多边形的内角和与外角和教案3 3页

‎ ‎ ‎9.2多边形的内角和与外角和 试一试 三角形有三个内角、三条边，我们也可以把三角形称为三边形（但我们习惯称为三角形）．我们已经知道什么叫三角形，你能说出什么叫四边形、五边形吗？ 　　图9.2.1（1）是四边形，它是由四条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形，记为四边形ABCD；图9.2.1（2）是五边形，它是由五条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形，记为五边形ABCDE．一般地，由n条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形称为n边形，又称为多边形．‎ 注 意 我们现在研究的是如图9.2.1所示的多边形，也就是所谓的凸多边形.‎ 与三角形类似，如图9.2.2所示，∠A、∠D、∠C、∠ABC是四边形ABCD的四个内角，∠CBE和∠ABF都是与∠ABC相邻的外角，两者互为对顶角.‎ 如果多边形的各边都相等，各内角也都相等，那么就称它为正多边形（regular polygon）.如正三角形、正四边形（正方形）、正五边形等等.‎ 连结多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边　‎ 形的对角线.例如，图9.2.3（1）中，线段AC是四边形ABCD的一条对角线；图9.2.3（2）、（3）中，虚线表示的线段也是所画多边形的对角线.‎ 试一试 由图9.2.3可以看出，从多边形的一个顶点引出的对角线把多边形划分为若干个三角形．我们已知一个三角形的内角和等于180°，那么四边形的内角和等于多少呢？五边形、六边形呢？由此，n边形的内角和等于多少呢？‎ ‎ 探 索 为了求得n边形的内角和，请根据图9.2.4所示，完成表9.2.1．‎ 3‎ ‎ ‎ 图9.2.4‎ 表9.2.1‎ ‎ 由此，我们得出 n边形的内角和为_________________．‎ 例1 求八边形的内角和的度数．‎ ‎ 解 　（n－2）×180°=（8－2）×180°=1 080°.‎ 试一试 如图9.2.5，在n边形内任取一点P，连结点P与多边形的每一个顶点，可得几个三角形？（图中取n＝6的情形）你能否根据这样划分多边形的方法来说明n边形的内角和等于（n－2）×180°？ ‎ 与多边形的每个内角相邻的外角分别有两个，这两个外角是对顶角．从与每个内角相邻的两个外角中分别取一个相加，得到的和称为多边形的外角和．如图9.2.6所示，∠1＋∠2＋∠3＋∠4就是四边形ABCD的外角和． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 探 索 根据n边形的每一个内角与它的相邻的外角都互为补角，可以求得n边形的 外角和．为了求得n边形的外角和，请将数据填入表9.2.2．‎ 表9.2.2‎ 因此，任意多边形的外角和都为________．‎ ‎ 练 习 1. 填空：‎ （1） 十边形的内角和是________，外角和是_________；如果十边形的各个内角都相等，那么它的一个内角是_________.‎ 3‎ ‎ ‎ （1） 已知一个多边形的内角和是2340°，则这个多边形的边数是_______.‎ 2. 在一个多边形中，它的内角最多可以有几个是锐角？‎ 习题9.2‎ 1. 先任意画一个五边形，然后画出它所有的对角线，数一数，一共有多少条对角线？‎ 2. 在n边形某一边上任取一点P，连结点P与多边形的每一个顶点，可得多少个三角形？你能否根据这样划分多边形的方法来说明n边形的内角和等于（n－2）×180°？（图中取n＝5的情形） 　　　　　　　　　　 　　　　　（第2题）　　　　　　　　　　　　　　（第3题）‎ 3. 根据上图填空： （1） ∠1＝∠C＋___________， ∠2＝∠B＋______________； （2） ∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝_________＋∠1＋∠2＝_________． 想一想，这个结论对任意的五角星是否都成立．‎ 一个多边形的外角和是内角和的，求这个多边形的边数．‎ 3‎