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- 2021-10-26 发布
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17.2 勾股定理的逆定理
第十七章 勾股定理
导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结
第1课时 勾股定理的逆定理
学习目标
1.掌握勾股定理逆定理的概念并理解互逆命题、定
理的概念、关系及勾股数.(重点)
2.能证明勾股定理的逆定理,能利用勾股定理的逆
定理判断一个三角形是直角三角形.(难点)
导入新课
B
C A
问题1 勾股定理的内容是什么?
如果直角三角形的两条直角边长
分别为a,b,斜边为c,那么a2+b2=c2. b
ca
问题2 求以线段a、b为直角边的直角三角形的斜
边c的长:
① a=3,b=4;
② a=2.5,b=6;
③ a=4,b=7.5.
c=5
c=6.5
c=8.5
复习引入
思考 以前我们已经学过了通过角的关系来确定直角
三角形,可不可以通过边来确定直角三角形呢?
同学们你们知道古埃及人用什么方法得到直角的吗?
(1)
(2)
(3)
(4) (5) (6) (7) (8)
(13)
(12)
(11)
(10)
(9)
打13个等距的结,把一根绳子分成等长的12段,然后以
3段,4段,5段的长度为边长,用木桩钉成一个三角
形,其中一个角便是直角.
情景引入
思考:从前面我们知道古埃及人认为一个三角形三
边长分别为3,4,5,那么这个三角形为直角三角形.按
照这种做法真能得到一个直角三角形吗?
大禹治水
相传,我国古代
的大禹在治水时
也用了类似的方
法确定直角.
讲授新课
勾股定理的逆定理一
下面有三组数分别是一个三角形的三边长a, b, c:
①5,12,13; ②7,24,25; ③8,15,17.
问题 分别以每组数为三边长作出三角形,用量角器量
一量,它们都是直角三角形吗?
0180
150
120
90
60
30
7
24 25
5
1312 17
8
15
是
下面有三组数分别是一个三角形的三边长a, b, c:
①5,12,13; ②7,24,25; ③8,15,17.
问题2 这三组数在数量关系上有什么相同点?
① 5,12,13满足52+122=132,
② 7,24,25满足72+242=252,
③ 8,15,17满足82+152=172.
问题3 古埃及人用来画直角的三边满足这个等式吗?
∵32+42=52,∴满足.
a2+b2=c2
我觉得这个猜
想不准确,因
为测量结果可
能有误差.
我也觉得猜想不
严谨,前面我们
只取了几组数据,
不能由部分代表
整体.
问题3 据此你有什么猜想呢?
由上面几个例子,我们猜想:
命题2 如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那
么这个三角形是直角三角形.
△ABC≌ △ A′B′C′
?
∠C是直角
△ABC是直角三角形
A
B C a
b c
已知:如图,△ABC的三边长a,b,c,满足a2+b2=c2.
求证:△ABC是直角三角形.
构造两直角边分别
为a,b的Rt△A′B′C′
证一证:
证明:作Rt△A′B′C′,使∠C′=90°,
A′C′=b,B′C′=a,
∴△ABC≌ △A′B′C′(SSS),
∴∠C= ∠C′=90° , 即△ABC是直角三角形
.
则 2 2 2 2 2A B B C A C a b .
2 2 2a b c ,
2 2 .A B c A B c ,
A B C A B C 在 和 中
A C A C
B C B C
A B A B
,
,
, C B
a
A
bc
A
CaB
bc
勾股定理的逆定理:
如果三角形的三边长a 、b 、c满足
a2+b2=c2
那么这个三角形是直角三角形.
A
CB a
bc
勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理,即已
知三角形的三边长,且满足两条较小边的平方和等于
最长边的平方,即可判断此三角形为直角三角形 ,最
长边所对应的角为直角.
特别说明:
归纳总结
例1 下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形?
如果是,那么哪一个角是直角?
(1) a=15 , b=8 ,c=17;
解:(1)∵152+82=289,172=289,∴152+82=172,
根据勾股定理的逆定理,这个三角形是直角三角形,
且∠C是直角.
(2) a=13 ,b=14 ,c=15.
(2)∵132+142=365,152=225,
∴132+142≠152,不符合勾股定理的逆定理,
∴这个三角形不是直角三角形.
根据勾股定理的逆定理,判断一个三角形是不是
直角三角形,只要看两条较小边长的平方和是否等于
最大边长的平方.
归纳
【变式题1】若△ABC的三边a,b,c满足 a:b: c=3:4:5,
是判断△ABC的形状.
解:设a=3k,b=4k,c=5k(k>0),
∵(3k)2+(4k)2=25k2,(5k)2=25k2,
∴(3k)2+(4k)2=(5k)2,
∴△ABC是直角三角形,且∠C是直角.
已知三角形三边的比例关系判断三角形形状:先
设出参数,表示出三条边的长,再用勾股定理的逆定
理判断其是否是直角三角形.如果此直角三角形的三边
中有两个相同的数,那么该三角形还是等腰三角形.
归纳
【变式题2】(1)若△ABC的三边a,b,c,且a+b=4,ab=1,
c= ,试说明△ABC是直角三角形.14
解:∵a+b=4,ab=1,
∴a2+b2=(a+b)2-2ab=16-2=14.
又∵c2=14,
∴a2+b2=c2,
∴△ABC是直角三角形.
(2) 若△ABC的三边 a,b,c 满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c.
试判断△ABC的形状.
解:∵ a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,
∴ a2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0.
即 (a-3)²+ (b-4)²+ (c-5)²=0.
∴ a=3, b=4, c=5,
即 a2+b2=c2.
∴△ABC是直角三角形.
例2 如图,在正方形ABCD中,F是CD的中点,E为
BC上一点,且CE= CB,试判断AF与EF的位置关
系,并说明理由.
解:AF⊥EF.理由如下:
设正方形的边长为4a,
则EC=a,BE=3a,CF=DF=2a.
在Rt△ABE中,得AE2=AB2+BE2=16a2+9a2=
25a2.
在Rt△CEF中,得EF2=CE2+CF2=a2+4a2=5a2.
在Rt△ADF中,得AF2=AD2+DF2=16a2+4a2=
20a2.
在△AEF中,AE2=EF2+AF2,
∴△AEF为直角三角形,且AE为斜边.
∴∠AFE=90°,即AF⊥EF.
1
4
练一练
1.下列各组线段中,能构成直角三角形的是( )
A.2,3,4 B.3,4,6
C.5,12,13 D.4,6,7
C
2.一个三角形的三边的长分别是3,4,5,则这个三
角形最长边上的高是 ( )
A.4 B.3 C.2.5 D.2.4
D
3.若△ABC的三边a、b、c满足(a-b)(a2+b2-c2)=0,
则△ABC是_______________________.等腰三角形或直角三角形
如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2
那么这个三角形是直角三角形.
满足a2+b2=c2的三个正整数,称为勾股数.
勾股数二
概念学习
常见勾股数:
3,4,5;5,12,13;6,8,10;7,24,25;
8,15,17;9,40,41;10,24,26等等.
勾股数拓展性质:
一组勾股数,都扩大相同倍数k(k为正整数),得
到一组新数,这组数同样是勾股数.
下列各组数是勾股数的是 ( )
A.6,8,10 B.7,8,9
C.0.3,0.4,0.5 D.52,122,132
A
方法点拨:根据勾股数的定义,勾股数必须为正整
数,先排除小数,再计算最长边的平方是否等于其
他两边的平方和即可.
练一练
命题1 如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜
边为c,那么a2+b2=c2.
命题2 如果三角形的三边长a 、b 、c满足a2+b2=c2,
那么这个三角形是直角三角形.
前面我们学习了两个命题,分别为:
互逆命题与互逆定理三
命题1:直角三角形 a2+b2=c2
命题2: 直角三角形a2+b2=c2
题设 结论
它们是题设和结论正好相反的两个命题.
问题1 两个命题的条件和结论分别是什么?
问题2 两个命题的条件和结论有何联系?
一般地,原命题成立时,它的逆命题既可能成立,
也可能不成立.如果一个定理的逆命题经过证明是正
确的,那么它也是一个定理,我们称这两个定理互
为逆定理.勾股定理与勾股定理的逆定理为互逆定理.
题设和结论正好相反的两个命题,叫做互逆命题,
其中一个叫做原命题,另一个叫做原命题的逆命题.
归纳总结
说出下列命题的逆命题,这些逆命题成立吗?
(1)两条直线平行,内错角相等;
(2)如果两个实数相等,那么它们的绝对值相等;
(3)全等三角形的对应角相等;
(4)在角的内部,到角的两边距离相等的点在角的
平分线上.
内错角相等,两条直线平行.
如果两个实数的绝对值相等,那么它们相等.
对应角相等的三角形全等 .
在角平分线上的点到角的两边距离相等.
成立
不成立
不成立
成立
练一练
当堂练习
1.下列各组数是勾股数的是 ( )
A.3,4,7 B.5,12,13
C.1.5,2,2.5 D.1,3,5
2. 将直角三角形的三边长扩大同样的倍数,则得到
3. 的三角形 ( )
4. A.是直角三角形 B.可能是锐角三角形
5. C.可能是钝角三角形 D.不可能是直角三角形
B
A
3.在△ABC中,∠A, ∠B, ∠C的对边分别a,b,c.
①若∠C- ∠B= ∠A,则△ABC是直角三角形;
②若c2=b2-a2,则△ABC是直角三角形,且∠C=90°
;
③若(c+a)(c-a)=b2,则△ABC是直角三角形;
④若∠A:∠B:∠C=5:2:3,则△ABC是直角三
角形.
以上命题中的假命题个数是( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
A
4.已知a、b、c是△ABC三边的长,且满足关系式
,则△ABC的形状是
________________.
2 2 2 0c a b c a+ - + - =
等腰直角三角形
5.(1)一个三角形的三边长分别为15cm、20cm、25cm,
则这个三角形最长边上的高是_______cm;12
(2)“等腰三角形两底角相等”的逆定理为
_______________________________________.有两个角相等的三角形是等腰三角形
6.已知△ABC,AB=n²-1,BC=2n,AC=n²+1(n为大
于1的正整数).试问△ABC是直角三角形吗?若是,
哪一条边所对的角是直角?请说明理由.
解:∵AB²+BC²=(n²-1)²+(2n)²
=n4 -2n²+1+4n²
=n4 +2n²+1
=(n²+1)²
=AC²,
∴△ABC直角三角形,边AC所对的角是直角.
7.如图,在四边形ABCD中,AB=8,BC=6,
AC=10, AD=CD= ,求四边形ABCD 的面积.5 2
2 2 2 26 8 100AB BC解 : ,+ = + =
2 2 2 2(5 2 ) (5 2 ) 100AD DC ,+ = + =
2 100AC ,=
∴ △ ABC是直角三角形且∠B是直角.
2 2 2AD DC AC , + =
∴ △ ADC是直角三角形且∠ D是直角,
∴ ∴S 四边形 ABCD=1 16 8 5 2 5 2 49.2 2
创 + 创 =
2 2 2AB BC AC , + =
课堂小结
勾股定理
的逆定理
内 容
作 用
从三边数量关系判
定 一 个 三 角 形 是
否是直角形三角形.
如果三角形的三边长a 、b 、c
满足a2+b2=c2,那么这个三角
形是直角三角形.
注 意
最长边不一定是c,
∠C也不一定是直角.
勾 股 数 一 定 是 正 整 数
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