八年级下册数学同步练习18-2-2 第2课时 菱形的判定3 人教版 20页

‎18.2.2 菱形 第2课时 菱形的判定 一、选择题（共10小题）‎ ‎1、在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），B（﹣2，0），C（0，﹣2），D（2，0），则以这四个点为顶点的四边形ABCD是（　　）‎ ‎ A、矩形 B、菱形 ‎ C、正方形 D、梯形 ‎2、用两个全等的等边三角形，可以拼成下列哪种图形（　　）‎ ‎ A、矩形 B、菱形 ‎ C、正方形 D、等腰梯形 ‎3、如图，下列条件之一能使平行四边形ABCD是菱形的为（　　）‎ ‎①AC⊥BD；②∠BAD=90°；③AB=BC；④AC=BD．‎ ‎ A、①③ B、②③‎ ‎ C、③④ D、①②③‎ ‎4、红丝带是关注艾滋病防治问题的国际性标志，人们将红丝带剪成小段，并用别针将折叠好的红丝带别在胸前，如图所示．红丝带重叠部分形成的图形是（　　）‎ ‎ A、正方形 B、等腰梯形 ‎ C、菱形 D、矩形 ‎5、（在同一平面内，用两个边长为a的等边三角形纸片（纸片不能裁剪）可以拼成的四边形是（　　）‎ ‎ A、矩形 B、菱形 ‎ C、正方形 D、梯形 ‎6、用两个边长为a的等边三角形纸片拼成的四边形是（　　）‎ ‎ A、等腰梯形 B、正方形 ‎ C、矩形 D、菱形 ‎7、汶川地震后，吉林电视台法制频道在端午节组织发起“绿丝带行动”，号召市民为四川受灾的人们祈福．人们将绿丝带剪成小段，并用别针将折叠好的绿丝带别在胸前，如图所示，绿丝带重叠部分形成的图形是（　　）‎ ‎ A、正方形 B、等腰梯形 ‎ C、菱形 D、矩形 ‎8、能判定一个四边形是菱形的条件是（　　）‎ ‎ A、对角线相等且互相垂直 B、对角线相等且互相平分 ‎ C、对角线互相垂直 D、对角线互相垂直平分 ‎9、四边形的四边长顺次为a、b、c、d，且a2+b2+c2+d2=ab+bc+cd+ad，则此四边形一定是（　　）‎ ‎ A、平行四边形 B、矩形 ‎ C、菱形 D、正方形 二、填空题（共8小题）‎ ‎11、（如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为菱形，需要添加的条件是　_________　（只填一个你认为正确的即可）．‎ ‎12、如图，如果要使平行四边形ABCD成为一个菱形，需要添加一个条件，那么你添加的条件是　_________　．‎ ‎13、（如图，平行四边形ABCD中，AF、CE分别是∠BAD和∠BCD的角平分线，根据现有的图形，请添加一个条件，使四边形AECF为菱形，则添加的一个条件可以是　_________　．（只需写出一个即可，图中不能再添加别的“点”和“线”）‎ ‎14、在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，从（1）AB=CD；（2）AB∥CD；（3）OA=OC；（4）OB=OD；（5）AC⊥BD；（6）AC平分∠BAD这六个条件中，选取三个推出四边形ABCD是菱形．如（1）（2）（5）=＞ABCD是菱形，再写出符合要求的两个：　_________　=＞ABCD是菱形；　_________　=＞ABCD是菱形．‎ ‎15、若四边形ABCD是平行四边形，请补充条件　_________　（写一个即可），使四边形ABCD是菱形．‎ ‎16、在四边形ABCD中，给出四个条件：①AB=CD，②AD∥BC，③AC⊥BD，④AC平分∠BAD，由其中三个条件推出四边形ABCD是菱形，你认为这三个条件是　_________　．（写四个条件的不给分，只填序号）‎ ‎17、要说明一个四边形是菱形，可以先说明这个四边形是　_________　形，再说明　_________　（只需填写一种方法）‎ ‎18、如图，四边形ABCD是平行四边形，AC、BD相交于点O，不添加任何字母和辅助线，要使四边形ABCD是菱形，则还需添加一个条件是　_________　（只需填写一个条件即可）．‎ 三、解答题（共11小题）‎ ‎19、（如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，连接AD，在AD的延长线上取一点E，连接BE， CE．‎ ‎（1）求证：△ABE≌△ACE；‎ ‎（2）当AE与AD满足什么数量关系时，四边形ABEC是菱形？并说明理由．‎ ‎20、如图，在▱ABCD中，E，F分别为边AB，CD的中点，连接DE、BF、BD．‎ ‎（1）求证：△ADE≌△CBF．‎ ‎（2）若AD⊥BD，则四边形BFDE是什么特殊四边形？请证明你的结论．‎ ‎21、如图，已知点D在△ABC的BC边上，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．‎ ‎（1）求证：AE=DF；‎ ‎（2）若AD平分∠BAC，试判断四边形AEDF的形状，并说明理由．‎ ‎22、已知：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，BC=CD，AD⊥BD，E为AB中点，求证：四边形BCDE是菱形．‎ ‎23、如图，在△ABC和△DCB中，AB=DC，AC=DB，AC与DB交于点M．‎ ‎（1）求证：△ABC≌△DCB；‎ ‎（2）过点C作CN∥BD，过点B作BN∥AC，CN与BN交于点N，试判断线段BN与CN的数量关系，并证明你的结论．‎ ‎24、如图，△ABC中，AC的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点O，CE∥AB交MN于E，连接AE、CD．‎ ‎（1）求证：AD=CE；‎ ‎（2）填空：四边形ADCE的形状是　_________　．‎ ‎25、如图△ABC与△CDE都是等边三角形，点E、F分别在AC、BC上，且EF∥AB ‎（1）求证：四边形EFCD是菱形；‎ ‎（2）设CD=4，求D、F两点间的距离．‎ ‎26、如图，在梯形纸片ABCD中，AD∥BC，AD＞CD，将纸片沿过点D的直线折叠，使点C落在AD上的点C处，折痕DE交BC于点E，连接C′E．‎ 求证：四边形CDC′E是菱形．‎ ‎27、已知：如图，平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点E、F．‎ 求证：四边形AFCE是菱形．‎ ‎28、如图，等边△ABC的边长为2，E是边BC上的动点，EF∥AC交边AB于点F，在边AC上取一点P，使PE=EB，连接FP．‎ ‎（1）请直接写出图中与线段EF相等的两条线段；（不再另外添加辅助线）‎ ‎（2）探究：当点E在什么位置时，四边形EFPC是平行四边形？并判断四边形EFPC是什么特殊的平行四边形，请说明理由；‎ ‎（3）在（2）的条件下，以点E为圆心，r为半径作圆，根据⊙E与平行四边形EFPC四条边交点的总个数，求相应的r的取值范围．‎ ‎29、如图，已知△ABC的面积为3，且AB=AC，现将△ABC沿CA方向平移CA长度得到△EFA．‎ ‎[来源:学,科,网]‎ ‎（1）求△ABC所扫过的图形的面积；‎ ‎（2）试判断AF与BE的位置关系，并说明理由；‎ ‎（3）若∠BEC=15°，求AC的长．‎ 答案与评分标准 一、选择题（共10小题）‎ ‎1、在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），B（﹣2，0），C（0，﹣2），D（2，0），则以这四个点为顶点的四边形ABCD是（　　）‎ ‎ A、矩形 B、菱形 ‎ C、正方形 D、梯形 考点：坐标与图形性质；菱形的判定。‎ 分析：画出草图，求得各边的长，再根据特殊四边形的判定方法判断．‎ 解答：解：在平面直角坐标系中画出图后，可发现这个四边形的对角线互相平分，先判断为平行四边形，对角线还垂直，那么这样的平行四边形应是菱形．‎ 故选B．‎ 点评：动手画出各点后可很快得到四边形对角线的特点．‎ ‎2、用两个全等的等边三角形，可以拼成下列哪种图形（　　）‎ ‎ A、矩形 B、菱形 ‎ C、正方形 D、等腰梯形 考点：等边三角形的性质；菱形的判定。‎ 专题：操作型。‎ 分析：由题可知，得到的四边形的四条边也相等，得到的图形是菱形．‎ 解答：解：由于两个等边三角形的边长都相等，则得到的四边形的四条边也相等，‎ 即是菱形．‎ 故选B．‎ 点评：本题利用了菱形的概念：四边相等的四边形是菱形．‎ ‎3、（如图，下列条件之一能使平行四边形ABCD是菱形的为（　　）‎ ‎①AC⊥BD；②∠BAD=90°；③AB=BC；④AC=BD．‎ ‎ A、①③ B、②③‎ ‎ C、③④ D、①②③‎ 考点：菱形的判定；平行四边形的性质。‎ 专题：计算题。‎ 分析：菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．‎ 解答：解：根据菱形的判定：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形可知：①，③正确．‎ 故选A．‎ 点评：本题考查菱形的判定，即对角线互相垂直的平行四边形是菱形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形．‎ ‎4、红丝带是关注艾滋病防治问题的国际性标志，人们将红丝带剪成小段，并用别针将折叠好的红丝带别在胸前，如图所示．红丝带重叠部分形成的图形是（　　）‎ ‎ A、正方形 B、等腰梯形 ‎ C、菱形 D、矩形 考点：菱形的判定。‎ 专题：应用题。‎ 分析：首先可判断重叠部分为平行四边形，且两条彩带宽度相同；再由平行四边形的面积可得邻边相等，则重叠部分为菱形．‎ 解答：解：过点A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，因为两条彩带宽度相同，‎ 所以AB∥CD，AD∥BC，AE=AF．‎ ‎∴四边形ABCD是平行四边形．‎ ‎∵S▱ABCD=BC•AE=CD•AF．又AE=AF．‎ ‎∴BC=CD，‎ ‎∴四边形ABCD是菱形．‎ 故选C．‎ 点评：本题利用了平行四边形的判定和平行四边形的面积公式、一组邻边相等的平行四边形是菱形．‎ ‎5、在同一平面内，用两个边长为a的等边三角形纸片（纸片不能裁剪）可以拼成的四边形是（　　）‎ ‎ A、矩形 B、菱形 ‎ C、正方形 D、梯形 考点：菱形的判定；等边三角形的性质。‎ 专题：操作型。‎ 分析：用两个边长为a的等边三角形拼成的四边形，它的四条边长都为a，根据菱形的定义四边相等的四边形是菱形．‎ 解答：解：根据题意得，拼成的四边形四边相等，‎ 则是菱形．‎ 故选B．‎ 点评：此题主要考查了等边三角形的性质，菱形的定义．‎ ‎6、用两个边长为a的等边三角形纸片拼成的四边形是（　　）‎ ‎ A、等腰梯形 B、正方形 ‎ C、矩形 D、菱形 考点：菱形的判定；等边三角形的性质。‎ 分析：由于两个等边三角形的边长都相等，则得到的四边形的四条边也相等，即是菱形．‎ 解答：解：由题意可得：得到的四边形的四条边相等，即是菱形．‎ 故选D．‎ 点评：本题利用了菱形的概念：四边相等的四边形是菱形．[来源:学&科&网]‎ ‎7、汶川地震后，吉林电视台法制频道在端午节组织发起“绿丝带行动”，号召市民为四川受灾的人们祈福．人们将绿丝带剪成小段，并用别针将折叠好的绿丝带别在胸前，如图所示，绿丝带重叠部分形成的图形是（　　）‎ ‎ A、正方形 B、等腰梯形 ‎ C、菱形 D、矩形 考点：菱形的判定。‎ 专题：应用题。‎ 分析：首先可判断重叠部分为平行四边形，且两条丝带宽度相同；再由平行四边形的面积可得邻边相等，则重叠部分为菱形．‎ 解答：解：过点A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，因为两条彩带宽度相同，‎ 所以AB∥CD，AD∥BC，AE=AF．‎ ‎∴四边形ABCD是平行四边形．‎ ‎∵S▱ABCD=BC•AE=CD•AF．又AE=AF．‎ ‎∴BC=CD，‎ ‎∴四边形ABCD是菱形．‎ 故选C．‎ 点评：本题利用了平行四边形的判定和平行四边形的面积公式、一组邻边相等的平行四边形是菱形．‎ ‎8、能判定一个四边形是菱形的条件是（　　）‎ ‎ A、对角线相等且互相垂直 B、对角线相等且互相平分 ‎ C、对角线互相垂直 D、对角线互相垂直平分 考点：菱形的判定。‎ 分析：根据菱形的判定方法：对角线互相垂直平分来判断即可．‎ 解答：解：菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；‎ ‎②四边相等；‎ ‎③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．只有D能判定为是菱形，‎ 故选D．‎ 点评：本题考查菱形对角线互相垂直平分的判定．‎ ‎9、四边形的四边长顺次为a、b、c、d，且a2+b2+c2+d2=ab+bc+cd+ad，则此四边形一定是（　　）‎ ‎ A、平行四边形 B、矩形 ‎ C、菱形 D、正方形 考点：菱形的判定；非负数的性质：偶次方。‎ 分析：本题可通过整理配方式子a2+b2+c2+d2=ab+bc+cd+ad得到（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣d）2+（a﹣d）2=0，从而得出a=b=c=d，∴四边形一定是菱形．‎ 解答：解：整理配方式子a2+b2+c2+d2=ab+bc+cd+ad，‎ ‎2（a2+b2+c2+d2）=2（ab+bc+cd+ad），）‎ ‎∴（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣d）2+（a﹣d）2=0，‎ 由非负数的性质可知：（a﹣b）=0，（b﹣c）=0，（c﹣d）=0，（a﹣d）=0，‎ ‎∴a=b=c=d，‎ ‎∴四边形一定是菱形，‎ 故选C．‎ 点评：此题主要考查了菱形的判定，关键是整理配方式子，还利用了非负数的性质．‎ 二、填空题（共8小题）‎ ‎11、四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为菱形，需要添加的条件是　AC⊥BD或AB=BC或BC=CD或AB=AD　（只填一个你认为正确的即可）．‎ 考点：菱形的判定。‎ 专题：开放型。‎ 分析：根据平行四边形的性质和菱形的性质，可添加：AC⊥BD或AB=BC，或BC=CD，或CD=DA，或AB=AD．‎ 解答：解：四边形ABCD的对角线互相平分，则四边形ABCD为平行四边形，‎ 再依据：一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形，‎ 可添加：AC⊥BD或AB=BC，或BC=CD，或CD=DA，或AB=AD（答案不唯一）‎ 点评：本题考查平行四边形及菱形的判定．菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．‎ ‎12、如图，如果要使平行四边形ABCD成为一个菱形，需要添加一个条件，那么你添加的条件是　AB=AD或AC⊥BD　．‎ 考点：菱形的判定；平行四边形的性质。‎ 专题：开放型。‎ 分析：菱形的判定方法有三种：‎ ‎①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；‎ ‎②四边相等；‎ ‎③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．‎ ‎∴可添加：AB=AD或AC⊥BD．‎ 解答：解：因为一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角线互相垂直平分的四边形是菱形，那么可添加的条件是：AB=AD或AC⊥BD．‎ 点评：本题考查菱形的判定，答案不唯一．‎ ‎13、如图，平行四边形ABCD中，AF、CE分别是∠BAD和∠BCD的角平分线，根据现有的图形，请添加一个条件，使四边形AECF为菱形，则添加的一个条件可以是　AC⊥EF或AF=CF等　．（只需写出一个即可，图中不能再添加别的“点”和“线”）‎ 考点：菱形的判定；平行四边形的性质。‎ 专题：开放型。‎ 分析：菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．根据平行四边形的判定可得四边形AECF是平行四边形，由平行四边形的性质知，对角线互相平分，又对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，可得：当AC⊥EF时，四边形AECF是菱形．‎ 解答：解：则添加的一个条件可以是：AC⊥EF．‎ 证明：∵AD∥BC，‎ ‎∴∠FAD=∠AFB，‎ ‎∵AF是∠BAD的平分线，‎ ‎∴∠BAF=FAD，‎ ‎∴∠BAF=∠AFB，‎ ‎∴AB=BF，‎ 同理ED=CD，‎ ‎∵AD=BC，AB=CD，‎ ‎∴AE=CF，‎ 又∵AE∥CF ‎∴四边形AECF是平行四边形，‎ ‎∵对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，‎ 则添加的一个条件可以是：AC⊥EF．‎ 点评：本题考查了菱形的判定，利用角的平分线的性质和平行四边形的性质求解，答案不唯一．‎ ‎14、在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，从（1）AB=CD；（2）AB∥CD；（3）OA=OC；（4）OB=OD；（5）AC⊥BD；（6）AC平分∠BAD这六个条件中，选取三个推出四边形ABCD是菱形．如（1）（2）（5）=＞ABCD是菱形，再写出符合要求的两个：　（1）（2）（6）　=＞ABCD是菱形；　（3）（4）（5）@（3）（4）（6）　=＞ABCD是菱形．‎ 考点：菱形的判定。‎ 专题：开放型。‎ 分析：菱形的判定方法有三种：‎ ‎①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；‎ ‎②四边相等；‎ ‎③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．‎ 解答：解：（1）（2）（6）⇒ABCD是菱形．‎ 先由（1）（2）得出四边形是平行四边形，‎ 再由（6）和（2）得出∠DAC=∠DCA，‎ 由等角对等边得AD=CD，‎ 所以平行四边形是菱形．‎ ‎（3）（4）（5）=＞ABCD是菱形．‎ 由对角线互相平分且垂直的四边形是菱形．‎ ‎（3）（4）（6）=＞ABCD是菱形．[来源:学+科+网Z+X+X+K]‎ 由（3）（4）得出四边形是平行四边形，‎ 再由（6）得出∠DAC=∠DCA，‎ 由等角对等边得AD=CD，‎ 所以平行四边形是菱形．‎ 点评：本题考查菱形的判定．‎ ‎15、若四边形ABCD是平行四边形，请补充条件　AB=BC@AC⊥BD　（写一个即可），使四边形ABCD是菱形．‎ 考点：菱形的判定；平行四边形的性质。‎ 专题：开放型。‎ 分析：菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．据此判断即可．‎ 解答：解：因为一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直平分的四边形是菱形．可补充条件：AB=BC或AC⊥BD．‎ 点评：主要考查了菱形的特性．菱形的特性：菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角．‎ ‎16、在四边形ABCD中，给出四个条件：①AB=CD，②AD∥BC，③AC⊥BD，④AC平分∠BAD，由其中三个条件推出四边形ABCD是菱形，你认为这三个条件是　①③④或②③④　．（写四个条件的不给分，只填序号）‎ 考点：菱形的判定；全等三角形的判定与性质。‎ 分析：菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．据此判断即可．‎ 解答：解：设AC与BD交于点E，由③AC⊥BD，④AC平分∠BAD可证得，Rt△AEB≌Rt△AED，‎ ‎∴AB=AD，BE=DE，‎ 再由∠BEC=∠DEC=90°，CE=CE，证得Rt△BCE≌Rt△DCE，‎ ‎∴BC=CD，‎ 再由①AB=CD，可根据四边相等的四边形是菱形而得证为菱形；‎ 或者再由②AD∥BC，证得：Rt△AED≌Rt△BCE，‎ ‎∴AE=EC，‎ 由对角线互相垂直平分的四边形是菱形而得证为菱形．‎ 故填写①③④或②③④．‎ 点评：本题考查了菱形的判定，利用全等三角形的判定和性质来证明．‎ ‎17、要说明一个四边形是菱形，可以先说明这个四边形是　平行四边　形，再说明　有一组邻边相等　（只需填写一种方法）‎ 考点：菱形的判定。‎ 专题：开放型。‎ 分析：菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．所以，要说明一个四边形是菱形，可以先说明这个四边形是平行四边形，再说明有一组邻边相等．‎ 解答：‎ 解：因为一组邻边相等的平行四边形是菱形，所以，要说明一个四边形是菱形，可以先说明这个四边形是平行四边形，再说明有一组邻边相等．‎ 点评：本题考查菱形的判定，答案不唯一．‎ ‎18、如图，四边形ABCD是平行四边形，AC、BD相交于点O，不添加任何字母和辅助线，要使四边形ABCD是菱形，则还需添加一个条件是　AB=BC（答案不唯一）　（只需填写一个条件即可）．‎ 考点：菱形的判定；平行四边形的性质。‎ 专题：开放型。‎ 分析：菱形的判定方法有三种：‎ ‎①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；‎ ‎②四边相等；‎ ‎③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．‎ 所以可添加AB=BC．‎ 解答：解：AB=BC或AC⊥BD等．‎ 点评：本题考查了菱形的判定，答案不唯一．‎ 三、解答题（共11小题）‎ ‎19、如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，连接AD，在AD的延长线上取一点E，连接BE， CE．‎ ‎（1）求证：△ABE≌△ACE；‎ ‎（2）当AE与AD满足什么数量关系时，四边形ABEC是菱形？并说明理由．‎ 考点：全等三角形的判定；菱形的判定。‎ 专题：证明题。‎ 分析：由题意可知三角形三线合一，结合SAS可得△ABE≌△ACE．四边形ABEC相邻两边AB=AC，只需要证明四边形ABEC是平行四边形的条件，当AE=2AD（或AD=DE或DE=AE）时，根据对角线互相平分，可得四边形是平行四边形．‎ 解答：（1）证明：∵AB=AC，点D为BC的中点，‎ ‎∴∠BAE=∠CAE，‎ ‎∵AE=AE ‎∴△ABE≌△ACE（SAS）．‎ ‎（2）解：当AE=2AD（或AD=DE或DE=AE）时，四边形ABEC是菱形 理由如下：‎ ‎∵AE=2AD，∴AD=DE，‎ 又∵点D为BC中点，‎ ‎∴BD=CD，‎ ‎∴四边形ABEC为平行四边形，‎ ‎∵AB=AC，‎ ‎∴四边形ABEC为菱形．‎ 点评：本题考查了全等三角形和等腰三角形的性质和菱形的判定定理，比较容易．‎ ‎20、如图，在▱ABCD中，E，F分别为边AB，CD的中点，连接DE、BF、BD．‎ ‎（1）求证：△ADE≌△CBF．‎ ‎（2）若AD⊥BD，则四边形BFDE是什么特殊四边形？请证明你的结论．‎ 考点：全等三角形的判定；平行四边形的性质；菱形的判定。‎ 专题：证明题；探究型。‎ 分析：（1）根据题中已知条件不难得出，AD=BC，∠A=∠C，E、F分别为边AB、CD的中点，那么AE=CF，这样就具备了全等三角形判定中的SAS，由此可得出△AED≌△CFB．‎ ‎（2）直角三角形ADB中，DE是斜边上的中线，因此DE=BE，又由DE=BF，FD∥BE那么可得出四边形BFDE是个菱形．‎ 解答：（1）证明：在平行四边形ABCD中，∠A=∠C，AD=BC，‎ ‎∵E、F分别为AB、CD的中点，‎ ‎∴AE=CF．‎ 在△AED和△CFB中，‎ ‎∴△AED≌△CFB（SAS）；‎ ‎（2）解：若AD⊥BD，则四边形BFDE是菱形．‎ 证明：∵AD⊥BD，‎ ‎∴△ABD是直角三角形，且∠ADB=90°．‎ ‎∵E是AB的中点，‎ ‎∴DE=AB=BE．‎ 由题意可知EB∥DF且EB=DF，‎ ‎∴四边形BFDE是平行四边形．‎ ‎∴四边形BFDE是菱形．‎ 点评：本题主要考查了全等三角形的判定，平行四边形的性质和菱形的判定等知识点．‎ ‎21、如图，已知点D在△ABC的BC边上，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．‎ ‎（1）求证：AE=DF；‎ ‎（2）若AD平分∠BAC，试判断四边形AEDF的形状，并说明理由．‎ 考点：全等三角形的判定与性质；菱形的判定。‎ 专题：证明题。‎ 分析：（1）利用AAS推出△ADE≌△DAF，再根据全等三角形的对应边相等得出AE=DF；‎ ‎（2）先根据已知中的两组平行线，可证四边形DEFA是▱，再利用AD是角平分线，结合AE∥DF，易证∠DAF=∠FDA，利用等角对等边，可得AF=DF，从而可证▱AEDF实菱形．‎ 解答：证明：（1）∵DE∥AC，∠ADE=∠DAF，‎ 同理∠DAE=∠FDA，‎ ‎∵AD=DA，‎ ‎∴△ADE≌△DAF，‎ ‎∴AE=DF；‎ ‎（2）若AD平分∠BAC，四边形AEDF是菱形，‎ ‎∵DE∥AC，DF∥AB，‎ ‎∴四边形AEDF是平行四边形，‎ ‎∴∠DAF=∠FDA．‎ ‎∴AF=DF．‎ ‎∴平行四边形AEDF为菱形．‎ 点评：考查了全等三角形的判定方法及菱形的判定的掌握情况．‎ ‎22、已知：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，BC=CD，AD⊥BD，E为AB中点，求证：四边形BCDE是菱形．‎ 考点：菱形的判定。‎ 专题：证明题。‎ 分析：由题意易得DE=BE，再证四边形BCDE是平行四边形，即证四边形BCDE是菱形．‎ 解答：证明：∵AD⊥BD，‎ ‎∴△ABD是Rt△‎ ‎∵E是AB的中点，‎ ‎∴BE=AB，DE=AB （直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），‎ ‎∴BE=DE，‎ ‎∴∠EDB=∠EBD，‎ ‎∵CB=CD，‎ ‎∴∠CDB=∠CBD，‎ ‎∵AB∥CD，‎ ‎∴∠EBD=∠CDB，‎ ‎∴∠EDB=∠EBD=∠CDB=∠CBD，‎ ‎∵BD=BD，‎ ‎∴△EBD≌△CBD （ASA ），‎ ‎∴BE=BC，‎ ‎∴CB=CD=BE=DE，‎ ‎∴菱形BCDE．（四边相等的四边形是菱形）‎ 点评：此题主要考查菱形的判定，综合利用了直角三角形的性质和平行线的性质．‎ ‎23、如图，在△ABC和△DCB中，AB=DC，AC=DB，AC与DB交于点M．‎ ‎（1）求证：△ABC≌△DCB；‎ ‎（2）过点C作CN∥BD，过点B作BN∥AC，CN与BN交于点N，试判断线段BN与CN的数量关系，并证明你的结论．‎ 考点：菱形的判定；全等三角形的判定。‎ 专题：证明题；探究型。‎ 分析：（1）由SSS可证△ABC≌△DCB；‎ ‎（2）BN=CN，可先证明四边形BMCN是平行四边形，由（1）知，∠MBC=∠MCB，可得BM=CM，于是就有四边形BMCN是菱形，则BN=CN．‎ 解答：（1）证明：如图，在△ABC和△DCB中，‎ ‎∵AB=DC，AC=DB，BC=CB，‎ ‎∴△ABC≌△DCB；（4分）‎ ‎（2）解：据已知有BN=CN．证明如下：‎ ‎∵CN∥BD，BN∥AC，‎ ‎∴四边形BMCN是平行四边形，（6分）‎ 由（1）知，∠MBC=∠MCB，‎ ‎∴BM=CM（等角对等边），‎ ‎∴四边形BMCN是菱形，‎ ‎∴BN=CN．（9分）‎ 点评：此题主要考查全等三角形和菱形的判定．‎ ‎24、如图，△ABC中，AC的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点O，CE∥AB交MN于E，连接AE、CD．‎ ‎（1）求证：AD=CE；‎ ‎（2）填空：四边形ADCE的形状是　　．‎ 考点：菱形的判定；线段垂直平分线的性质。‎ 专题：证明题。‎ 分析：根据中垂线的性质：中垂线上的点线段两个端点的距离相等，∴AE=CE，AD=CD，OA=OC∠AOD=∠EOC=90°，‎ ‎∵CE∥AB，‎ ‎∴∠DAO=∠ECO，∴△ADO≌△CEO，∴AD=CE，OD=OE，‎ 由一组对边平行且相等知，四边形ADCE是平行四边形，‎ ‎∵OD=OE，OA=OC∠AOD=90°根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形得．平行四边形ADCE是菱形．[来源:学科网ZXXK]‎ 解答：（1）证明：∵MN是AC的垂直平分线，（1分）‎ ‎∴OA=OC∠AOD=∠EOC=90°．（3分）‎ ‎∵CE∥AB，‎ ‎∴∠DAO=∠ECO．（4分）‎ ‎∴△ADO≌△CEO．（5分）‎ ‎∴AD=CE．（6分）‎ ‎（2）解：四边形ADCE是菱形．（8分）‎ ‎（填写平行四边形给1分）‎ 点评：本题利用了：1、中垂线的性质，2、全等三角形的判定和性质，平行四边形和菱形的判定．‎ ‎25、如图△ABC与△CDE都是等边三角形，点E、F分别在AC、BC上，且EF∥AB ‎（1）求证：四边形EFCD是菱形；‎ ‎（2）设CD=4，求D、F两点间的距离．‎ 考点：菱形的判定；等边三角形的性质；勾股定理。‎ 专题：计算题；证明题。‎ 分析：（1）根据菱形的判定定理，一组邻边相等的平行四边形是菱形，由△ABC与△CDE都是等边三角形，可得出角之间的等量关系，从而证明四边形EFCD是菱形；‎ ‎（2）连接DF，与CE相交于点G，由（1）知DF就是菱形EFCD的一条对角线，根据菱形的性质及30°特殊角的值可计算出结果．‎ 解答：（1）证明：∵△ABC与△CDE都是等边三角形，‎ ‎∴ED=CD．‎ ‎∴∠A=∠DCE=∠BCA=∠DEC=60°．（1分）‎ ‎∴AB∥CD，DE∥CF．（2分）[来源:学科网]‎ 又∵EF∥AB，‎ ‎∴EF∥CD，（3分）‎ ‎∴四边形EFCD是菱形．（4分）‎ ‎（2）解：连接DF，与CE相交于点G，（5分）‎ 由CD=4，可知CG=2，（6分）‎ ‎∴，（7分）‎ ‎∴．（8分）‎ 点评：菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：①定义，②四边相等，③对角线互相垂直平分．‎ ‎26、如图，在梯形纸片ABCD中，AD∥BC，AD＞CD，将纸片沿过点D的直线折叠，使点C落在AD上的点C处，折痕DE交BC于点E，连接C′E．‎ 求证：四边形CDC′E是菱形．‎ 考点：菱形的判定。‎ 专题：证明题。‎ 分析：根据题意可知△CDE≌△C′DE，则CD=C′D，CE=C′E，要证四边形CDC′E为菱形，证明CD=CE即可．‎ 解答：证明：根据题意可知△CDE≌△C′DE，‎ 则CD=C′D，∠C′DE=∠CDE，CE=C′E，‎ ‎∵AD∥BC，∴∠C′DE=∠CED，‎ ‎∴∠CDE=∠CED，∴CD=CE，‎ ‎∴CD=C′D=C′E=CE，‎ ‎∴四边形CDC′E为菱形．‎ 点评：本题利用了：1、全等三角形的性质；2、两直线平行，内错角相等；3、等边对等角；4、菱形的判定．‎ ‎27、已知：如图，平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点E、F．‎ 求证：四边形AFCE是菱形．‎ 考点：菱形的判定。‎ 专题：证明题。‎ 分析：菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：‎ ‎①定义；‎ ‎②四边相等；‎ ‎③对角线互相垂直平分．具体选择哪种方法需要根据已知条件来确定．‎ 解答：证明：方法一：∵AE∥FC．‎ ‎∴∠EAC=∠FCA．（2分）‎ 又∵∠AOE=∠COF，AO=CO，‎ ‎∴△AOE≌△COF．（5分）‎ ‎∴EO=FO．‎ 又EF⊥AC，‎ ‎∴AC是EF的垂直平分线．（8分）‎ ‎∴AF=AE，CF=CE，‎ 又∵EA=EC，‎ ‎∴AF=AE=CE=CF．‎ ‎∴四边形AFCE为菱形；（10分）‎ 方法二：同方法一，证得△AOE≌△COF．（5分）‎ ‎∴AE=CF．‎ ‎∴四边形AFCE是平行四边形．（8分）‎ 又∵EF是AC的垂直平分线，‎ ‎∴EA=EC，‎ ‎∴四边形AFCE是菱形；（10分）‎ 方法三：同方法二，证得四边形AFCE是平行四边形．（8分）‎ 又EF⊥AC，（9分）‎ ‎∴四边形AFCE为菱形．‎ 点评：本题利用了中垂线的性质，全等三角形的判定和性质，有一组邻边相等的平行四边形是菱形．‎ ‎28、如图，等边△ABC的边长为2，E是边BC上的动点，EF∥AC交边AB于点F，在边AC上取一点P，使PE=EB，连接FP．‎ ‎（1）请直接写出图中与线段EF相等的两条线段；（不再另外添加辅助线）‎ ‎（2）探究：当点E在什么位置时，四边形EFPC是平行四边形？并判断四边形EFPC是什么特殊的平行四边形，请说明理由；‎ ‎（3）在（2）的条件下，以点E为圆心，r为半径作圆，根据⊙E与平行四边形EFPC四条边交点的总个数，求相应的r的取值范围．‎ 考点：点与圆的位置关系；等边三角形的性质；平行四边形的判定；菱形的判定。‎ 专题：探究型。‎ 分析：（1）由平行易得△BFE是等边三角形，那么各边是相等的；‎ ‎（2）当点E是BC的中点时，△PEC为等边三角形，可得到PC=EC=BE=EF，也就得到了四边形EFPC是平行四边形，再有EF=EC可证为菱形；‎ ‎（3）根据各点到圆心的距离作答即可．‎ 解答：解：（1）易得△BFE是等边三角形，PE=EB，‎ ‎∴EF=BE=PE=BF；‎ ‎（2）当点E是BC的中点时，四边形是菱形；‎ ‎∵E是BC的中点，‎ ‎∴EC=BE，‎ ‎∵PE=BE，‎ ‎∴PE=EC，‎ ‎∵∠C=60°，‎ ‎∴△PEC是等边三角形，‎ ‎∴PC=EC=PE，‎ ‎∵EF=BE，‎ ‎∴EF=PC，‎ 又∵EF∥CP，‎ ‎∴四边形EFPC是平行四边形，‎ ‎∵EC=PC=EF，‎ ‎∴平行四边形EFPC是菱形；‎ ‎（3）当0＜r＜时，有两个交点；‎ 当r=时，有四个交点；‎ 当＜r＜1时，有六个交点；‎ 当r=1时，有三个交点；‎ 当r＞1时，有0个交点．‎ 点评：本题综合考查了等边三角形的性质和判定，菱形的判定及点和圆的位置关系等知识点．注意圆和线段有交点，应根据半径作答．‎ ‎29、如图，已知△ABC的面积为3，且AB=AC，现将△ABC沿CA方向平移CA长度得到△EFA．‎ ‎（1）求△ABC所扫过的图形的面积；‎ ‎（2）试判断AF与BE的位置关系，并说明理由；‎ ‎（3）若∠BEC=15°，求AC的长．‎ 考点：平移的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定。‎ 专题：计算题；探究型。‎ 分析：（1）根据题意：易得△ABC≌△EFA，BA∥EF，且BA=EF，进而得出S平行四边形ABFE=2S△EAF，故可求出△ABC扫过图形的面积为S△ABC+S平行四边形ABFE；‎ ‎（2）根据平移的性质，可得四边形ABFE为菱形，故AF与BE互相垂直且平分；‎ ‎（3）根据题意易得：所以∠AEB=∠ABE=15°，BD•AC=3，AC•AC=3，进而可得AC的长度．‎ 解答：解：（1）连接BF，由题意知△ABC≌△EFA，BA∥EF，且BA=EF ‎∴四边形ABFE为平行四边形，‎ ‎∴S平行四边形ABFE=2S△EAF∴△ABC扫过图形的面积为S△ABC+S平行四边形ABFE=3+6=9；‎ ‎（2）由（1）知四边形ABFE为平行四边形，且AB=AE，‎ ‎∴四边形ABFE为菱形，‎ ‎∴AF与BE互相垂直且平分．‎ ‎（3）过点B作BD⊥CA于点D，‎ ‎∵AB=AE，‎ ‎∴∠AEB=∠ABE=15°．‎ ‎∴∠BAD=30°BD=AB=AC．‎ ‎∴BD•AC=3，AC•AC=3．‎ ‎∴AC2=12．‎ ‎∴AC=2．‎ 点评：本题考查利用全等三角形的判定、菱形的判定和平移的知识结合求解．考查了学生综合运用数学的能力．‎