【精品讲义】人教版 七年级下册寒假同步课程（培优版）6二元一次方程组的概念及解法．教师版 11页

1 内容 基本要求 略高要求 较高要求 二元一次方程 （组） 了解二元一次方程（组）的 有关概念 能根据实际问题列出二元一次 方程组 二元一次方程 组的解 知道代入消元法和加减消 元法的意义 掌握代入消元法和加减消元法； 能选用恰当的方法解二元一次 方程组 会运用二元一 次方程组解决 实际问题 模块一 二元一次方程（组）的基本概念 ☞二元一次方程 1.含有两个未知数，并且含未知数项的最高次数是 1 的方程叫二元一次方程. 判定一个方程是二元一次方程必须同时满足三个条件： ①方程两边的代数式都是整式——整式方程； ②含有两个未知数——“二元”； ③含有未知数的项的次数为 1——“一次”. 2.二元一次方程的一般形式： 0ax by c   ( 0a  ， 0b  ) 3.二元一次方程的解：使二元一次方程左、右两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 一般情况下，一个二元一次方程有无数个解. 【例 1】 下列各式是二元一次方程的是（ ） A. 3 0x y z   B. 3 0xy y x   C. 1 2 02 3x y  D. 2 1 0yx    【解析】根据二元一次方程的定义，从二元一次方程的未知数的个数和次数方面辨别． 【答案】故本题选 C． 【巩固】下列方程是二元一次方程的是（ ） A.3 1x xy  B. 24 3 0x x  C. 2 3y  D.3x y 【解析】根据二元一次方程的定义，从二元一次方程的未知数的个数和次数方面辨别． 【答案】故选 D． 【例 2】 若 3 2 12 5m nx y   是二元一次方程，则求 m 、 n 的值. 【解析】由定义知：3 2 1m   ， 1 1n   ，所以： 1m  ， 2n  . 【答案】见解析 【巩固】已知方程 11( 2) 2 mnm x y m   是关于 x 、 y 的二元一次方程，求 m 、 n 的值. 二元一次方程组的概念及解法 2 【解析】根据题意可得： 2 0m   ， 1 1n   ， 1 1m   ，所以 2n  ， 0m  . 【答案】见解析 【例 3】 已知 2 1 x y    是方程 3kx y  的解，那么 k 的值是（ ） A. 2 B. 2 C.1 D. 1 【解析】二元一次方程的解 【答案】 A 【巩固】已知 2 1 x y    是方程 2 5x a  的解，则 a  【解析】略 【答案】 A 【例 4】 方程 3 10x y  的正整数解有几组？（ ） A.1 组 B.3 组 C.4 组 D.无数组 【解析】二元一次方程有无数组解，但它的正整数解是有数的，首先用其中一个未知数表示另一个未知数， 然后可给定 x 一个正整数的值，计算 y 的值即可． 【答案】方程可变形为 10 3y x  当 1x  时，则 10 3 7y    ； 当 2x  时，则 10 6 4y    ； 当 3x  时，则 10 9 1y    ． 故方程 3 10x y  的正整数解有 1 7 x y    ， 2 4 x y    ， 3 1 x y    ，共 3 组． 故选 B． 【巩固】⑴设 x 、 y 为正整数，求 5 24x y  的所有解 ⑵设 x 、 y 为非负整数，求 2 5x y  的所有解 ⑶设 x 为正数， y 为正整数，求 3 6x y  的所有解 【解析】略 【答案】⑴ 1 19 x y    ， 2 14 x y    ， 3 9 x y    ， 4 4 x y    ；⑵ 0 5 x y    ， 1 3 x y    ， 2 1 x y    ， ⑶ 5 3 1 x y     ， 4 3 2 x y     ， 1 3 x y    ， 2 3 4 x y     ， 1 3 5 x y     【例 5】 若方程 2 4 3 4 13 5 8m n m nx y     是二元一次方程，则 2 2( )( )m n m mn n   的值为 . 【解析】由二元一次方程的概念可列二元一次方程组 2 4 1 3 4 1 1 m n m n        ，解得 2 1 m n     ， 2 2( )( ) 3 3 9m n m mn n      . 【答案】见解析 【巩固】若 2 2 11a b a bx y    是二元一次方程，那么的 a 、 b 值分别是（ ） A、 1a  ， 0b  B、 0a  ， 1b   C、 2a  ， 1b  D、 2a  ， 3b   【解析】本题考查二元一次方程的定义，由二元一次方程的定义可得到关于 a , b 的方程组。 3 【答案】 1 1 a b a b      ，解得 1a  ， 0b  ☞二元一次方程组： 1.由几个一次方程组成并且含有两个未知数的方程组，叫二元一次方程组. 二元一次方程组不一定由两个二元一次方程合在一起：方程可以超过两个，有的方程可以只有一元（一元 方程在这里也可看作另一未知数系数为 0 的二元方程）. 如 2 6 3 1 x x y     也是二元一次方程组. 2.二元一次方程组的解必须满足方程组中的每一个方程，同时它也必须是一个数对，而不能是一个数. 【例 6】 下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）（多选） A. 3 2 5 7 x y xy     B. 5 4 x y    C. 1 3 4 5 yx xy       D. 2 7 0 4 5 3 x y x z      E. 3 4 3 5 x y x y      F. 2 4 1 2 4 1 x y x y      G. 4 5 4 1 x z x z      H. 4 2 3 5 3 1 x y x x y        【解析】区别二元一次方程组的方式，只需要抓住以下几点：①包含 2 个未知数；②最高次项为1次；整 式方程；与方程的个数，字母的选择没有任何关系。因此 B 、 E 、 F 、 G 、 H 均为二元一次方 程组，很多同学易在 F 、G 、 H 出错。 【答案】 B 、 E 、 F 、 G 、 H 【巩固】下列方程组中，① 2 2 0 x y x y      ；② 1 1 x y y z      ；③ 1 2 xy x y     ；④ 1 2 0 x y     是二元一次方程组的序 号是 【解析】略 【答案】①④ 【例 7】 如图，射线 OC 的端点 O 在直线 AB 上， 1 的度数 x 比 2 的度数 y 的 2 倍多10 ，则可列正确 的方程组为（ ） A. 180 10 x y x y      B. 180 2 10 x y x y      C. 180 10 2 x y x y      D. 90 2 10 x y y x      【解析】略 【答案】B 【巩固】一副三角板如图方式摆放，且 1 的度数比 2 的度数大 50 ，若设 1 x   ， 2 y   ，则可得到 的方程组为（ ） 4 A. 50 180 x y x y      B. 50 180 x y x y      C. 50 90 x y x y      D. 50 90 x y x y      【解析】略 【答案】D 【巩固】某校初三⑵班 40 名同学为“希望工程”捐款，共捐款100 元，捐款情况如下表： 捐款（元） 1 2 3 4 人数 6 7 表格中捐款 2 元和3元的人数不小心被墨水污染，已看不清楚，若设捐款 2 元的有 x 名同学，捐款 3元的有 y 名同学，根据题意得，可列方程组（ ） A. 27 3 2 66 x y x y      B. 27 3 2 100 x y x y      C. 27 3 2 66 x y x y      D. 27 3 2 100 x y x y      【解析】略 【答案】A 【例 8】 下列每个方程组后的一对数值是不是这个方程组的解？ ⑴ 1 3 2 5 x y x y      1 0 x y    ； ⑵ 26 4 34 4 x y y x      8 2 x y    ； ⑶ 2 7 8 3 10 8 x y x y      6 5 4 5 x y      【解析】判断一组数是不是方程的解，必须要看它是不是方程组中每个方程的解，如果是，则是方程组的 解，否则，不是方程组的解 【答案】⑴将 1 0 x y    代入方程组中的第二个方程：左边 3 ，右边 5 ，左边  右边，∴ 1 0 x y    不是第二个 方程的解，从而不是方程组的解 ⑵将 8 2 x y    方程组中的第一个方程：左边 8 ，右边 18 ，左边  右边，∴ 8 2 x y    不是第一个方 程的解，从而不是方程组的解 ⑶将 6 5 4 5 x y      代入方程组中的第一个方程：左边 8 ，右边 8 ，左边  右边，∴ 6 5 4 5 x y      是第一 个方程的解；将 6 5 4 5 x y      代入方程组中的第二个方程：左边 32 5   ，右边 32 5   ，左边  右边， ∴ 6 5 4 5 x y      是第二个方程的解； 5 ∴ 6 5 4 5 x y      是原方程组的解 【巩固】下列四组数对中① 1 1 x y     ，② 1 2 x y    ，③ 2 4 3 x y   ，④ 0 5 x y    是方程组 2 3 8 3 5 x y x y      的解的序号 是 【解析】将数对代入方程组检验 【答案】② 【巩固】在① 2 3 x y    ，② 2 1 x y    ，③ 0 2 x y    ，④ 4 0 x y    ，⑤ 1 1 x y     这五对数值中，是方程 2 3x y  的解 是 ， 2 4x y  的解是 ， 2 3 2 4 x y x y      的解是 【解析】二元一次方程（组）解的检验 【答案】②⑤、②③④、② 【例 9】 请以 1 2 x y    为解，构造一个二元一次方程组 【解析】本题答案不唯一，很多学生对类似的问题都无从下手，其实此类问题非常简单，构造的方式也多 样，完全可以转化为代数式求值有关的问题，如 2 ____ 2 ____ x y x y      ， 3 ____ 3 ____ x y x y      ， 4 2 ____ 4 2 ____ x y x y      ， 因此只需要将 1 2 x y    分别代入求值，填入数值即可 【答案】参考答案 3 1 x y x y       ，其他答案符合条件即可 【巩固】请以 1 3 x y     为解，构造一个二元一次方程组 【解析】略 【答案】参考答案 2 4 x y x y       ，答案不唯一 【例 10】 若 x a y b    是方程3 1x y  的一个解，则 9 3 4 _______a b   ． 【解析】把方程的解代入方程，把关于 x 和 y 的方程转化为关于 a 和 b 的方程，再根据系数的关系来求解． 【答案】把 x a y b    代入方程 3 1x y  ，得 3 1a b  所以 9 3 4 3(3 ) 4 3 1 4 7a b a b         即 9 3 4a b  的值为 7 ． 模块二 二元一次方程组的解法 ☞代入消元法 6 代入法是通过等量代换，消去方程组中的一个未知数，使二元一次方程组转化为一元一次方程，从而求得 一个未知数的值，然后再求出被消去未知数的值，从而确定原方程组的解的方法. 代入消元法是解二元一次方程组的基本方法之一.“消元”体现了数学研究中转化的重要思想，代入法不 仅在解二元一次方程组中适用，也是今后解其他方程（组）经常用到的方法. ☞用代入法解二元一次方程组的一般步骤： ①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数，例如 y ，用另一个未知数如 x 的 代数式表示出来，即写成 y ax b  的形式； ② y ax b  代入另一个方程中，消去 y ，得到一个关于 x 的一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出 x 的值； ④回代求解：把求得的 x 的值代入 y ax b  中求出 y 的值，从而得出方程组的解. ⑤把这个方程组的解写成 x a y b    的形式. 【例 11】 把方程 2( ) 3( ) 3x y y x    改写成用含 x 的代数式表示 y 的形式，则（ ） A. 5 3y x  B. 3y x   C. 5 3y x  D. 5 3y x   【解析】先去括号，再移项，合并同类项，整理后分析选项可得答案． 【答案】选 A． 【巩固】已知关于 x 、 y 的二元一次方程 2 3 x bya   （ a 、b 均为常数），将其改写为用含 x 的代数式表示 y 的形式 【解析】略 【答案】 2 3 xy b ab   【例 12】 用代入消元法求解下列二元一次方程组 ⑴ 2 5 3 4 2 x y x y      ① ② ， ⑵ 5 2 25 3 4 15 x y x y      ① ② 【解析】学生初学时，注意要求格式 【答案】⑴由①得， 2 5y x  ③ 将③代入②得， 3 4(2 5) 2x x   ，解得 2x  ，代入③得 1y   ∴原方程组的解为 2 1 x y     ⑵由①得， 25 5 2 xy  ③ 将③代入②得 25 53 4 152 xx    ，解得 5x  ，代入③得 0y  ∴原方程组的解为 5 0 x y    【巩固】用代入法解下列方程组 ⑴ 2 3 2 8 y x y x     ⑵ 2 2 3 14 m n m n      ⑶ 2 0 3 2 8 x y x y      ⑷ 4 1 2 16 x y x y       7 ⑸ 2 3 40 5 x y x y       ⑹ 2 3 3 5 11 x y x y      ⑺ 1 23 2( 1) 11 x y x y       【解析】略 【答案】⑴ 1 2 x y    ，⑵ 4 2 m n    ，⑶ 2 1 x y    ，⑷ 7 2 x y    ，⑸ 5 10 x y    ，⑹ 2 1 x y     ，⑺ 5 1 x y    【例 13】 已知 0.5 a b a bx y  与 1 32 3 ax y 是同类项，那么（ ） A. 1 2 a b     B. 1 2 a b     C. 2 1 a b     D. 2 1 a b     【解析】由同类项的定义，列出关于 a ，b 的二元一次方程组，从而得到 a ，b 的值． 【答案】D 【巩固】单项式 2 83 m nx y 与 2 3 42 m nx y  是同类项，则 ________m n  【解析】略 【答案】 4 1 m n     ☞加减消元法 加减法是消元法的一种，也是解二元一次方程组的基本方法之一.加减法不仅在解二元一次方程组中适用， 也是今后解其他方程（组）经常用到的方法. ☞用加减法解二元一次方程组的一般步骤： ①变换系数：把一个方程或者两个方程的两边都乘以适当的数，使两个方程里的某一个未知数的系数互为 相反数或相等； ②加减消元：把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求得一个未知数的值； ④回代：将求出的未知数的值代入原方程组中，求出另一个未知数的值； ⑤把这个方程组的解写成 x a y b    的形式. ☞加减消元方法的选择： ①一般选择系数绝对值最小的未知数消元； ②当某一未知数的系数互为相反数时，用加法消元；当某一未知数的系数相等时，用减法消元； ③某一未知数系数成倍数关系时，直接对一个方程变形，使其系数互为相反数或相等，再用加减消元求解； ④当相同的未知数的系数都不相同时，找出某一个未知数的系数的最小公倍数，同时对两个方程进行变形， 转化为系数的绝对值相同，再用加减消元求解. 【例 14】 用加减消元法、解下列方程 ⑴ 2 5 1 x y x y      ① ② ⑵ 2 4 2 2 x y x y      ① ② 【解析】学生初学时，注意格式上的要求 【答案】⑴①+②得， 3 6x  ，解得 2x  将 2x  代入①得， 1y   ∴原方程的解为 2 1 x y     8 ⑵ ① 2 得， 2 4 8x y  ③ ③  ②得， 3 6y  ，解得 2y   将 2y   代入①得 0x  ∴原方程的解为 0 2 x y     【巩固】用加减消元法解下列方程 ⑴ 3 7 5 2 8 x y x y      ⑵ 4 5 1 4 13 x y x y      ⑶ 3 2 8 2 3 7 x y x y      ⑷ 4 2 5 6 4 5 x y x y       【解析】略 【解析】⑴ 2 1 x y     ；⑵ 4 3 x y    ；⑶ 2 1 x y    ；⑷ 1 2 3 2 x y     ； ☞选用恰当的方法解下列方程组 【例 15】 选择合适方式解下列方程： 8 9 23 17 6 74 x y x y      【解析】首先要确定消去哪个未知数，根据每个方程中未知数的系数特点，先消去 y 较简单， y 系数的绝 对值 9 、 6 的最小公倍数是18 ，对两个方程进行适当变形. 【答案】① 2 ，得16 18 46x y  ③ ② 3 ，得 51 18 222x y  ④ ③  ④，得 67 268x  ，解得 4x  将 4x  代入①，得 1y   故原方程组的解为 4 1 x y     【巩固】解下列方程组： (1) 3( 1) 4( 4) 5( 1) 3( 5) y x x y        ；(2) 2 13 2 24 5 3 13 2 04 5 yx yx       ； (3) 2 1 5 3 2 24 1 1 1 4 6 6 x y x y         ；(4) 3 57 24 3 10( ) 4(1 ) 3 x y yx x y x y          【解析】(1) 7 5 x y    ；(2) 2 3 x y    ；(3) 1 2 1 4 x y      ；(4) 4 4 x y    . 【答案】见解析 【例 16】 已知 x 、 y 满足方程组 2 1005 2 1004 x y x y       ，则 x y 的值为_________． 【解析】观察方程组的系数，显然用减法即可整体求得 x y 的值． 【答案】 2009x y  9 【巩固】在方程组 2 1 2 2 x y m x y       中，若未知数 x 、 y 满足 0x y  ，则 m 的取值范围为（ ） A. 3m  B. 3m  C. 3m  D. 3m  【解析】已知 0x y  ，因此只需构造出 x y 的整体即可 【答案】 2 1 2 2 x y m x y       ① ② ，①+②得， 3( ) 3x y m   ，∴ 3 03 mx y    ，∴ 3m  【例 17】 已知关于 x 、 y 的方程组 2 2 7 x y k x y k       ，则 : ________x y  【解析】先用含 k 的代数式表示 x 、 y ，再求 :x y 的值． 【答案】两方程相加得： 2 6x k 解得 3x k 将 3x k 代入 2x y k   得： 2y k ． 则 : 3 : 2 3: 2x y k k  ． 【巩固】已知 , ,x y z 满足方程组 2 0 7 4 5 0 x y z x y z        ，且 0x  ，求： : :x y z 的值. 【解析】此题为求解未知数比值的问题.可以先把其中的一个未知数看作常数，解方程组，然后再求比值. 【答案】 2 0 7 4 5 0 x y z x y z        ① ② ，① 2 +②得， 9 3 0x z  ，所以 3z x 将 3z x 代入①式，得 4 2x y ，即 2y x ∵ 0x  ，∴ : : : 2 :3 1: 2:3x y z x x x  【例 18】 二元一次方程组 2 3 3 2 3 2 2 3 x y x y      的解为 ______x  , _____y  【解析】由于未知数的系数为无理数，所以最好找到某个未知数系数的最小公倍数，用加减法解答． 【答案】 12 5 6 5 x y     【例 19】 解方程组： 2 164 62 2 3 7 2 y xy x y x x y           【解析】解复杂的方程组时，应先化简为整系数的二元一次方程组，再求解. 【答案】原方程组可以简为 6 11 16 5 3 7 y x x y      ① ② ， ①-② 2 得 2x  ，把 2x  代入②中，解得 1y   故原方程组的解为： 2 1 x y     课堂检测 1． 已知方程 2 1 22 3 17m nx y   是二元一次方程，则 ______m  ， _______n  【解析】根据二元一次方程的定义列出方程，求出 m 、 n 的值即可． 10 【答案】 1m   ， 0n  2． 已知 1 2 x y     ， 2 0 x y    都是方程 1ax by  的解，则 ______a  ， _____b  【解析】根据方程解的定义，解此题时可以把两组解分别代入原方程，列出关于 a ，b 的方程，即可求出 a ， b 的值． 【答案】 1 2a  ， 1 4b  3． 用代入法解方程组 3 7 2 5 13 x y x y      【解析】略 【答案】 3 7 2 5 13 x y x y      ① ② 由①式可得 3 7y x  ③， 把③式代入①式中，得 2 5(3 7) 13x x   ，整理，得 48 17x  把 48 17x  代入③中，可得 25 17y  这个方程组的解是 48 17 25 17 x y     4． 解二元一次方程组： 3 4 7 9 10 25 0 m n m n       【解析】略 【答案】 85 3 23 m n       课后作业 1． 已知 23 ky x  是二元一次方程，那么 k 的值是（ ） A. 2 B.3 C.1 D. 0 【解析】根据二元一次方程的定义，从二元一次方程的未知数的次数为 1 这一方面解答． 【答案】C 2． 解下列方程组： ⑴ 72 3 2 13 4 yx yx       ⑵ 23 4 4 133 m n n m nm        ⑶ 23 2 0.4 0.7 2.8 yx x y       ⑷ 5 120 3 11 120 x y y x      【解析】⑴ 6 12 x y    ；⑵ 3 3 m n    ；⑶ 0 4 x y    ；⑷ 120 480 x y    . 【答案】见解析 11 3． 已知方程组: 2 3 0 2 3 0 x y z x y z        ( 0xyz  )，求： : :x y z 【解析】把 z 看作已知数，解关于 x 、 y 的方程组，解得 5y z ， 7x z ，所以 : : 7 :5:1x y z  . 【答案】见解析