ， 解得：c＝2（cm）， 故答案为：2cm． 14．解：∵点 P 是线段 AB 的黄金分割点，且 AP＞BP， ∴AP2＝BP×AB， 又∵S1＝AP2，S2＝PB×AB， ∴S1＝S2． 故答案为：＝． 15．解：∵两个相似多边形的相似比为 2：3， ∴它们的面积比＝22：32＝4：9． 故答案为：4：9 16．解：设两个同学相距 x 米， ∵△ADE∽△ACB， ∴ ＝ ， ∴ ＝ ， 解得：CD＝0.75． 故答案为 0.75． 17．解：∵点 M 是线段 AB 的黄金分割点，AM＞BM， ∴AM＝ AB＝（6 ﹣6）厘米， 故答案为：（6 ﹣6）． 18．解：在同一象限内， ∵△ABC 与△A′B′C′是以原点 O 为位似中心的位似图形，其中相似比是 2：1，A 坐 标为（2，﹣5）， ∴则点 A′的坐标为：（1，﹣2.5）， 不在同一象限内， ∵△ABC 与△A′B′C′是以原点 O 为位似中心的位似图形，其中相似比是 2：1，A 坐 标为（2，﹣5）， ∴则点 A′的坐标为：（﹣1，2.5）， 故答案为：（﹣1，2.5）． 19．解：∵ ⊙ O 的直径 AB 过 的中点 A， ∴ ＝ ， ∴DE＝EC， ∵AB 是 ⊙ O 的直径， ∴∠BED＝∠CEA＝90°， ∵∠C＝30°， ∴∠DCA＝∠DBA＝30°， ∴△AEC∽△DEB， ∴ ＝ ， 设 DE＝EC＝x， ∵∠C＝30°， ∴AE＝ x， ∵∠DBA＝30°， ∴BE＝ x， ∴ ＝ ＝ ； 故答案为： ． 20．解：∵l1∥l2∥l3， ∴ ， ∴ ， ∵AC＝15， ∴BC＝9， 故答案为：9． 三．解答题 21．解：∵a：b：c＝2：3：5， ∴设 a＝2t，b＝3t，c＝5t， ∵3a﹣b+c＝24， ∴6t﹣3t+5t＝24，解得 t＝3， ∴a＝6，b＝9，c＝15． 22．解：∵点 B 是线段 AC 的黄金分割点，且 AB＞BC， ∴AB＝ ×AC＝ ﹣1， ∴BC＝AC﹣AB＝2﹣（ ﹣1）＝3﹣ ． 23．解：∵l1∥l2∥l3， ∴ ， ∵ ，DE＝6， ∴ ， ∴EF＝9． 24．解：（1）∵△OBD∽△OAC， ∴ ＝ ＝ ， ∵BO＝6， ∴AO＝10； （2）∵△OBD∽△OAC， ＝ ， ∴ ＝ ， ∵S△AOC＝50， ∴S△BOD＝18． 25．证明：∵∠FEC＝90°， ∴∠AEF+∠DEC＝90°， ∵ABCD 是矩形， ∴∠A＝∠D＝90°， ∵∠A+∠AFE+∠AEF＝180°， ∴∠AFE+∠AEF＝90°， ∴∠DEC＝∠AFE， 又∵∠A＝∠D， ∴△AEF∽△DCE． 26．解：当所截的正方形的边在△ABC 的直角边上，如图 1，设正方形 CDEF 边长为 x，则 DE＝xcm，BD＝BC﹣CD＝（6﹣x）cm， ∵DE∥AC， ∴△BDE∽△BCA， ∴ ＝ ，即 ＝ ， 解得：x＝ （cm）， 即正方形 BDEF 边长为 cm； 当所截的正方形的边在△ABC 的斜边上，如图 2，作 CH⊥AB 于 H，交 MQ 于 J， 则 MN∥CH， AB＝ ＝ ＝10， ∵ CH•AB＝ AC•BC ∴CH＝ ＝ （cm）， 设正方形 MNPQ 边长为 x，则 QM＝x，BJ＝ ﹣x， ∵QM∥AB， ∴△CMQ∽△CBA， ∴ ＝ ，即 ＝ ， 解得：x＝ （cm）， 即正方形 BDEF 边长为 （cm）； ∵ ＝ ＞ ， ∴图 1 利用率高． 27．解：设较小相似多边形的周长为 x，面积为 y，则较大相似多边形的周长为 56﹣x，面 积 28+y， 根据题意得 ＝ ， ＝（ ）2， 解得 x＝24，y＝36， 所以较小相似多边形的周长为 24cm，面积为 36cm2．