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- 2021-10-26 发布
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- 1 -
12.1 分式(2)
教学目标
【知识与能力】
1.类比分数的约分,理解分式约分的意义.
2.会用分式的基本性质进行约分,掌握分式约分的方法与步骤.
【过程与方法】
通过类比分数的约分,探索分式的约分法则,学会运用类比转化的思想研究数学问题.
【情感态度价值观】
1.通过研究解决问题的过程,培养学生合作交流的意识与探究精神.
2.通过对分式约分的探究,让学生充分参与到数学学习的过程中来,使他们体验到成功的乐
趣.
教学重难点
【教学重点】
运用分式的基本性质正确地进行分式的约分.
【教学难点】
约分时,最简公因式的确定.
课前准备
多媒体课件
教学过程
一、新课导入:
导入一:
【课件 1】 怎样把分数
2
4
, -
5
-
25
约分?你做这些题目的依据是什么?
8
2
2
2
与
4
相等吗?为什么?
学生将
2
4
, -
5
-
25
约分后,仿照分数约分的方法,根据分式的基本性质,约去分式
8
2
2
2
的分子与分母
的公因式 2mn,得到
4
.
【教师点拨】 分式
8
2
2
2
化为
4
,这样的分式变形过程就是分式的约分.
导入二:
【课件 2】 下面的等式中右式是怎样从左式得到的?这种变换的理论根据是什么?
(1)
6
2
3
8
3
2
=
3
4
; (2)
2
+
2
-
2
=
-
.
解:(1)式中的左边,分式的分子与分母都除以 2a2b2,得到右式,这里 a≠0,b≠0. (2)式中的
左边,分式的分子与分母都除以(x+y),得到右式,这里(x+y)≠0.这种变换的根据是分式的基
本性质:分式的分子与分母都乘(或除以)同一个不等于零的整式,分式的值不变.
【课件 3】 化简:(1)
18
24
,(2)
176
264
,并说出这是什么运算?运算的依据是什么?
- 2 -
解:(1)
18
24 =
3
4
. (2)
176
264 =
2
3
.这种运算是分数的约分,运算的依据是分数的基本性质.
师:什么是分数的约分?约分的方法是什么?约分的目的是什么?
生:把一个分数化为与它相等,但是分子、分母都比较小的分数,这种运算叫做分数的约分.
对于一个分数进行约分的方法是:把分子、分母都除以它们的公约数(1 除外).约分的目的是
把一个分数化为最简分数.
师:分式的约分和分数的约分类似,下面讨论分式的约分.
导入三:
同学们,想一想,对分数
8
12
怎样化简?
【课件 4】 思考:下列分式是怎样从左边变形到右边的?
(1)
2 =
2
(y≠0); (2)
2
=
3
;
(3)
+2
2 =
2
-
4
2
2
-
4
.
反过来,把一个分式的分子、分母都除以公因式之后,就完成了约分.下面我们先来看看分式
的约分.(板书课题)
[设计意图] 按由特殊到一般的思路让学生回忆有关内容,为学习新知识做好铺垫.在这个
活动中,首先激活学生原有的知识,体现了学习是在原有知识的基础上自我生成的过程.
二、新知构建:
活动一:分式的约分和最简分式
[过渡语] 怎样进行分式的约分?分式的约分的依据是什么?
思路一
1.分式的约分
分式
+
+
能不能化简?如果能,那么化简的依据是什么?化简的结果又是什么?
教师指导学生将分式的分子和分母先因式分解,然后再约分.
展示【课件 5】
教师根据学生化简的过程进行讲解.
归纳:
(1)分式约分的依据是根据分式的基本性质.
(2)约分:依据分式的基本性质,把分式的分子与分母的公因式约去,叫做分式的约分.
思考:若分子、分母都是单项式时,如何找公因式?当分子、分母都是多项式时,又如何找公因
式?
生讨论回答后总结:
约分的步骤:①先找分子与分母中的公因式.②分子与分母同时除以公因式.
公因式的确定方法:①当分子与分母都是单项式时,所分离出的公因式的系数应是分子系数
与分母系数的最大公约数,字母因式是分子、分母相同字母的最低次幂的乘积.②当分子与分
- 3 -
母都是多项式时,应先分别进行因式分解,再找出它们的公因式.
进一步理解以上几句话
【课件 6】 找出下列分式中分子与分母的公因式(口答):
(1)
8
12
; (2)
3
3
3
12
2
; (3)(
+
)
2
;
(4)
2
+ (
+
)
2
; (5)
2
-
2(
-
)
2
.
2.最简分式
学生思考并交流:如果几个分式约分后,分别得到了
1
2
,
4
,
2
2
,这几个分式有什么特点?还能
继续约分吗?
生交流讨论后回答:不能再约分了.
师总结:这几个分式的分子与分母,除 1 以外没有其他的公因式,不能继续约分了,这样的分
式叫最简分式.即分子和分母(除 1 以外)没有公因式的分式叫做最简分式.
【课件 7】 在化简分式
5
20
2
时,小颖和小明的做法出现了分歧:
小颖:
5
20
2
=
5
20
2
;
小明:
5
20
2
=
5
4
·
5 =
1
4
.
你对他们俩的解法有何看法?说说看!
引导学生分析得出小颖在化简时,没有化成最简分式,她的做法是错误的.
思路二
【课件 8】 我们观察:
(1)
12
7 =
36
21
(b≠0);
(2)
+
=
(
+
)
2
(
+
)(a+b≠0).
这一过程由左到右是怎样变形的?根据的是什么?(小组讨论回答)
生:(1)式分子与分母同乘 3b,(2)式分子与分母同乘(a+b),根据的是分式的基本性质.
师:将以上两个式子倒过来,又是怎样变形的?根据的是什么?
生:(1)式分子与分母同除以 3b,(2)式分子与分母同除以(a+b),根据的是分式的基本性质.
我们把以上两式由右到左的变形过程叫分式的约分.(1)中的 3b 与(2)中的(a+b)分别是分子
与分母的公因式.
由以上的学习过程,学生总结约分的定义(小组讨论回答):
利用分式的基本性质,把分式中分子与分母的公因式约去,叫做分式的约分.
强调:分式约分的依据:分式的基本性质.分子、分母(除 1 以外)没有公因式的分式,叫做最简
分式.
【课件 9】
3
2
2
(
+
)是最简分式.这种说法对吗?为什么?
解:不正确.因为分式的分子和分母还能约分,即分子与分母中含有公因式 a,所以
3
2
2
(
+
)不
是最简分式.
[知识拓展] 分式的化简,就是把复杂的分式化为整式或最简分式,分式的约分是根据分式
- 4 -
的基本性质,约去分子、分母中的公因式,最终变为整式或最简分式.
活动二:例题讲解
[过渡语] 掌握了分式约分和最简分式的概念,明确了分式约分的目的就是把分式化成
最简分式或整式.下面我们来做几道例题,共同来巩固一下约分的方法.
【课件 10】
约分:
(1)
35
2
2
15
3
; (2)
2
-
2
(
+
); (3)
4
-
2
2
-
8 +16
.
教师引导学生发现:①确定分子与分母的最大公因式:各项系数的最大公约数和相同因式的
最低次幂的积;②分式约分的最后结果应为最简分式或整式,即分子、分母(除 1 以外)没有公
因式.
学生先练,教师再根据情况指导.
解:(1)
35
2
2
15
3
=
7
·
5
2
3
·
5
2
=
7
3
.
(2)
2
-
2
(
+
)
=
(
+
)(
-
)
(
+
)
=
-
.
(3)
4
-
2
2
-
8 +16 =
(
4
-
)
(
4
-
)
2
=
4
-
.
[方法归纳] (1)如果分式的分子、分母都是单项式,那么直接约去分子与分母的公因式;(2)
如果分式的分子、分母是多项式,那么能因式分解的先因式分解,由此找出公因式,再进行约
分.(3)约分后,分子与分母(除 1 外)不能再有公因式.
【课件 11】 教材第 6 页“做一做”
指导学生分别用直接代入求值和化简后代入求值这两种方法解答,并比较哪种方法简单.
【拓展延伸】 约分-
32
2
3
24
2
,为了把上述分式约分,应该先确定分式的分子与分母的公因式,
那么分式的分子与分母的公因式是什么?
师:因为分式的分子与分母都是单项式,所以取分子、分母中相同因式的最低次幂和分子、分
母的系数的最大公约数,把它们的积作为这个分式的分子与分母的公因式.
解:-
32
2
3
24
2
=-
8
2
·
4
2
8
2
·
3
=-
4
2
3
.
师:分子或分母的系数是负数时,一般先把负号移到分式本身的前边,这就同时改变了分式本
身与分子或分母的符号,所以分式的值不变.
[设计意图] 通过具体实例让学生归纳出约分的具体步骤,明确在进行分式约分时,关键是
确定分子和分母的公因式.
三、课堂小结:
1.约分:(1)分式约分的结果一定要化成最简.(2)如果分式的分子或分母是多项式,可先考虑
把它分解因式,得到因式乘积形式,再约去分子与分母的公因式.如果分子或分母中的多项式
不能分解因式,此时就不能把分子、分母中的某些项单独约分.
2.最简分式:判断一个分式是不是最简分式,关键是确定其分子和分母(除 1 以外)是否有公
因式.
3.分式进行约分的目的是要把这个分式化为最简分式或整式.分式约分时要注意正确运用乘
方的符号法则,如 x-y=-(y-x),(x-y)2=(y-x)2,(x-y)3=-(y-x)3.
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