八年级下数学课件八年级下册数学课件《线段的垂直平分线》 北师大版 (2)_北师大版 14页

1.3线段的垂直平分线（一） 用心想一想，马到功成如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置?AB 线段垂直平分线的性质：定理：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．已知：如图，直线MN⊥AB，垂足是C，且AC=BC，P是MN上的点．求证：PA=PB．NAPBCM证明：∵MN⊥AB，∴∠PCA=∠PCB=90°∵AC=BC，PC=PC,∴△PCA≌△PCB(SAS)；∴PA=PB(全等三角形的对应边相等)． 用心想一想，马到功成你能写出上面这个定理的逆命题吗?它是真命题吗?如果有一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上．即到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．当我们写出逆命题时，就想到判断它的真假．如果真，则需证明它；如果假，则需用反例说明． 已知：线段AB，点P是平面内一点且PA=PB．求证：P点在AB的垂直平分线上．证明：过点P作已知线段AB的垂线PC，PA=PB，PC=PC，∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL)．∴AC=BC，即P点在AB的垂直平分线上．CBPA 证法二：取AB的中点C，过P,C作直线．∵AP=BP，PC=PC.AC=CB，∴△APC≌△BPC(SSS)．∴∠PCA=∠PCB(全等三角形的对应角相等)．又∵∠PCA+∠PCB=180°，∴∠PCA=∠PCB=∠90°，即PC⊥AB∴P点在AB的垂直平分线上．CBPA已知：线段AB，点P是平面内一点且PA=PB．求证：P点在AB的垂直平分线上．一题多解 CBPA已知：线段AB，点P是平面内一点且PA=PB．求证：P点在AB的垂直平分线上．一题多解证法三：过P点作∠APB的角平分线交AB于点C．∵AP=BP，∠APC=∠BPC，PC=PC，∴△APC≌△BPC(SAS)．∴AC=BC，∠PCA=∠PCB又∵∠PCA+∠PCB=180°∴∠PCA=∠PCB=90°∴P点在线段AB的垂直平分线上． 线段垂直平分线的判定：定理：到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 练一练已知：如图，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC内一点，且OB=OC.求证：直线AO垂直平分线段BC．证明：∵AB=AC，∴点A在线段BC的垂直平分线上（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）.同理，点O在线段BC的垂直平分线上.∴直线AO是线段BC的垂直平分线（两点确定一条直线）.你还有其他证明方法吗？ 加强应用在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=40°，AC的垂直平分线MN与AB相交于点D，则∠BCD的度数是多少？ABCDMN分析：由点D在线段AC的垂直平分线上，可以得到DA=DC，即△DAC是等腰三角形，问题解决.解：∵点D在线段AC的垂直平分线上，∴DA=DC，∴∠DCA=∠A=40°∵∠B=90°，∴∠ACB=90°-∠A=50°∴∠BCD=∠ACB-∠DCA=50°-40°=10°方法总结：有线段的垂直平分线时，常利用它的性质定理得到等腰三角形，再利用等腰三角形的性质解决问题. 放开手脚做一做1．如图，已知AB是线段CD的垂直平分线，E是AB上的一点，如果EC=7cm，那么ED=cm；如果∠ECD=60°，那么∠EDC=.CADBE 补充练习：已知：△ABC中，边AB、BC的垂直平分线相交于点P．求证：点P在AC的垂直平分线上． 课堂小结,畅谈收获：一、线段垂直平分线的性质定理．二、线段垂直平分线的判定定理． 随堂练习第1题习题1.71、2、3