七年级数学上册第5章相交线与平行线5-1相交线2垂线习题课件新版华东师大版 36页

2. 垂 线 1. 了解垂线的概念，掌握垂线的性质 .( 重点 ) 2. 理解点到直线的距离的概念 . 3. 会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线，会用垂线的性质解决问题 . ( 难点 ) 一、垂直的概念及符号表示 1. 当两条直线相交所构成的四个角中有一个角是 _____ 时，其他 三个角也都成为 _____ ，此时叫做这两条直线互相垂直，其中一 条直线是另一条直线的垂线，它们的交点叫做 _____. 2. 垂直的符号是 ___ ，直线 AB 与直线 CD 垂直，记作 _______ ，直线 m 与直线 n 垂直，记作 _____. 直角 直角 垂足 ⊥ AB⊥CD m⊥n 二、垂线的性质 垂线的性质 1 用三角尺或量角器画已知直线 l 的垂线： (1) 如图 1 ，画已知直线 l 的垂线，这样的直线能画 _____ 条 . (2) 如图 2 ，过点 A 画直线 l 的垂线，这样的直线能画 ___ 条 . (3) 如图 3 ，过点 B 画直线 l 的垂线，这样的直线能画 ___ 条 . 无数 一 一 【 思考 】 (1) 通过①的探究，能得到关于垂线的怎样的结论？ 提示： 直线 l 的垂线有无数条 . (2) 通过②③的探究，能得到关于垂线的怎样的结论？ 提示： 经过一点只能画一条直线与已知直线垂直 . 【 总结 】 过一点 _____________ 直线与已知直线垂直 . 有且只有一条 三、点到直线的距离 如图，点 P 为直线 l 外一点， 点 A ， B ， C ， D ， E 为直线 l 上的点，且 PC⊥ l 于 C, 用刻 度尺或圆规比较线段 PA ， PB ， PC ， PD ， PE 的大小，得到最短的线段为 ___.PC 叫做点 P 到直线 l 的垂线段， PC 的长度叫做点 P 到直线 l 的距离 . 【 总结 】 从直线外一点到这条直线的 _______ 的长度 , 叫做点到直线的距离 . 垂线段 PC ( 打“√”或“ ×”) (1) 作已知直线的垂线，有且只有一条 .( ) (2) 两条直线相交成四个角，如果其中一个角是直角，那么另 外三个角也一定都是直角 .( ) (3) 过直线外一点画已知直线的垂线，只能画一条 .( ) (4) 直线 l 外一点与直线上各点的距离长短不一，最短的是垂线 段 .( ) (5) 从直线外一点引这条直线的垂线段，叫做点到直线的距 离 .( ) × √ √ √ × 知识点 1 垂线 【 例 1】 如图，已知三角形 ABC 中， ∠ BAC 是钝角 . (1) 画出点 C 到 AB 的垂线段 . (2) 过点 A 画 BC 的垂线 . (3) 点 B 到 AC 的距离是多少？ 【 思路点拨 】 (1) 延长 BA→ 画点 C 到射线 BA 的垂线段→得到点 C 到 AB 的垂线段 . (2) 画过点 A 与 BC 垂直的直线 . (3) 延长 CA→ 画出点 B 到射线 CA 的垂线段→测量垂线段的长度→得到点 B 到 AC 的距离 . 【 自主解答 】 (1) 如图，画出射线 BA, 过点 C 作射线 BA 的垂线，垂足为 F, 则 线段 CF 就是点 C 到 AB 的垂线段 . (2) 如图，过点 A 作 AD⊥BC 于点 D ，则 直线 AD 就是过 A 点画的 BC 的垂线 . (3) 如图，先画出点 B 到射线 CA 的垂线段 BE ，再量出线段 BE 的长度， BE 的长度即为点 B 到 AC 的距离 . 点 B 到 AC 的距离约为 1.3 cm. 【 互动探究 】 垂线段和垂线有什么区别 ? 提示： 垂线段是线段，而垂线是直线 . 【 总结提升 】 垂线与其相关概念的关系 1. 垂线与垂直：垂线是指互相垂直的两条直线，而垂直则是指两条直线之间的位置关系，垂直强调的是一种位置关系，垂线是一种图形 . 2. 垂线与垂线段：垂线是两条互相垂直的直线，不可度量；垂线段是线段 ( 垂线上一点与垂足之间的线段 ) ，可以度量 . 垂线和垂线段都是几何图形，垂线段是垂线的一部分 . 3. 垂线段与点到直线的距离：垂线段是一种几何图形，属于 “ 形 ” 的概念；点到直线的距离是指垂线段的长度，属于 “ 量 ” 的概念，不能认为点到直线的距离就是垂线段 . 知识点 2 垂线的性质及其应用 【 例 2】 如图，点 A 表示小明家，点 B 表示小明外婆家，若小明先去外婆家拿渔具，然后再去河边钓鱼，怎样走路线最短，请画出行走路径 . 【 解题探究 】 1. 怎样确定小明家到外婆家最短路程？为什么？ 提示： 小明家到外婆家最短路程是线段 AB 的长度，理由是两点之间线段最短 . 2. 怎样确定外婆家到小河边的最短路程？为什么？ 提示： 外婆家到小河边的最短路程是点 B 到河边直线的垂线段的长度，理由是垂线段最短 . 3. 画图，连结 AB ，过点 B 作 BC 垂直河边直线于点 C. 4. 结论：最短行走路径为 ________. C A→B→C 【 总结提升 】 解决 “ 平面上最短问题 ” 的两把钥匙 1. 两点之间，线段最短 . 2. 垂线段最短 . 题组一： 垂线 1. 数学课上，同学们在练习过点 B 作线段 AC 所在直线的垂线段时，有一部分同学画出下列四种图形，请你数一数，错误的有 ( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 【 解析 】 选 D. 从左向右第一个图形中， BE 不是线段；第二个图形中， BE 不垂直于 AC ；第三个图形中，是过点 E 作的 AC 的垂线段； 第四个图形是过点 E 作的 BC 的垂线线 . 综上所述 4 个都不正确 . 2. 如图，点 O 在直线 AB 上，且 OC⊥OD. 若∠ COA=36° ，则∠ DOB 的大小为 ( ) A.36° B.54° C.64° D.72° 【 解析 】 选 B. 因为 OC⊥OD ，所以∠ COD=90°. 又因为∠ COA+∠COD+∠DOB=180° ，所以∠ DOB=180°-36°-90°=54°. 【 变式训练 】 如图所示， A ， B ， C 三 点在同一条直线上，已知∠ 1=23° ， ∠ 2=67° ，则 CD 与 CE 的位置关系是 _______. 【 解析 】 因∠ ACB=180° ，∠ 1=23° ， ∠ 2=67° ，则∠ ECD=90° ，故 CD⊥CE. 答案： 垂直 3. 如图， AB⊥CD 于点 B ， BE 是∠ ABD 的平分线，则∠ CBE 的度数为 ________ 度 . 【 解析 】 因为 AB⊥CD ，所以∠ ABC=∠ABD=90°. 因为 BE 平分∠ ABD ，所以∠ ABE= ∠ABD=45° ，所以∠ CBE=∠ABC+∠ABE=90°+45°=135°. 答案： 135 4. 如图， OA⊥OB ， OC⊥OD. 若∠ AOD=144° ，则∠ BOC=_____ 度 . 【 解析 】 因为 OA⊥OB ， OC⊥OD ， 所以∠ AOB=∠COD=90°. 又因为∠ AOD+∠AOB+∠BOC+∠COD=360° ，∠ AOD=144° ，所以∠ BOC=360°-∠AOD-∠AOB-∠COD=360°-144°-90°-90°= 36°. 答案： 36 5. 如图，直线 AB 与 CD 相交于点 O ， OE⊥CD ， OF⊥AB ∠DOF=65°. 求∠ BOE 的度数 . 【 解析 】 因为 OF⊥AB ，所以∠ BOF=90°. 因为∠ DOF=65° ， 所以∠ BOD=∠BOF-∠DOF=90°-65°=25°. 因为 OE⊥CD ，所以∠ DOE=90° ， 所以∠ BOE=∠DOE-∠BOD=90°-25°=65°. 题组二： 垂线的性质及其应用 1. 如图，这是一条马路上的人行横道线， 即斑马线的示意图，请你根据图示判断， 在过马路时三条线路 AC ， AB ， AD 中最短 的是 ( ) A.AC B.AB C.AD D. 不确定 【 解析 】 选 B. 由垂线段最短可知， AB 最短 . 2. 如图，有三条公路，其中 AC 与 AB 互相垂直，小华与小强分别从 A 地， B 地沿 AC ， BC 同时出发，骑车去 C 城， 若他们同时到达，则下列判断正确的是 ( ) A. 小强骑车的速度快 B. 小华骑车的速度快 C. 两人一样快 D. 因为不知道公路的长度，所以无法判断他们速度的快慢 【 解析 】 选 A. 因为 AC⊥AB ，所以 BC ＞ AC ，由于他们同时出发，同时到达，所以小强骑车的速度快 . 3. 如图是小亮同学在体育课上跳远后留下的脚印，他的跳远成绩是线段 _______ 的长度 . 【 解析 】 因为身体在沙坑上所有接触的点中，距离起跳线最近的点到起跳线的距离作为跳远成绩，所以他的跳远成绩是线段 BN 的长度 . 答案： BN 4. 如图所示， PO⊥OB ， OC⊥PB ， OP=3 cm, OB=2 cm, 则点 B 到 OP 的距离是 _______cm, 点 P 到 OB 的距离是 _______cm, OB ， OC ， OP 三条线段中， ______ 最短，理由是 ______. 【 解析 】 由点到直线的距离以及 “ 垂线段最短 ” 这一性质可得出答案 . 答案： 2 3 OC 垂线段最短 5. 如图所示， AB 是一条河流，要铺设管道将河水引到 C ， D 两个用水点，现有两种铺设管道的方案 : 方案一：分别过 C ， D 作 AB 的垂线，垂足分别为 E ， F ，沿 CE ， DF 铺设管道； 方案二：连结 CD 交 AB 于点 P ，沿 PC ， PD 铺设管道 . 这两种铺设管道的方案哪一种更节省材料？为什么？ 【 解析 】 按方案一铺设管道更节省材料 . 理由如下：因为 CE⊥ AB ， DF⊥AB ，而 AB 与 CD 不垂直，所以根据 “ 垂线段最短 ” ，可知 CE