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  • 2021-10-25 发布

2019-2020学年山东省济南市平阴县七年级(下)期末数学试卷 解析版

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‎2019-2020学年山东省济南市平阴县七年级(下)期末数学试卷 一、选择题(本大题共12小题,每小题4分,共48分)‎ ‎1.(4分)下列标志中,可以看作是轴对称图形的是(  )‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎2.(4分)将0.000613用科学记数法表示应为(  )‎ A.6.13×10﹣4 B.0.613×10﹣4 C.6.13×10﹣5 D.613×10﹣4‎ ‎3.(4分)下列计算中:①(2x)3•(﹣5x2y)=﹣10x5y;②(2a2﹣b)(2a2+b)=4a2﹣b2;③(x+3)(3﹣x)=x2﹣9;④(﹣x+y)(x+y)=﹣(x﹣y)(x+y)=﹣x2﹣y2.其中错误的有(  )‎ A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 ‎4.(4分)如图,一扇窗户打开后,用窗钩AB可将其固定,这里所运用的几何原理是(  )‎ A.三角形的稳定性 B.两点之间线段最短 ‎ C.两点确定一条直线 D.垂线段最短 ‎5.(4分)若x2+(m﹣1)x+9是完全平方式,则m的值是(  )‎ A.7 B.﹣5 C.±6 D.7或﹣5‎ ‎6.(4分)如图,直线AB、CD相交于点O,EO⊥CD.下列说法错误的是(  )‎ A.∠AOD=∠BOC B.∠AOE+∠BOD=90° ‎ C.∠AOC=∠AOE D.∠AOD+∠BOD=180°‎ ‎7.(4分)将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置,下列结论:‎ ‎(1)∠1=∠2;‎ ‎(2)∠3=∠4;‎ ‎(3)∠2+∠4=90°;‎ ‎(4)∠4+∠5=180°,‎ 其中正确的个数是(  )‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎8.(4分)若|x+y﹣5|+(xy﹣3)2=0,则x2+y2的值为(  )‎ A.19 B.31 C.27 D.23‎ ‎9.(4分)一枚质地均匀的正方体骰子,其六个面上分别刻有1,2,3,4,5,6六个数字,投掷这个骰子一次,得到的点数与3,4作为等腰三角形三边的长,能构成等腰三角形的概率是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎10.(4分)如图所示,若AB∥CD,则∠A,∠D,∠E之间的度数关系是(  )‎ A.∠A+∠E+∠D=180° B.∠A﹣∠E+∠D=180° ‎ C.∠A+∠E﹣∠D=180° D.∠A+∠E+∠D=270°‎ ‎11.(4分)如图是由4个相同的小正方形组成的网格图,其中∠1+∠2等于(  )‎ A.150° B.180° C.210° D.225°‎ ‎12.(4分)如图所示,下列各三角形中的三个数之间均具有相同的规律,根据此规律,最后一个三角形中y与n之间的关系是(  )‎ A.y=2n+1 B.y=2n+n C.y=2n+1+n D.y=2n+n+1‎ 二、填空题(共6小题,每小题4分,满分24分).‎ ‎13.(4分)计算:=   .‎ ‎14.(4分)如果(3m+n+3)(3m+n﹣3)=40,则3m+n的值为   .‎ ‎15.(4分)如图,已知:∠A=∠D,∠1=∠2,下列条件中:①∠E=∠B;②EF=BC;③AB=EF;④AF=CD.能使△ABC≌△DEF的有   .(填序号)‎ ‎16.(4分)如图所示,一个角60°的三角形纸片,剪去这个60°角后,得到一个四边形,则∠1+∠2=   .‎ ‎17.(4分)如图,D、E为AB、AC的中点,将△ABC沿线段DE折叠,使点A落在点F处,若∠B=50°,则∠BDF=   度.‎ ‎18.(4分)如图,EB交AC于点M,交C于点D,AB交FC于点N,∠E=∠F=90°,∠B=∠C,AE=AF,给出下列结论:①∠1=∠2;②CD=DN;③△ACN≌△ABM;④BE=CF.其中正确的结论有   .(填序号)‎ 三、解答愿(共9小题,满分78分,解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤)‎ ‎19.(8分)计算:‎ ‎(1)(﹣2a2)2•(3ab2﹣5ab+1);‎ ‎(2)(π﹣2020)0+()2018×(﹣)2020+(﹣2)﹣2.‎ ‎20.(6分)先化简,再求值:‎ ‎[(2x﹣y)2+(2x﹣y)(2x+y)+8xy]÷4x,其中x=﹣,y=4‎ ‎21.(6分)如图,C,F是线段AB上的两点,AF=BC,CD∥BE,∠D=∠E.‎ 求证:AD=FE.‎ ‎22.(6分)如图,点G在CA的延长线上,AF=AG,AD⊥BC,GE⊥BC.‎ 求证:AD平分∠BAC.‎ 证明:∵AF=AG(已知),∴∠AGF=∠AFG(   ).‎ ‎∵AD⊥BC,GE⊥BC(已知),‎ ‎∴∠ADC=∠GEC=90°(   ).‎ ‎∴AD∥GE(   ).‎ ‎∴∠CAD=   (两直线平行,同位角相等).‎ ‎∠BAD=∠AFG(   ).‎ ‎∴∠CAD=∠BAD(等量代换).‎ ‎∴AD平分∠BAC(   ).‎ ‎23.(9分)小亮和小芳都想参加学校杜团组织的暑假实践活动,但只有一个名额,小亮提议用如下的办法决定谁去参加活动:将一个转盘9等分,分别标上1至9九个号码,随意转动转盘,若转到2的倍数,小亮去参加活动;转到3的倍数,小芳去参加活动;转到6或者其它号码,则重新转动转盘.‎ ‎(1)转盘转到2的倍数的概率是多少?‎ ‎(2)你认为这个游戏公平吗?请说明理由.‎ ‎24.(10分)“龟兔赛跑”的故事同学们都非常热悉,图中的线段OD和折线OABC表示“龟兔赛跑时路程与时间的关系,请你根据图中给出的信息,解决下列问题.‎ ‎(1)填空:折线OABC表示赛跑过程中   (填“兔子”或“乌龟”)的路程与时间的关系,赛跑的全过程是   米.‎ ‎(2)兔子在起初每分钟跑多少米?乌龟每分钟爬多少米?‎ ‎(3)乌龟用了多少分钟追上了正在睡觉的兔子?‎ ‎(4)兔子醒来后,以400米/分的速度跑向终点,结果还是比乌龟晚到了0.5分钟,请你算算兔子中间停下睡觉用了多少分钟.‎ ‎25.(9分)作图题 ‎(1)如图1,作出△ABC关于直线l的对称图形;‎ ‎(2)“西气东输”是造福子孙后代的创世纪工程.现有两条高速公路和A、B两个城镇(如图2),准备建立一个燃气中心站P,使中心站到两条公路距离相等,并且到两个城镇距离相等,请你画出中心站位置.‎ ‎26.(12分)某学习小组在探究三角形全等时,发现了下面这种典型的基本图形:‎ ‎(1)如图1,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,直线m经过点A,BD⊥直线m,CE⊥直线m,垂足分别为点D、E.试猜想DE、BD、CE有怎样的数量关系,并说明理由.‎ ‎(2)组员小颖想,如果三个角不是直角,那结论是否成立呢?‎ 如图2,将(1)中的条件改为:在△ABC中,AB=AC,D、A、B三点都在直线m上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α(其中α为任意锐角或钝角).如果成立,请你给出推理过程;若不成立,请说明理由.‎ ‎27.(12分)已知Rt△ABC和Rt△DBE,∠ABC=∠DBE=90°,AB=CB,DB=EB,CE 所在的直线交AD于点F.‎ ‎(1)如图1,若点D在△ABC外,点B在AB边上,求证:AD=CE,AD⊥CE.‎ ‎(2)若将图1中的△DBE绕点B顺时针旋转,使点B在△ABC内部,如图2,求证:AD=CE,AD⊥CE.‎ ‎(3)若将图1中的△DBE绕点B逆时针旋转,使点D、E都在△ABC外部,如图3,请直出AD和CE的数量和位置关系.‎ ‎2019-2020学年山东省济南市平阴县七年级(下)期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题(本大题共12小题,每小题4分,共48分)‎ ‎1.(4分)下列标志中,可以看作是轴对称图形的是(  )‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎【分析】根据轴对称图形的概念求解.‎ ‎【解答】解:A、不是轴对称图形,不符合题意;‎ B、不是轴对称图形,不符合题意;‎ C、不是轴对称图形,不符合题意;‎ D、是轴对称图形,符合题意.‎ 故选:D.‎ ‎2.(4分)将0.000613用科学记数法表示应为(  )‎ A.6.13×10﹣4 B.0.613×10﹣4 C.6.13×10﹣5 D.613×10﹣4‎ ‎【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示,一般形式为a×10﹣n,与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂,指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.‎ ‎【解答】解:0.000613=6.13×10﹣4,‎ 故选:A.‎ ‎3.(4分)下列计算中:①(2x)3•(﹣5x2y)=﹣10x5y;②(2a2﹣b)(2a2+b)=4a2﹣b2;③(x+3)(3﹣x)=x2﹣9;④(﹣x+y)(x+y)=﹣(x﹣y)(x+y)=﹣x2﹣y2.其中错误的有(  )‎ A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 ‎【分析】根据积的乘方和同底数幂的乘法对①进行判断;利用平方差公式对②③④‎ 进行判断.‎ ‎【解答】解:(2x)3•(﹣5x2y)=8x3•(﹣5x2y)=﹣40x5y,所以①错误;‎ ‎(2a2﹣b)(2a2+b)=4a2﹣b2;,所以②正确;‎ ‎(x+3)(3﹣x)=9﹣x2﹣9,所以③正确;‎ ‎(﹣x+y)(x+y)=﹣(x﹣y)(x+y)=﹣(x2﹣y2)=﹣x2+y2,所以④错误.‎ 故选:B.‎ ‎4.(4分)如图,一扇窗户打开后,用窗钩AB可将其固定,这里所运用的几何原理是(  )‎ A.三角形的稳定性 B.两点之间线段最短 ‎ C.两点确定一条直线 D.垂线段最短 ‎【分析】根据加上窗钩,可以构成三角形的形状,故可用三角形的稳定性解释.‎ ‎【解答】解:构成△AOB,这里所运用的几何原理是三角形的稳定性.‎ 故选:A.‎ ‎5.(4分)若x2+(m﹣1)x+9是完全平方式,则m的值是(  )‎ A.7 B.﹣5 C.±6 D.7或﹣5‎ ‎【分析】先根据两平方项确定出这两个数,再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m的值.‎ ‎【解答】解:∵x2+(m﹣1)x+9=x2+(m﹣1)x+32,‎ ‎∴(m﹣1)x=±2•x•3,‎ 解得m=﹣5或7.‎ 故选:D.‎ ‎6.(4分)如图,直线AB、CD相交于点O,EO⊥CD.下列说法错误的是(  )‎ A.∠AOD=∠BOC B.∠AOE+∠BOD=90° ‎ C.∠AOC=∠AOE D.∠AOD+∠BOD=180°‎ ‎【分析】根据对顶角性质、邻补角定义及垂线的定义逐一判断可得.‎ ‎【解答】解:A、∠AOD与∠BOC是对顶角,所以∠AOD=∠BOC,此选项正确;‎ B、由EO⊥CD知∠DOE=90°,所以∠AOE+∠BOD=90°,此选项正确;‎ C、∠AOC与∠BOD是对顶角,所以∠AOC=∠BOD,此选项错误;‎ D、∠AOD与∠BOD是邻补角,所以∠AOD+∠BOD=180°,此选项正确;‎ 故选:C.‎ ‎7.(4分)将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置,下列结论:‎ ‎(1)∠1=∠2;‎ ‎(2)∠3=∠4;‎ ‎(3)∠2+∠4=90°;‎ ‎(4)∠4+∠5=180°,‎ 其中正确的个数是(  )‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎【分析】根据两直线平行同位角相等,内错角相等,同旁内角互补,及直角三角板的特殊性解答.‎ ‎【解答】解:∵纸条的两边平行,‎ ‎∴(1)∠1=∠2(同位角);‎ ‎(2)∠3=∠4(内错角);‎ ‎(4)∠4+∠5=180°(同旁内角)均正确;‎ 又∵直角三角板与纸条下线相交的角为90°,‎ ‎∴(3)∠2+∠4=90°,正确.‎ 故选:D.‎ ‎8.(4分)若|x+y﹣5|+(xy﹣3)2=0,则x2+y2的值为(  )‎ A.19 B.31 C.27 D.23‎ ‎【分析】根据非负数的性质可得x+y﹣5=0,xy﹣3=0,整理后再利用完全平方公式展开并整理即可得解.‎ ‎【解答】解:根据题意得,x+y﹣5=0,xy﹣3=0,‎ ‎∴x+y=5,xy=3,‎ ‎∵(x+y)2=x2+2xy+y2=25,‎ ‎∴x2+y2=25﹣2×3=25﹣6=19.‎ 故选:A.‎ ‎9.(4分)一枚质地均匀的正方体骰子,其六个面上分别刻有1,2,3,4,5,6六个数字,投掷这个骰子一次,得到的点数与3,4作为等腰三角形三边的长,能构成等腰三角形的概率是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【分析】画树状图展示所有6种等可能的结果数,再根据等腰三角形的判定方法找出能构成等腰三角形的结果数,然后根据概率公式计算.‎ ‎【解答】解:画树状图为:‎ 共有6种等可能的结果数,能构成等腰三角形的结果数为2,‎ 所以能构成等腰三角形的概率==.‎ 故选:C.‎ ‎10.(4分)如图所示,若AB∥CD,则∠A,∠D,∠E之间的度数关系是(  )‎ A.∠A+∠E+∠D=180° B.∠A﹣∠E+∠D=180° ‎ C.∠A+∠E﹣∠D=180° D.∠A+∠E+∠D=270°‎ ‎【分析】本题主要利用两直线平行,同旁内角互补以及两直线平行内错角相等进行做题.‎ ‎【解答】解:过点E作AB∥EF,‎ ‎∵AB∥CD,‎ ‎∴AB∥CD∥EF,‎ ‎∴∠A+∠AEF=180°,∠D=∠DEF,‎ ‎∴∠A+∠AEF+∠DEF=180°+∠D,‎ 即∠A+∠E﹣∠D=180°.‎ 故选:C.‎ ‎11.(4分)如图是由4个相同的小正方形组成的网格图,其中∠1+∠2等于(  )‎ A.150° B.180° C.210° D.225°‎ ‎【分析】根据SAS可证得△ABC≌△EDC,可得出∠BAC=∠DEC,继而可得出答案.‎ ‎【解答】解:‎ 由题意得:AB=ED,BC=DC,∠D=∠B=90°,‎ ‎∴△ABC≌△EDC(SAS),‎ ‎∴∠BAC=∠1,‎ ‎∠1+∠2=180°.‎ 故选:B.‎ ‎12.(4分)如图所示,下列各三角形中的三个数之间均具有相同的规律,根据此规律,最后一个三角形中y与n之间的关系是(  )‎ A.y=2n+1 B.y=2n+n C.y=2n+1+n D.y=2n+n+1‎ ‎【分析】由题意可得下边三角形的数字规律为:n+2n,继而求得答案.‎ ‎【解答】解:∵观察可知:左边三角形的数字规律为:1,2,…,n,‎ 右边三角形的数字规律为:2,22,…,2n,‎ 下边三角形的数字规律为:1+2,2+22,…,n+2n,‎ ‎∴y=2n+n.‎ 故选:B.‎ 二、填空题(共6小题,每小题4分,满分24分).‎ ‎13.(4分)计算:= a2﹣ab+b2 .‎ ‎【分析】原式利用完全平方公式展开即可.‎ ‎【解答】解:原式=a2﹣ab+b2.‎ 故答案为:a2﹣ab+b2‎ ‎14.(4分)如果(3m+n+3)(3m+n﹣3)=40,则3m+n的值为 ±7 .‎ ‎【分析】利用平方差公式得到(3m+n)2﹣32=40,然后根据平方根的定义计算3m+n的值.‎ ‎【解答】解:∵(3m+n+3)(3m+n﹣3)=40,‎ ‎∴(3m+n)2﹣32=40,‎ ‎∴(3m+n)2=49‎ ‎∴3m+n=±7.‎ 故答案为±7.‎ ‎15.(4分)如图,已知:∠A=∠D,∠1=∠2,下列条件中:①∠E=∠B;②EF=BC;③AB=EF;④AF=CD.能使△ABC≌△DEF的有 ②④ .(填序号)‎ ‎【分析】全等三角形的判定定理有SAS,ASA,AAS,SSS,根据定理和已知条件逐个判断即可.‎ ‎【解答】解:‎ ‎①∠E=∠B,不符合全等三角形的判定定理,不能推出△ABC≌△DEF,∴①错误;‎ ‎②EF=BC,符合全等三角形的判定定理,可以用AAS证明△ABC≌△DEF,∴②正确;‎ ‎③AB=EF,不符合全等三角形的判定定理,不能推出△ABC≌△DEF,∴③错误;‎ ‎④∵AF=CD,‎ ‎∴AF+FC=CD+FC,‎ ‎∴AC=DF,‎ 在△ABC和△DEF中,‎ ‎,‎ ‎∴△ABC≌△DEF(ASA),‎ ‎∴④正确;‎ 故答案为:②④.‎ ‎16.(4分)如图所示,一个角60°的三角形纸片,剪去这个60°角后,得到一个四边形,则∠1+∠2= 240° .‎ ‎【分析】三角形纸片中,剪去其中一个60°‎ 的角后变成四边形,则根据多边形的内角和等于360度即可求得∠1+∠2的度数.‎ ‎【解答】解:根据三角形的内角和定理得:‎ 四边形除去∠1,∠2后的两角的度数为180°﹣60°=120°,‎ 则根据四边形的内角和定理得:‎ ‎∠1+∠2=360°﹣120°=240°.‎ 故答案为:240°.‎ ‎17.(4分)如图,D、E为AB、AC的中点,将△ABC沿线段DE折叠,使点A落在点F处,若∠B=50°,则∠BDF= 80 度.‎ ‎【分析】根据中位线的定义得出ED∥BC,再根据平行的性质和折叠的性质即可求.‎ ‎【解答】解:∵D、E为AB、AC的中点,‎ ‎∴DE为△ABC的中位线,ED∥BC,‎ ‎∴∠ADE=∠ABC ‎∵∠ABC=50°,‎ ‎∴∠ADE=50°,‎ 由于对折前后两图形全等,故∠EDF=50°,‎ ‎∠BDF=180°﹣50°×2=80°.‎ ‎18.(4分)如图,EB交AC于点M,交C于点D,AB交FC于点N,∠E=∠F=90°,∠B=∠C,AE=AF,给出下列结论:①∠1=∠2;②CD=DN;③△ACN≌△ABM;④BE=CF.其中正确的结论有 ①③④ .(填序号)‎ ‎【分析】①根据已知条件可以证明在△ABE和△ACF全等,即可得∠1=∠2;‎ ‎②没有条件可以证明CD=DN,即可判断;‎ ‎③结合①和已知条件即可得△ACN≌△ABM;‎ ‎④根据△ABE≌△ACF,可得BE=CF,‎ ‎【解答】解:①在△ABE和△ACF中,‎ ‎,‎ ‎∴△ABE≌△ACF(AAS),‎ ‎∴∠EAB=∠FAC,‎ ‎∴∠EAB﹣∠BAC=∠FAC﹣∠BAC,‎ ‎∴∠1=∠2.‎ ‎∴①正确;‎ 没有条件可以证明CD=DN,‎ ‎∴②错误;‎ ‎∵△ABE≌△ACF,‎ ‎∴AB=AC,‎ 在△ACN和△ABM中,‎ ‎,‎ ‎∴△ACN≌△ABM(ASA),‎ ‎∴③正确;‎ ‎∵△ABE≌△ACF,‎ ‎∴BE=CF,‎ ‎∴④正确.‎ ‎∴其中正确的结论有①③④.‎ 故答案为:①③④.‎ 三、解答愿(共9小题,满分78分,解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤)‎ ‎19.(8分)计算:‎ ‎(1)(﹣2a2)2•(3ab2﹣5ab+1);‎ ‎(2)(π﹣2020)0+()2018×(﹣)2020+(﹣2)﹣2.‎ ‎【分析】(1)先算积的乘方,再算单项式乘多项式;‎ ‎(2)先算零指数幂,乘方,负整数指数幂,再算加减法即可求解.‎ ‎【解答】解:(1)(﹣2a2)2•(3ab2﹣5ab+1)‎ ‎=4a4•(3ab2﹣5ab+1)‎ ‎=12a5b2﹣20a5b+4a4;‎ ‎(2)(π﹣2020)0+()2018×(﹣)2020+(﹣2)﹣2‎ ‎=1+[×(﹣)]2018×(﹣)2+‎ ‎=1++‎ ‎=3.‎ ‎20.(6分)先化简,再求值:‎ ‎[(2x﹣y)2+(2x﹣y)(2x+y)+8xy]÷4x,其中x=﹣,y=4‎ ‎【分析】首先计算小括号,再计算中括号里面,合并同类项后,再算除法,化简后,再代入x、y的值求值即可.‎ ‎【解答】解:原式=(4x2﹣4xy+y2+4x2﹣y2+8xy)÷4x,‎ ‎=(8x2+4xy)÷4x,‎ ‎=2x+y,‎ 当x=﹣,y=4时,原式=﹣1+4=3.‎ ‎21.(6分)如图,C,F是线段AB上的两点,AF=BC,CD∥BE,∠D=∠E.‎ 求证:AD=FE.‎ ‎【分析】根据两直线平行,同位角相等,求出∠ACD=∠B,然后证明△ACD和△FBE全等,再利用全等三角形的对应边相等进行解答.‎ ‎【解答】证明:∵CD∥BE,‎ ‎∴∠ACD=∠B,‎ ‎∵AF=BC,‎ ‎∴AF+FC=BC+CF 即AC=FB,‎ 在△ACD和△FBE中,‎ ‎∴△ACD≌△FBE(AAS),‎ ‎∴AD=FE.‎ ‎22.(6分)如图,点G在CA的延长线上,AF=AG,AD⊥BC,GE⊥BC.‎ 求证:AD平分∠BAC.‎ 证明:∵AF=AG(已知),∴∠AGF=∠AFG( 等腰三角形的性质 ).‎ ‎∵AD⊥BC,GE⊥BC(已知),‎ ‎∴∠ADC=∠GEC=90°( 垂直的定义 ).‎ ‎∴AD∥GE( 同位角相等,两直线平行 ).‎ ‎∴∠CAD= ∠G (两直线平行,同位角相等).‎ ‎∠BAD=∠AFG( 两直线平行,内错角相等 ).‎ ‎∴∠CAD=∠BAD(等量代换).‎ ‎∴AD平分∠BAC( 角平分线的定义 ).‎ ‎【分析】根据等腰三角形性质可得∠G=∠GFA;根据平行线的判定方法可得AD∥GF,运用平行线的性质得角的关系求证.‎ ‎【解答】证明:∵AF=AG(已知),‎ ‎∴∠AGF=∠AFG(等腰三角形的性质).‎ ‎∵AD⊥BC,GE⊥BC(已知),‎ ‎∴∠ADC=∠GEC=90°(垂直的定义).‎ ‎∴AD∥GE(同位角相等,两直线平行).‎ ‎∴∠CAD=∠G(两直线平行,同位角相等).‎ ‎∠BAD=∠AFG(两直线平行,内错角相等).‎ ‎∴∠CAD=∠BAD(等量代换).‎ ‎∴AD平分∠BAC(角平分线的定义),‎ 故答案为:等腰三角形的性质,垂直的定义,同位角相等,两直线平行,∠G,两直线平行,内错角相等,角平分线的定义.‎ ‎23.(9分)小亮和小芳都想参加学校杜团组织的暑假实践活动,但只有一个名额,小亮提议用如下的办法决定谁去参加活动:将一个转盘9等分,分别标上1至9九个号码,随意转动转盘,若转到2的倍数,小亮去参加活动;转到3的倍数,小芳去参加活动;转到6或者其它号码,则重新转动转盘.‎ ‎(1)转盘转到2的倍数的概率是多少?‎ ‎(2)你认为这个游戏公平吗?请说明理由.‎ ‎【分析】(1)直接根据概率公式计算可得;‎ ‎(2)利用概率公式计算出两人获胜的概率即可判断.‎ ‎【解答】解:(1)∵共有9种等可能的结果,其中2的倍数有4个,‎ ‎∴P(转到2的倍数)=;‎ ‎(2)游戏不公平,‎ ‎∵共有9种等可能的结果,其中3的倍数有3个,‎ ‎∴P(转到3的倍数)==,‎ ‎∵>,‎ ‎∴游戏不公平.‎ ‎24.(10分)“龟兔赛跑”的故事同学们都非常热悉,图中的线段OD和折线OABC表示“龟兔赛跑时路程与时间的关系,请你根据图中给出的信息,解决下列问题.‎ ‎(1)填空:折线OABC表示赛跑过程中 兔子 (填“兔子”或“乌龟”)的路程与时间的关系,赛跑的全过程是 1500 米.‎ ‎(2)兔子在起初每分钟跑多少米?乌龟每分钟爬多少米?‎ ‎(3)乌龟用了多少分钟追上了正在睡觉的兔子?‎ ‎(4)兔子醒来后,以400米/分的速度跑向终点,结果还是比乌龟晚到了0.5分钟,请你算算兔子中间停下睡觉用了多少分钟.‎ ‎【分析】(1)利用乌龟始终运动,中间没有停留,而兔子中间有休息的时刻,即可得出折线OABC的意义和全程的距离;‎ ‎(2)根据图象中点A、D实际意义可得速度;‎ ‎(3)根据乌龟的速度及兔子睡觉时的路程即可得;‎ ‎(4)利用兔子的速度,求出兔子走完全程的时间,再求解即可.‎ ‎【解答】解:(1)∵乌龟是一直跑的而兔子中间有休息的时刻,‎ ‎∴折线OABC表示赛跑过程中兔子的路程与时间的关系;‎ 由图象可知:赛跑的全过程为1500米;‎ 故答案为:兔子,1500;‎ ‎(2)结合图象得出:‎ 兔子在起初每分钟跑700÷2=350(米),乌龟每分钟爬1500÷50=30(米).‎ ‎(3)700÷30=(分钟),‎ 所以乌龟用了分钟追上了正在睡觉的兔子.‎ ‎(4)∵兔子跑了700米停下睡觉,用了2分钟,‎ ‎∴剩余800米,所用的时间为:800÷400=2(分钟),‎ ‎∴兔子睡觉用了:50.5﹣2﹣2=46.5(分钟).‎ 所以兔子中间停下睡觉用了46.5分钟.‎ ‎25.(9分)作图题 ‎(1)如图1,作出△ABC关于直线l的对称图形;‎ ‎(2)“西气东输”是造福子孙后代的创世纪工程.现有两条高速公路和A、B两个城镇(如图2),准备建立一个燃气中心站P,使中心站到两条公路距离相等,并且到两个城镇距离相等,请你画出中心站位置.‎ ‎【分析】(1)从三角形各顶点向直线引垂线,找三点关于直线的轴对称点,然后顺次连接就是所画的图形.‎ ‎(2)到两条公路的距离相等,则要画两条公路的夹角的角平分线,到A,B两点的距离相等又要画线段AB的垂直平分线,两线的交点就是点P的位置.‎ ‎【解答】解:(1)如图1所示:‎ ‎(2)如图2所示,‎ ‎26.(12分)某学习小组在探究三角形全等时,发现了下面这种典型的基本图形:‎ ‎(1)如图1,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,直线m经过点A,BD⊥直线m,CE⊥直线m,垂足分别为点D、E.试猜想DE、BD、CE有怎样的数量关系,并说明理由.‎ ‎(2)组员小颖想,如果三个角不是直角,那结论是否成立呢?‎ 如图2,将(1)中的条件改为:在△ABC中,AB=AC,D、A、B三点都在直线m上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α(其中α为任意锐角或钝角).如果成立,请你给出推理过程;若不成立,请说明理由.‎ ‎【分析】(1)由条件可证明△ABD≌△CAE,可得DA=CE,AE=BD,可得DE=BD+CE;‎ ‎(2)由条件可知∠BAD+∠CAE=180°﹣α,且∠DBA+∠BAD=180°﹣α,可得∠DBA=∠CAE,结合条件可证明△ABD≌△CAE,同(1)可得出结论.‎ ‎【解答】(1)证明:‎ ‎∵BD⊥DE,CE⊥DE,‎ ‎∴∠BDA=∠CEA=90°,‎ ‎∵∠BAC=90°,‎ ‎∴∠BAD+∠CAE=∠BAD+∠ABD=90°,‎ ‎∴∠ABD=∠CAE,‎ 在△ABD和△CAE中,‎ ‎,‎ ‎∴△ABD≌△CAE(AAS),‎ ‎∴BD=AE,CE=DA,‎ ‎∴DE=AE+DA=BD+CE;‎ ‎(2)解:成立,证明如下:‎ ‎∵∠BDA=∠AEC=∠BAC=a,‎ ‎∴∠BAD+∠CAE=180°﹣α,且∠DBA+∠BAD=180°﹣α,‎ ‎∴∠DBA=∠CAE,‎ 在△ABD和△CAE中,‎ ‎,‎ ‎∴△ABD≌△CAE(AAS),‎ ‎∴BD=AE,CE=DA,‎ ‎∴DE=AE+DA=BD+CE.‎ ‎27.(12分)已知Rt△ABC和Rt△DBE,∠ABC=∠DBE=90°,AB=CB,DB=EB,CE所在的直线交AD于点F.‎ ‎(1)如图1,若点D在△ABC外,点B在AB边上,求证:AD=CE,AD⊥CE.‎ ‎(2)若将图1中的△DBE绕点B顺时针旋转,使点B在△ABC内部,如图2,求证:AD=CE,AD⊥CE.‎ ‎(3)若将图1中的△DBE绕点B逆时针旋转,使点D、E都在△ABC外部,如图3,请直出AD和CE的数量和位置关系.‎ ‎【分析】(1)证明△ABD≌△CBE,根据全等三角形的性质得到AD=CE,∠BAD=∠BCE,根据垂直的定义证明即可;‎ ‎(2)证明∠ABD=∠CBE,同(1)的方法证明;‎ ‎(3)证明∠ABD=∠CBE,同(2)的方法证明结论.‎ ‎【解答】(1)证明:在△ABD和△CBE中,‎ ‎,‎ ‎∴△ABD≌△CBE(SAS)‎ ‎∴AD=CE,∠BAD=∠BCE,‎ ‎∵∠ABD=90°,‎ ‎∴∠ADB+∠BAD=90°,‎ ‎∴∠ADB+∠BCE=90°,‎ ‎∴∠CFD=90°,‎ ‎∴AD⊥CE,‎ ‎∴AD=CE,AD⊥CE;‎ ‎(2)证明:∵∠ABC=∠DBE,‎ ‎∴∠ABC﹣∠ABE=∠DBE﹣∠ABE,即∠ABD=∠CBE,‎ 在△ABD和△CBE中,‎ ‎,‎ ‎∴△ABD≌△CBE(SAS)‎ ‎∴AD=CE,∠BAD=∠BCE,‎ ‎∵∠ABC=90°,‎ ‎∴∠BOC+∠BAE=90°,‎ ‎∵∠BOC=∠AOF,‎ ‎∴∠BAD+∠AOF=90°,‎ ‎∴∠AFO=90°,‎ ‎∴AD⊥CE,‎ ‎∴AD=CE,AD⊥CE;‎ ‎(3)AD=CE,AD⊥CE;‎ 理由如下:∵∠ABC=∠DBE,‎ ‎∴∠ABC+∠ABE=∠DBE+∠ABE,即∠ABD=∠CBE,‎ 同(2)的方法,可以得到AD=CE,AD⊥CE.‎