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- 2021-10-26 发布
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12.2
三角
全等
形的判定
第十二章 全等三角形
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
第
4
课时
“斜边、直角边”
八年级数学上(RJ)
情境引入
学习目标
1
.
探索并理解直角三角形全等的判定方法“
HL
”
.(难点)
2
.
会用
直角三角形全等的判定方法
“
HL
”
判定两个直角三角形全等.(重点)
SSS
SAS
ASA
AAS
旧知回顾
:
我们学过的判定三角形全等的方法
导入新课
如图
,
Rt△
ABC
中
,∠
C =90°
,
直角边是
_____
、
_____
,
斜边是
______.
C
B
A
AC
BC
AB
思考:
前面学过的四种判定三角形全等的方法
,
对直角三角形是否适用?
A
B
C
A′
B′
C′
1.
两个直角三角形中,
斜边
和
一个锐角
对应相等,这两个直角三角形全等吗?为什么?
2.
两个直角三角形中,有
一条直角边
和
一锐角
对应相等,这两个直角三角形全等吗?为什么?
3.
两个直角三角形中,
两直角边
对应相等,这两个直角三角形全等吗?为什么?
口答
:
动脑想一想
如图,已知
AC=DF
,
BC=EF
,
∠
B=
∠
E
,△
ABC
≌
△
DEF
吗?
我们知道,证明三角形全等不存
在
SSA
定理
.
A
B
C
D
E
F
问题:
如果这两个三角形都是直角三
角形,即∠
B=
∠
E=90°
,
且
AC=DF
,
BC=EF
,现在能
判定△
ABC
≌
△
DEF
吗?
A
B
C
D
E
F
直角三角形全等的判定(
“
斜边、直角边
”
定理)
一
讲授新课
任意画出一个
Rt△
ABC
,
使
∠
C
=90°
.
再画一个
Rt△
A
′
B
′
C
′
,
使
∠
C
′=90 °,
B
′
C
′=
BC
,
A
′
B
′=
AB
,
把画好的
Rt△
A
′
B
′
C
′
剪下来,放到
Rt△
ABC
上,它们能重合吗?
A
B
C
作图探究
画图方法视频
画图思路
(
1
)先画∠
M
C′
N=90°
A
B
C
M
C′
N
画图思路
(
2
)在射线
C′M
上截取
B′C′=BC
M
C′
A
B
C
N
B′
M
C′
画图思路
(
3
)以点
B′
为圆心,
AB
为半径画弧,交射线
C′N
于
A′
M
C′
A
B
C
N
B′
A′
画图思路
(
4
)连接
A′B′
M
C′
A
B
C
N
B′
A′
思考:
通过上面的探究,你能得出什么结论?
知识要点
“斜边、直角边”判定方法
文字语言:
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
(简写成
“斜边、直角边”或“
HL
”
)
.
几何语言:
A
B
C
A ′
B′
C ′
在
Rt△
ABC
和
Rt△
A′B′C′
中,
∴Rt△
ABC
≌
Rt△
A′B′C′
(HL).
“
SSA
”可以判定两个直角三角形全等,但是“边边”指的是斜边和一直角边,而“角”指的是直角
.
AB=A′B′
,
BC=B′C′
,
判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等,不全等的画“
×”
,全等的注明理由:
(
1
)一个锐角和这个角的对边对应相等;( )
(
2
)一个锐角和这个角的邻边对应相等;( )
(
3
)一个锐角和斜边对应相等; ( )
(
4
)两直角边对应相等; ( )
(
5
)一条直角边和斜边对应相等. ( )
HL
×
SAS
AAS
AAS
判一判
典例精析
例
1
如图,
AC
⊥
BC
,
BD
⊥
AD
,
AC
﹦
BD
,
求证:
BC
﹦
AD
.
证明:
∵
AC
⊥
BC
,
BD
⊥
AD
,
∴∠
C
与
∠
D
都是直角
.
AB
=
BA
,
AC
=
BD
.
在
Rt△
ABC
和
Rt△
BAD
中,
∴ Rt△
ABC
≌
Rt△
BAD
(HL).
∴
BC
﹦
AD
.
A
B
D
C
应用
“
HL”
的前提条件是在直角三角形中
.
这是应用“
HL
”
判定方法的书写格式
.
利用全等证明两条线段相等,这是常见的思路
.
变式
1
:
如图,
∠
ACB
=∠
ADB
=90
,
要证明△
ABC
≌
△BAD
,还需一个什么条件?把这些条件都写出来,并在相应的括号内填写出判定它们全等的理由
.
(
1
)
( )
(
2
)
( )
(
3
)
( )
(
4
)
( )
A
B
D
C
AD=BC
∠ DAB= ∠ CBA
BD=AC
∠ DBA= ∠ CAB
HL
HL
AAS
AAS
如图,
AC
、
BD
相交于点
P,AC⊥BC
,
BD⊥AD
,垂足分
别为
C
、
D,AD=BC.
求证:
AC=BD.
变式
2
HL
AC=BD
Rt△
ABD
≌
Rt△
BAC
如图:
AB⊥AD
,
CD⊥BC
,
AB=CD,
判断
AD
和
BC
的位置
关系
.
变式
3
HL
∠
ADB=
∠
CBD
Rt△
ABD
≌
Rt△
CDB
AD
∥
BC
例
2
如图,
已知AD,AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高,如果AD=AF,AC=AE. 求证:BC=BE.
证明:∵AD,AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高,且AD=AF,AC=AE,
∴Rt△ADC
≌
Rt△AFE(HL).
∴CD=EF.
∵AD=AF,AB=AB,
∴Rt△ABD
≌
Rt△ABF(HL).
∴BD=BF.
∴BD-CD=BF-EF.即BC=BE.
方法总结:
证明线段相等可通过证明三角形全等解决,作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法.所以直角三角形的判定方法最多,使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件.
例
3
:
如图,有两个长度相同的滑梯,左边滑梯的高度
AC
与右边滑梯水平方向的长度
DF
相等,两个滑梯的倾斜角
∠B
和
∠F
的大小有什么关系?
解:在
Rt△ABC
和
Rt△DEF
中
,
BC=EF,
AC=DF .
∴ Rt△ABC
≌
Rt△DEF (HL).
∴∠B=∠DEF
(
全等三角形对应角相等
).
∵ ∠DEF+∠F=90°,
∴∠B+∠F=90°.
D
A
当堂练习
1.
判断两个直角三角形全等的方法不正确的有( )
A.
两条直角边对应相等
B.
斜边和一锐角对应相等
C.
斜边和一条直角边对应相等
D.
两个锐角对应相等
2.
如图,在
△ABC
中,
AD⊥BC
于点
D
,
CE⊥AB
于点
E
,
AD
、
CE
交于点
H
,已知
EH
=
EB
=
3
,
AE
=
4
,
则
CH
的长为( )
A
.
1 B
.
2 C
.
3 D
.
4
4.
如图,在
△
ABC
中,已知
BD
⊥
AC
,
CE
⊥
AB
,
BD
=
CE
.
求证:△
EBC
≌
△
DCB
.
A
B
C
E
D
证明:
∵
BD
⊥
AC
,
CE
⊥
AB
,
∴∠
BEC
=
∠
BDC
=90 °
.
在
Rt△
EBC
和
Rt△
DCB
中,
CE=BD
,
BC=CB
.
∴ Rt△
EBC
≌
Rt△
DCB
(HL).
3.
如图,△
ABC
中,
AB=AC
,
AD
是高,则△
ADB
与△
ADC
(填
“
全等”或“不全等”),根据
(用简写法)
.
全等
HL
A
F
C
E
D
B
5.
如图,
AB=CD, BF
⊥A
C,DE
⊥
AC,AE=CF.
求证:
BF=DE
.
证明
:
∵
BF
⊥
AC
,
DE
⊥
AC
, ∴∠
BFA
=
∠
DEC
=90 °.
∵
AE=CF
,
∴
AE+EF=CF+EF
.
即
AF=CE
.
在
Rt△
ABF
和
Rt△
CDE
中
,
AB=CD
,
AF=CE
.
∴ Rt△
ABF
≌
Rt△
CDE
(HL).
∴
BF=DE
.
如图,
AB=CD, BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF
.
求证:
BD
平分
EF
.
A
F
C
E
D
B
G
变式训练
1
AB=CD
,
AF=CE
.
Rt△
ABF
≌
Rt△
CDE
(HL).
BF=DE
Rt△
GBF
≌
Rt△
GDE
(AAS).
∠
BFG
=
∠
DEG
∠
BGF
=
∠
DGE
FG=EG
BD
平分
EF
如图,
AB=CD, BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF
.
想想:
BD
平分
EF
吗
?
变式训练
2
C
AB=CD
,
AF=CE
.
Rt△
ABF
≌
Rt△
CDE
(HL).
BF=DE
Rt△
GBF
≌
Rt△
GDE
(AAS).
∠
BFG
=
∠
DEG
∠
BGF
=
∠
DGE
FG=EG
BD
平分
EF
6
.
如图,有一直角三角形
ABC
,
∠
C
=
90°
,
AC
=
10cm
,
BC
=
5cm
,一条线段
PQ
=
AB
,
P
、
Q
两点分别在
AC
上和过
A
点且垂直于
AC
的射线
AQ
上运动,问
P
点运动到
AC
上什么位置时
△
ABC
才能和
△
APQ
全等?
【分析】
本题要分情况讨论:
(1)Rt△
APQ
≌Rt△
CBA
,此时
AP
=
BC
=
5cm
,可据此求出
P
点的位置.
(2)Rt△
QAP
≌Rt△
BCA
,此时
AP
=
AC
,
P
、
C
重合.
解:
(1)
当
P
运动到
AP
=
BC
时,
∵∠
C
=
∠
QAP
=
90°.
在
Rt△
ABC
与
Rt△
QPA
中,
∵PQ
=
AB
,
AP
=
BC
,
∴Rt△
ABC
≌
Rt△
QPA
(HL)
,
∴
AP
=
BC
=
5cm
;
能力拓展
(2)
当
P
运动到与
C
点重合时,
AP
=
AC
.
在
Rt△
ABC
与
Rt△
QPA
中,
∵PQ
=
AB
,
AP
=
AC
,
∴Rt△
QAP
≌
Rt△
BCA
(HL)
,
∴
AP
=
AC
=
10cm
,
∴
当
AP
=
5cm
或
10cm
时,
△
ABC
才能和
△
APQ
全等.
【方法总结】
判定三角形全等的关键是找对应边和对应角,由于本题没有说明全等三角形的对应边和对应角,因此要分类讨论,以免漏解.
课堂小结
“斜边、直角边”
内容
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
.
前提条件
在直角三角形中
使用方法
只须找除直角外的两个条件即可(两个条件中至少有一个条件是一对对应边相等)
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