数学冀教版八年级上册教案17-1等腰三角形（2） 6页

- 1 - 17.1 等腰三角形（2） 教学目标 【知识与能力】 1.理解并掌握等腰三角形、等边三角形的判定定理. 2.运用等腰三角形、等边三角形的判定定理进行证明和计算. 【过程与方法】 1.理解并掌握“等角对等边”,体会与“等边对等角”的互逆关系. 2.能够利用等腰三角形和等边三角形的判定定理解决问题. 【情感态度价值观】 1.提高学生的动手能力,学会数学说理,发展初步的演绎推理能力. 2.引导学生观察,发现等腰三角形、等边三角形的判定定理,让学生从思考中获得成功,在这 个过程中体验学习的兴趣. 教学重难点 【教学重点】 等腰三角形、等边三角形的判定定理. 【教学难点】 边、角关系互相转化及运用. 课前准备 多媒体课件 教学过程 一、新课导入： 导入一: 【课件 1】 某地质专家为估测一条东西流向的河流的宽度,选择河流北岸上一棵树(B 点), 然后在这棵树的正南方 A 点插一小旗作标志,沿南偏东 60°方向走一段距离到 C 处时,测得 ∠ ACB 为 30°, 这 时 , 地 质 专 家 只 要 测 得 AC 的 长 度 就 可 知 河 流 宽 度 . 学生们很想知道,这样估测河流宽度的根据是什么?带着这个问题,引导学生学习“等腰三角 形、等边三角形的判定定理”. 导入二: - 2 - 教师提出问题,引导学生思考. 1.什么样的三角形叫做等腰三角形? 2.等腰三角形的两底角有何关系? 谁能告诉我怎样去判定一个三角形是不是等腰三角形? 除用两边相等判定等腰三角形外,是否还有其他方法?由此引入课题. 等腰三角形的两个底角是相等的,反过来,如果一个三角形有两个角相等,那么这个三角形是 否一定是等腰三角形呢? [设计意图] 通过问题引入,激发学生的学习兴趣,同时使学生认识到等腰三角形的性质与 等腰三角形的判定方法是否存在一种特殊关系,从而掀起学生的探究欲望,使他们能更好地 投入到学习中. 导入三: 对于一个三角形,怎样判定它是不是等腰三角形呢?我们已经知道的方法是看它是否有两条 边相等.现在我们将学习另一种判定方法. 二、新知构建： 活动一:等腰三角形、等边三角形的判定定理 [过渡语] 我们已经知道如果一个三角形有两条边相等,那么它们所对的角也相等,反 过来,如果一个三角形有两个角相等,那么它们所对的边是否相等呢?下面我们就来研究这个 问题. 1.等腰三角形的判定定理 思路一 【课件 2】 已知在ΔABC 中,∠B=∠C. (1)请你作出∠BAC 的平分线 AD. (2)将ΔABC 沿 AD 所在直线折叠,ΔABC 被直线 AD 分成的两部分能够重合吗? (3)由上面的操作,你是否发现了边 AB 和边 AC 之间的数量关系? 学生思考教师提出的问题,得出结论:ΔABC 被直线 AD 分成的两部分能够重合,AB=AC. 从上面的探究我们不难发现:如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等. 如何证明? (1)在这一问题中,条件和结论是什么? (2)用数学符号怎样表示? 教师引导提示,学生根据提示画出图形,并写出已知、求证. 已知:在ΔABC 中,∠B=∠C. 求证:AB=AC. 与学生一起回顾等腰三角形性质的证明过程,从作底边上的高、中线、顶角平分线三个方面 分析.让学生逐一尝试,发现可以作 AD⊥BC,或 AD 平分∠ABC,但不能作 BC 边上的中线. - 3 - 学生口头证明后,选一种方法写出证明过程. 证明:如图所示,作ΔABC 的角平分线 AD. 在ΔBAD 和ΔCAD 中, ∠ 1 = ∠ 2 , ∠ = ∠ , = , ∴ΔBAD≌ΔCAD(AAS), ∴AB=AC. 归纳等腰三角形的判定方法: 如果一个三角形有两个角相等,那么这个三角形是等腰三角形,其中,两个相等的角所对的边 也相等.简称“等角对等边”. 说明:三角形的“两边相等”和“两角相等”都是指在同一个三角形中才能得到“等边对等 角”及“等角对等边”.“等边对等角”是性质,“等角对等边”是判定方法. [知识拓展] 如果一个三角形一边上的高、中线和这条边所对的角的平分线中有任意两条线 段互相重合,那么这个三角形就是等腰三角形,这种方法是补充的一种方法,可以帮助我们解 题时找思路,而在实际的解题过程中往往要转化为判定方法来解决.线段的垂直平分线的性 质、角平分线的性质也可以判断相等,从而进一步说明三角形是等腰三角形. 思路二 环节一:等腰三角形的判定方法 问题 1:你会画等腰三角形吗? 可以让学生以小组为单位进行讨论如何画一个等腰三角形.学生可能会说在画出的三角形中 使两边相等, 总结:等腰三角形的判定方法 1:有两边相等的三角形是等腰三角形. 问题 2:有两边相等的三角形是等腰三角形,那么有没有其他的画等腰三角形的方法? 若学生回答可以画三角形,使得有两个角相等,引导学生思考问题 3;若学生不能想到两角相 等,则可以引导学生回忆等腰三角形的性质. 问题 3:三角形中的两个角相等,这个三角形是等腰三角形吗?为什么? 环节二:实验 实验目的:画一个三角形,使得其中的两个角相等,剪下来观察是不是等腰三角形. 【课件 3】 作法:(1)画一条线段 BC; (2)以 BC 为始边,分别以点 B 和点 C 为顶点,在 BC 的同侧,画两个相等的角; (3)两角终边的交点为点 A,那么,在ΔABC 中,∠ =∠ ; (4)找出 BC 的中点 D,连接 AD,那么 AD 是ΔABC 的 线; (5)沿 AD 对折,你有什么新发现吗?请把你的新发现记录下来: ; - 4 - (6)与同学们分享一下你的新发现; (7)得出结论: . 结论:等腰三角形的判定方法 2:如果一个三角形有两个角相等,那么这个三角形是等腰三角 形.其中,两个相等的角所对的边相等(简称“等角对等边”). 如 图 所 示 , 在 Δ ABC 中 , 若 ∠ B= ∠ C, 则 AB=AC. 你 能 证 明 这 个 命 题 成 立 吗 ? 教师引导学生加以证明,一名同学板演过程,教师讲评. 2.等边三角形的判定定理 [过渡语] 我们知道等边三角形是特殊的等腰三角形,那么怎样判定一个三角形是等边 三角形呢? 探 究 1: 如 图 所 示 , Δ ABC 中 , 如 果 ∠ A= ∠ B= ∠ C, 那 么 Δ ABC 是 什 么 三 角 形 ? 等边三角形.为什么? ∵∠A=∠B=∠C, ∴AB=BC=CA(等角对等边). 归纳:等边三角形的判定方法 1: 三个角都相等的三角形是等边三角形. 探究 2:ΔABC 中,如果 AB=AC,那么ΔABC 还需添加一个什么条件,才能使ΔABC 为等边三角 形? 有一个角为 60°. 等边三角形的判定方法 2:有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形. 说明:先独立猜想,然后以小组为单位对本组成员的所有猜想通过画图进行验证. [知识拓展] 在判断一个三角形是不是等边三角形时,我们可从边或角的角度去判断,对于 “有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形”在使用时应注意,其前提条件必须是“等腰 三角形”,此时,无论 60°是顶角还是底角,都可以说明三角形是等边三角形. 活动二:判定定理的应用 [过渡语] 刚才通过探究,我们掌握了等腰三角形的判定方法,利用等腰三角形的判定 方法我们可以识别一个三角形是不是等腰三角形,还可以利用它解决一些其他的问题. 1.【课件 4】 求证:如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边,那么这个三角形是 - 5 - 等腰三角形. 引导学生根据命题画出图形,利用角平分线的性质及“等角对等边”来证明. 学生讨论后,自己完成证明过程. 已知:∠CAE 是ΔABC 的外角,∠1=∠2,AD∥BC(如图所示). 求证:AB=AC. 解析:要证明 AB=AC,可以证明∠B=∠C.因为∠1=∠2,所以可以设法找出∠B,∠C 与∠1,∠2 的关系. 证明:∵AD∥BC, ∴∠1=∠B( ), ∠2=∠C( ), ∵∠1=∠2, ∴∠B=∠C. ∴AB=AC( ). 2.【课件 5】 (教材例 2)已知底边及底边上的高,用尺规作等腰三角形. 如图(1)所示,已知线段 a 和 h. 求作等腰三角形 ABC,使 BC=a,高 AD=h. 解:作法: (1)作线段 BC=a. (2)作线段 BC 的垂直平分线 MD,垂足为点 D. (3)在 DM 上截取 DA=h. (4)连接 AC,BC. 则ΔABC 就是所求作的等腰三角形.如图(2)所示. - 6 - 学生通过例 2 的学习,自主探究作图方法. 三、课堂小结： 1.等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等,那么这个三角形是等腰三角形.其中,两个相等的角所对的边 相等.(简称“等角对等边”) 说明:(1)等腰三角形的判定定理与性质定理互逆; (2)在判定定理的应用中,可以作底边上的高,也可以作顶角平分线,但不能作底边上的中线; (3)判定定理在同一个三角形中才能适用. 2.等边三角形的判定定理 (1)三个角都相等的三角形是等边三角形. (2)有一个角等于 60°的等腰三角形是等边三角形.