八年级数学上册第二章实数专题课堂二二次根式中的新定义问题课件新版北师大版 10页

第二章　实数 专题课堂(二)　二次根式中的新定义问题 读懂新定义的规则，弄清规则的内涵与外延，利用规则所给模型解决相应问题． 例： 小明是一位善于思考、勇于创新的同学．在学习了有关平方根的知识后，小明知道负数没有平方根．比如：因为没有一个数的平方等于－ 1 ，所以－ 1 没有平方根．有一天，小明想：如果存在一个数 i ，使 i 2 ＝－ 1 ，那么 ( － i) 2 ＝－ 1 ，因此－ 1 就有两个平方根了．进一步，小明想：因为 (±2i) 2 ＝－ 4 ，所以－ 4 的平方根是 ±2i ；因为 (±3i) 2 ＝－ 9 ，所以－ 9 的平方根就是 ±3i. 请你根据上面的信息解答下列问题： (1) 求－ 16 ，－ 25 的平方根； (2) 求 i 3 ， i 4 ， i 5 ， i 6 ， i 7 ， i 8 ， … 的值，你发现了什么规律？请你将发现的规律用式子表示出来； (3) 求 i ＋ i 2 ＋ i 3 ＋ i 4 ＋ … ＋ i 2022 的值． 分析： (1) 根据 i 2 ＝－ 1 及找负数平方根的方法求解； (2) 根据－ 1 的幂转化 ， 找出规律； (3) 根据 (2) 中的规律 ， 求解． 解： (1) 因为 (±4i) 2 ＝－ 16 ，所以－ 16 的平方根是 ±4i ，因为 (±5i) 2 ＝－ 25 ，所以－ 25 的平方根是 ±5i (2)i 3 ＝－ i ， i 4 ＝ 1 ， i 5 ＝ i ， i 6 ＝－ 1 ， i 7 ＝－ i ， i 8 ＝ 1 … 规律： i 每 4 次方一个循环，结果为 i 4n ＋ 1 ＝ i ， i 4n ＋ 2 ＝－ 1 ，， i 4n ＋ 3 ＝－ i ， i 4n ＋ 4 ＝ 1(n 为自然数 ) (3)2022÷4 ＝ 505 …… 2 ，故原式＝ 505 × 0 ＋ i ＋ ( － 1) ＝ i － 1 1 ．类比平方根、立方根，若 x 4 ＝ a(a ≥ 0) ，则 x 是 a 的四次方根， x 5 ＝ a ，则 x 叫做 a 的五次方根，则 16 的四次方根是 ____ ，－ 32 的五次方根是 ____. ±2 － 2 4 3 255