《同步导学案》人教七年级数学（下册）第八章８.１ 二元一次方程组 8页

‎８.１ 二元一次方程组 ‎1. 了解二元一次方程的概念，能把二元一次方程化为用一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式，能举例说明二元一次方程及其中的已知数和未知数.‎ ‎2.理解二元一次方程组和它的解等概念，会检验一对数值是不是某个二元一次方程组的解.‎ ‎3.重难点：二元一次方程（组）的含义及检验一对数是否是某个二元一次方程（组）的解，用一个未知数表示另一个未知数.‎ 知识导入 我国古代数学著作《孙子算经》中记载的数学名题“鸡兔同笼问题”．它曾在好几个世纪里引起过人们的兴趣. “今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问鸡、兔各几何？”有同学提供了一种思考方法：设有x只鸡，y只兔，题目中包含两个同时满足的条件：鸡头+兔头=35；鸡足+兔足=94.这两条件可以用x+y=35；2x+4y=94表示. 像这样含有两个未知数，并且含未知数的项的次数都是1的整式方程叫二元一次方程.把这两个方程合写在一起写成像这样把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组.‎ 知识讲解 知识点一：二元一次方程 例1 下列各式是二元一次方程的有（ ）个 ‎（1）3x＋2y （2） 2－x+3+5=0 （3） 3x-4y=z （4） x+xy=1 （5）x2+3x=5y （6）7x-y=0（7）x2-x+4=x2-y（8）x+=0‎ 分析 判断一个方程是否为二元一次方程，先得对所给方程进行整理后，再跟据定义进行判断.‎ 解析 （1）不是等式更不是方程.（2）只有一个未知数,不是二元一次方程.(3)三个未知数,不是二元一次方程.(4)和(5)xy, x2是2次,不是二元一次方程.(6) 是.(7)化简后为x-y=4,是二元一次方程.(8) 是分式不是整式,不是二元一次方程.所以有2个 .‎ 点拨 判断是否为二元一次方程时把握四点: 两个未知数对应 “二元”；未知数的次数都是1，对应“一次”；代数式是整式；先得对所给方程进行整理后，再判断.‎ 知识点二：二元一次方程的解 ‎ 例二元一次方程有无数多个解，下列四组值中不是该方程的解的是 A． B． C． D．‎ 分析 把四组选项分别带入方程能够使方程成立的就是方程的解.‎ 解析 根据二元一次方程的解得定义把A、B、C、D四组分别带入满足的只有B.所以答案为B.‎ 点拨 判断一组数是不是二元一次方程的解,只要把这一组数代入方程左右两边,若能使两边相等,则是方程的解,若两边不相等,则不是方程的解.‎ 知识点三：二元一次方程组 例 下列方程组中是二元一次方程组的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 分析 根据二元一次方程组的定义二元一次方程组要具备：①方程组中有且只有两个未知数.②方程组中未知数的次数为1.③方程组中每个方程均为整式方程.‎ 解析 A.xy=1是二次方程，所以不是.‎ B. 不是整式，所以不是.‎ C.有X、Y、Z三个未知数，所以不是.‎ D.满足定义.所以答案为D.‎ 点拨 判断是否为二元一次方程组关键理解好定义.细心观察排除即可.‎ 知识点四：二元一次方程组的解 例 下列每个方程组后的一对数值是不是这个方程组的解?‎ ‎⑴, ‎ ‎⑵ , ‎ 分析 把每一组解分别带入方程组中的每一个方程，使每一个方程都成立的就是方程的解.只要有一个方程不成立的就不是方程组的解.‎ 解析 ⑴因为,所以是方程组的解.‎ ‎⑵因为,所以不是的解.‎ 点拨 判断是不是方程组的解,只需验证它是不是方程组中每一个方程的解.具体方法是把这一对数值代入方程组中进行检验,只要不是其中一个方程的解,那么它就不是方程组的解.‎ 知识探究 ‎1. 二元一次方程(组)‎ ‎①定义：含有两个未知数，并且含未知数的项的次数都是1的整式方程.‎ 认识二元一次方程从四方面（1）方程中含有两个未知数，与“二元”对应.（2）方程中含有未知数的次数都是1，与“一次”对应.（2）等号两边的代数式是整式.（4）先对所给方程进行整理，再跟据定义进行判断.‎ ‎②把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组.‎ 认识二元一次方程组：①方程组中有且只有两个未知数.②方程组中未知数的次数为1.③方程组中每个方程均为整式方程.‎ 例 若关于x、y的方程xa-4yb-2=7 是二元一次方程，那么 a、b的值分别是( )‎ 解析 根据二元一次方程的定义可得未知数的次数都为1，即a=1的同时b-2=1解得a、b的值分别是1、3.‎ 例 已知当为何值是，它是二元一次方程？‎ 分析：有二元一次方程定义，不能有二次项，所以二次项一定为0，即二次项系数为0。‎ 解：由于原方程为二元一次方程，所以二次项系数为0，即，解得即=时，原方程为二元一次方程。‎ 点拨 抓住二元一次方程的特征，未知数的次数为1，所以未知数的二次项不存在即系数为0，如有三次项、四次项、、、等，它们的系数都为0.‎ ‎2. 二元一次方程的解 定义：能使二元一次方程左右两边的值相等的两个未知数的值，叫二元一次方程的解.‎ 例 已知方程.‎ ‎⑴写出用表示的式子； ⑵写出方程的4个解来.‎ 分析 （1）把方程中的括号去掉后按照x和y来排列使x和y分别在等号的两边.（2）根据方程解得定义只要是使方程成立的数都是方程的解，可有无数组解.可先确定x和y其中的一个值后再算出另一值即可.解答中是先确定y的值来计算的.‎ 解:⑴原方程可化为:,移项,得:,‎ ‎ 所以. ①‎ ‎⑵在①中分别给一些数值,就可以求出的对应值,把它们入在一起就是原方程的一个解.于是可以求出原方程的4个解为:‎ ‎;;;.‎ 点拨 去括号合并同类项时要细心防止出现计算错误,要熟练用一个未知数表示另一未知数的计算为下节课解方程组做准备；二元一次方程解有无数对.‎ ‎3.二元一次方程组的解 ‎　 定义：二元一次方程组中各个方程的公共解叫做这个二元一次方程组的解．‎ 例 下列二元一次方程组中，以为解的是（　　）‎ A、 B、C、 D、‎ 分析 把每一组解分别带入方程组中的每一个方程，使每一个方程都成立的就是方程的解.‎ 解析 把代入四个方程组中，A、B、C都不符合，只有D满足.所以答案为D.‎ 点拨 判断是不是方程组的解.只需验证它是不是方程组中每一个方程的解.‎ 易错辨析 题 若x|a|-3+y4-3|b|=1是关于x，y的二元一次方程，其中a+b≤3，则a-b=‎ 错解 3‎ 辨析 根据二元一次方程的定义可得: |a|-3=1,4-3|b|=1，‎ 所以 |a|=4，|b|=1；所以 a=±4，b=±1；‎ 又因为a+b≤3，所以:①a=4时,b=-1；②a=-4时，b=-1；③当a=-4时，b=1.‎ 故a-b=±5或-3‎ 故答案是：±5或-3.‎ 正解 ±5或-3‎ ‎1.方程x+y=5的解有 ( )‎ ‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 ‎2.下列方程组是不是二元一次方程组 A. B.C. D. ‎ ‎3.以下4组x、y的值，哪组是的解？‎ A． B． C． D．‎ ‎4.若方程有一对解为求的值 ‎ ‎ 例 若是方程2x+y=3的一个解，则6a+3b+2=_____‎ 分析 根据方程解的定义可知把满足方程2x+y=3，代入得：2a+b=3，解不出a，b的值，可考虑能否把所要求的式子6a+3b+2化为可化为含有（2a+b）的式子，即化为3（2a+b）+2.‎ 解析 把满足方程2x+y=3，代入得：2a+b=3，6a+3b+2=3(2a+b)+2=3×3+2=11.‎ 点拨 本题把2a+b看作一个整体,遇到此类题目要注意运用整体思想.‎ 练习 ‎ ‎ x、y的值满足方程x-y=5,4x-3y=15,运用整体代入得思想来求代数式3x-2y=_________，5x-4y=__________‎ 参考答案 课时检测 ‎1.D ‎ ‎2.D ‎ ‎3.C ‎4. 解：把代入得3m－2×5=2，解得m=4‎ 拓展提升 用整体思想两式相减可得3x-2y=10,两式相加可得5x-4y=20.‎