北京市大兴区2019~2020学年度第二学期期末检测试卷高一数学 （解析版） 16页

‎2019-2020学年北京市大兴区高一第二学期期末数学试卷 ‎ 一、选择题（共10小题）.‎ ‎1．复数1+i2＝（　　）‎ A．0 B．‎2 ‎C．2i D．1﹣i ‎2．在平行四边形ABCD中，＝（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．某中学高一年级有280人，高二年级有320人，高三年级有400人，为了解学校高中学生视力情况，现用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个容量为50的样本，则高一年级应抽取的人数为（　　）‎ A．14 B．‎16 ‎C．28 D．40‎ ‎4．若单位向量，的夹角为，则•＝（　　）‎ A． B． C． D．1‎ ‎5．若a和b是异面直线，a和c是平行直线，则b和c的位置关系是（　　）‎ A．平行 B．异面 ‎ C．异面或相交 D．相交、平行或异面 ‎6．甲、乙、丙、丁四组人数分布如图所示，根据扇形统计图的情况可以知道丙、丁两组人数和为（　　）‎ A．150 B．‎250 ‎C．300 D．400‎ ‎7．已知复数z满足（z﹣1）i＝1+i，则z＝（　　）‎ A．﹣2﹣i B．﹣2+i C．2+i D．2﹣i ‎8．若长方体所有顶点都在一个球面上，长、宽、高分别是3，2，1，则这个球面的面积为（　　）‎ A．9π B．12π C．14π D．18π ‎9．设，为非零向量，则“|+|＝||+||”是“与共线”的（　　）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 ‎ C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎10．已知△ABC是等腰三角形，AB＝AC＝5，BC＝6，点P在线段AC上运动，则的取值范围是（　　）‎ A．[3，4] B．[，6] C．[6，8] D．[，8]‎ 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．‎ ‎11．设复数z＝1+i，则z的模|z|＝　 　．‎ ‎12．数据19，20，21，23，25，26，27，则这组数据的方差是　 　．‎ ‎13．三棱锥的三条侧棱两两垂直，长分别为1，2，3，则这个三棱锥的体积为　 　．‎ ‎14．已知＝（1，2），＝（2，y），|+|＝|﹣|，则y＝　 　．‎ ‎15．在△ABC中，b＝10，A＝．‎ ‎①若a＝5，则角B大小为　 　；‎ ‎②若角B有两个解，则a的取值范围是　 　．‎ 三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。‎ ‎16．已知复数z＝（m2﹣m）+（m+3）i（m∈R）在复平面内对应点Z．‎ ‎（Ⅰ）若m＝2，求z；‎ ‎（Ⅱ）若点Z在直线y＝x上，求m的值．‎ ‎17．已知三个点A（2，1），B（3，2），D（﹣1，4）．‎ ‎（Ⅰ）求证：AB⊥AD；‎ ‎（Ⅱ）若四边形ABCD为矩形，求点C的坐标及矩形ABCD两对角线所成锐角的余弦值．‎ ‎18．为了解某小区7月用电量情况，通过抽样，获得了100户居民7月用电量（单位：度），将数据按照[50，100），[100，150），…，[300，350]分成六组，制成了如图所示的频率分布直方图．‎ ‎（Ⅰ）求频率分布直方图中x的值；‎ ‎（Ⅱ ‎）已知该小区有1000户居民，估计该小区7月用电量不低于200度的户数，并说明理由；‎ ‎（Ⅲ）估计该小区85%的居民7月用电量的值，并说明理由．‎ ‎19．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点D在线段AC上，且AD＝4DC．‎ ‎（Ⅰ）求BD的长；‎ ‎（Ⅱ）求sin∠BDC的值．‎ ‎20．如图所示，在正方体ABCD﹣A1B‎1C1D1中，AA1＝1．‎ ‎（Ⅰ）求证：BD⊥A‎1C；‎ ‎（Ⅱ）求证：平面BDC1⊥平面A1B‎1C；‎ ‎（Ⅲ）用一张正方形的纸把正方体ABCD﹣A1B‎1C1D1完全包住，不将纸撕开，求所需纸的最小面积．（结果不要求证明）‎ ‎21．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，BC∥平面PAD，BC＝AD，E是PD的中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：BC∥AD；‎ ‎（Ⅱ）求证：CE∥平面PAB；‎ ‎（Ⅲ）若M是线段CE上一动点，则线段AD上是否存在点N，使MN∥平面PAB？说明理由．‎ 参考答案 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．‎ ‎1．复数1+i2＝（　　）‎ A．0 B．‎2 ‎C．2i D．1﹣i ‎【分析】直接利用虚数单位i的运算性质化简求值．‎ 解：∵i2＝﹣1，‎ ‎∴1+i2＝1﹣1＝0．‎ 故选：A．‎ ‎2．在平行四边形ABCD中，＝（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】利用向量平行四边形法则即可得出．‎ 解：由向量平行四边形法则可得：＝，‎ 故选：B．‎ ‎3．某中学高一年级有280人，高二年级有320人，高三年级有400人，为了解学校高中学生视力情况，现用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个容量为50的样本，则高一年级应抽取的人数为（　　）‎ A．14 B．‎16 ‎C．28 D．40‎ ‎【分析】先求出抽取样本的比例是多少，再计算从高一学生中应抽取的人是多少．‎ 解：根据题意，得；‎ 抽取样本的比例是＝，‎ ‎∴从高一学生中应抽取的人数为280×＝14．‎ 故选：A．‎ ‎4．若单位向量，的夹角为，则•＝（　　）‎ A． B． C． D．1‎ ‎【分析】直接利用向量的数量积求解即可．‎ 解：单位向量，的夹角为，则•＝＝．‎ 故选：B．‎ ‎5．若a和b是异面直线，a和c是平行直线，则b和c的位置关系是（　　）‎ A．平行 B．异面 ‎ C．异面或相交 D．相交、平行或异面 ‎【分析】借助正方体模型，找出三条直线a，b，c，符合题意，判断b，c的位置关系．‎ 解：考虑正方体ABCD﹣A'B'C'D'中，直线AB看做直线a，直线B'C'看做直线b，‎ 即直线a和直线b是异面直线，‎ 若直线CD看做直线c，可得a，c平行，则b，c异面；‎ 若直线A'B'看做直线c，可得a，c平行，则b，c相交．‎ 若b，c平行，由a，c平行，可得a，b平行，这与a，b异面矛盾，故b，c不平行．‎ 故选：C．‎ ‎6．甲、乙、丙、丁四组人数分布如图所示，根据扇形统计图的情况可以知道丙、丁两组人数和为（　　）‎ A．150 B．‎250 ‎C．300 D．400‎ ‎【分析】先根据甲组人数及其所占百分比可得总人数，再求出丙、丁两组人数占总人数的百分比，即可得解．‎ 解：∵甲组人数为120人，占总人数的百分比为30%，‎ ‎∴总人数为＝120÷30%＝400人，‎ ‎∵丙、丁两组人数和占总人数的百分比为1﹣30%﹣7.5%＝62.5%‎ ‎∴丙、丁两组人数和为400×62.5%＝250人．‎ 故选：B．‎ ‎7．已知复数z满足（z﹣1）i＝1+i，则z＝（　　）‎ A．﹣2﹣i B．﹣2+i C．2+i D．2﹣i ‎【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．‎ 解：由（z﹣1）i＝1+i，得z﹣1＝，‎ ‎∴z＝2﹣i．‎ 故选：D．‎ ‎8．若长方体所有顶点都在一个球面上，长、宽、高分别是3，2，1，则这个球面的面积为（　　）‎ A．9π B．12π C．14π D．18π ‎【分析】求出长方体的对角线的长度，得到外接球的直径，然后求解外接球的表面积．‎ 解：长方体所有顶点都在一个球面上，长、宽、高分别是3，2，1，‎ 所以长方体的外接球的直径为：＝，‎ 外接球的半径为：．‎ 则这个球面的面积为：4×＝14π．‎ 故选：C．‎ ‎9．设，为非零向量，则“|+|＝||+||”是“与共线”的（　　）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 ‎ C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【分析】结合向量数量积的性质及向量共线的定义即可求解．‎ 解：因为，为非零向量，由|+|＝||+||两边平方可得，＝|||，‎ 故夹角θ＝0，即与共线，‎ 当与共线时，夹角θ＝0或π，此时|+|＝||+||不一定成立．‎ 故选：A．‎ ‎10．已知△ABC是等腰三角形，AB＝AC＝5，BC＝6，点P在线段AC上运动，则的取值范围是（　　）‎ A．[3，4] B．[，6] C．[6，8] D．[，8]‎ ‎【分析】以BC的中点O为坐标原点，BC所在直线为x轴，OA所在直线为y轴建立直角坐标系，分别求得B，C，A的坐标，可得直线AC的方程，设P（m，n），（0≤n≤4），即有m＝3﹣n，再由向量的运算和模的公式，可得n的函数，结合二次函数的最值求法，可得所求范围．‎ 解：以BC的中点O为坐标原点，BC所在直线为x轴，‎ OA所在直线为y轴建立直角坐标系，‎ 可得B（﹣3，0），C（3，0），由|AC|＝5，可得A（0，4），‎ 直线AC的方程为+＝1，即4x+3y＝12，‎ 可设P（m，n），（0≤n≤4），即有m＝3﹣n，‎ 则＝|（﹣3﹣m，﹣n）+（3﹣m，﹣n）|＝|（﹣‎2m，﹣2n）|＝2‎ ‎＝2＝2，‎ 当n＝∈[0，4]，可得的最小值为2×＝；‎ 当n＝4时，可得的最大值为8，‎ 则的取值范围是[，8]．‎ 故选：D．‎ 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．‎ ‎11．设复数z＝1+i，则z的模|z|＝　　．‎ ‎【分析】直接代入模长公式即可．‎ 解：因为复数z＝1+i，则z的模|z|＝＝；‎ 故答案为：．‎ ‎12．数据19，20，21，23，25，26，27，则这组数据的方差是　　．‎ ‎【分析】根据题意，先求出这组数据的平均数，进而由方差计算公式计算可得答案．‎ 解：根据题意，数据19，20，21，23，25，26，27，其平均数＝（19+20+21+23+25+26+27）＝23，‎ 则其方差S2＝[（19﹣23）2+（20﹣23）2+（21﹣23）2+（23﹣23）2+（25﹣23）2+（26﹣23）2+（27﹣23）2]＝；‎ 故答案为：．‎ ‎13．三棱锥的三条侧棱两两垂直，长分别为1，2，3，则这个三棱锥的体积为　1　．‎ ‎【分析】由已知画出图形，再由等体积法求三棱锥的体积．‎ 解：如图，三棱锥P﹣ABC的三条侧棱两两垂直，‎ 不妨设PA＝1，PB＝2，PC＝3．‎ 则，‎ 由PC⊥PA，PC⊥PB，PA∩PB＝P，得PC⊥平面PAB．‎ ‎∴VP﹣ABC＝VC﹣PAB＝．‎ 故答案为：1．‎ ‎14．已知＝（1，2），＝（2，y），|+|＝|﹣|，则y＝　﹣1　．‎ ‎【分析】可以求出，然后根据即可得出9+（y+2）2＝1+（2﹣y）2，解出y即可．‎ 解：，，‎ ‎∵，‎ ‎∴9+（y+2）2＝1+（2﹣y）2，解得y＝﹣1．‎ 故答案为：﹣1．‎ ‎15．在△ABC中，b＝10，A＝．‎ ‎①若a＝5，则角B大小为　　；‎ ‎②若角B有两个解，则a的取值范围是　（5，10）　．‎ ‎【分析】①根据正弦定理带入计算即可；‎ ‎②由正弦定理表示出sinB，根据B的度数确定出B的范围，要使三角形有两解确定出B的具体范围，利用正弦函数的值域求出x的范围即可．‎ 解：①由正弦定理可得sinB＝＝＝1，故B＝；‎ ‎②∵在△ABC中，b＝10，A＝，‎ ‎∴由正弦定理得：sinB＝＝，‎ ‎∵A＝30°，‎ ‎∴0＜B＜150°，‎ 要使三角形有两解，得到30°＜B＜150°，且B≠90°，即＜sinB＜1，‎ ‎∴＜＜1，‎ 解得：5＜a＜10，即：a∈（5，10）．‎ 故答案为：；（5，10）．‎ 三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。‎ ‎16．已知复数z＝（m2﹣m）+（m+3）i（m∈R）在复平面内对应点Z．‎ ‎（Ⅰ）若m＝2，求z；‎ ‎（Ⅱ）若点Z在直线y＝x上，求m的值．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由m求得z，再由求解；‎ ‎（Ⅱ）由题意，可得z的实部与虚部相等，由此可得关于m的方程求解．‎ 解：（Ⅰ）∵m＝2，∴z＝2+5i，‎ 则；‎ ‎（Ⅱ）若点Z在直线y＝x上，则m2﹣m＝m+3，‎ 即m2﹣‎2m﹣3＝0，解得m＝﹣1或m＝3．‎ ‎17．已知三个点A（2，1），B（3，2），D（﹣1，4）．‎ ‎（Ⅰ）求证：AB⊥AD；‎ ‎（Ⅱ）若四边形ABCD为矩形，求点C的坐标及矩形ABCD两对角线所成锐角的余弦值．‎ ‎【分析】（Ⅰ）求出向量的坐标，利用向量的数量积为0，两向量垂直证出两线垂直．‎ ‎（Ⅱ）利用向量相等对应的坐标相等求出点C的坐标，求出两对角线对应的向量坐标，利用向量的数量积公式求出向量的夹角．‎ ‎【解答】（Ⅰ）证明：可得，，，‎ ‎∴AB⊥AD；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）及四边形ABCD为矩形，得，设C（x，y），‎ 则（1，1）＝（x+1，y﹣4），∴，得，即C（0，5）；‎ ‎∴，‎ 得，，‎ 设与夹角为θ，则，‎ ‎∴该矩形对角线所夹的锐角的余弦值．‎ ‎18．为了解某小区7月用电量情况，通过抽样，获得了100户居民7月用电量（单位：度），将数据按照[50，100），[100，150），…，[300，350]分成六组，制成了如图所示的频率分布直方图．‎ ‎（Ⅰ）求频率分布直方图中x的值；‎ ‎（Ⅱ）已知该小区有1000户居民，估计该小区7月用电量不低于200度的户数，并说明理由；‎ ‎（Ⅲ）估计该小区85%的居民7月用电量的值，并说明理由．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由概率统计相关知识，各组频率和为1，列出方程求出x的值；‎ ‎（Ⅱ）由频率分布直方图可得100户居民7月用电量不低于200度的频率为（0.0044+0.0024+0.0012）×50＝0.4，由此得解．‎ ‎（Ⅲ）由频率分布直方图可得85%分位数一定位于区间（250.300）内，由此得解．‎ 解：（Ⅰ）由频率分布直方图可得：（0.0024+0.0036+0.0060+x+0.0024+0.0012）×50＝1，‎ 解得：x＝0.0044．‎ ‎（Ⅱ）由频率分布直方图可得，100户居民7月用电量不低于200度的频率为（0.0044+0.0024+0.0012）×50＝0.4，‎ 由此可以估计该小区有1000户居民7月用电量不低于200度的户数为1000×0.4＝400．‎ ‎（Ⅲ）由频率分布直方图可得，7月用电量低于250度的频率为0.82，7月用电量低于300度的频率为0.94，‎ 所以85%分位数一定位于区间（250.300）内，‎ 由250+50×＝262.5．‎ 由此估计该小区85%的居民7月用电量约为262.5度．‎ ‎19．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点D在线段AC上，且AD＝4DC．‎ ‎（Ⅰ）求BD的长；‎ ‎（Ⅱ）求sin∠BDC的值．‎ ‎【分析】（I）由已知可求AC，cosA，然后结合余弦定理可求BD，‎ ‎（II）由已知结合正弦定理即可求解．‎ 解：（I）因为∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，‎ 所以AC＝5，cosA＝，‎ 又点D在线段AC上，且AD＝4DC，‎ 所以AD＝4，△ABD 中，由余弦定理可得，BD2＝AB2+AD2﹣2AB•AD•cosA，‎ ‎＝＝，‎ 所以BD＝；‎ ‎（II）因为sinC＝cosA＝，‎ ‎△BCD中，由正弦定理可得，，‎ 所以sin∠BDC＝＝‎ ‎20．如图所示，在正方体ABCD﹣A1B‎1C1D1中，AA1＝1．‎ ‎（Ⅰ）求证：BD⊥A‎1C；‎ ‎（Ⅱ）求证：平面BDC1⊥平面A1B‎1C；‎ ‎（Ⅲ）用一张正方形的纸把正方体ABCD﹣A1B‎1C1D1完全包住，不将纸撕开，求所需纸的最小面积．（结果不要求证明）‎ ‎【分析】（Ⅰ）连结AC，推导出AC⊥BD，BD⊥AA1，从而BD⊥平面A‎1AC，由此能证明BD⊥A‎1C．‎ ‎（Ⅱ）推导出BC1⊥B‎1C，A1B1⊥BC1，由此能证明BC1⊥平面A1B‎1C，从而平面BDC1⊥平面A1B‎1C；‎ ‎（Ⅲ）所需纸的最小面积为8．‎ 解：（Ⅰ）证明：连结AC，在正方体ABCD﹣A1B‎1C1D1中，‎ ‎∵底面ABCD是正方形，∴AC⊥BD，‎ ‎∵AA1⊥平面ABCD，∴BD⊥AA1，‎ ‎∵AA1∩AC＝A，∴BD⊥平面A‎1AC，‎ ‎∵A‎1C⊂平面A‎1AC，∴BD⊥A‎1C．‎ ‎（Ⅱ）证明：∵侧面BCC1B1是正方形，∴BC1⊥B‎1C，‎ ‎∵A1B1⊥平面BCC1B1，∴A1B1⊥BC1，‎ ‎∵A1B1∩B‎1C＝B1，∴BC1⊥平面A1B‎1C，‎ ‎∵BC1⊂平面BDC1，∴平面BDC1⊥平面A1B‎1C；‎ ‎（Ⅲ）用一张正方形的纸把正方体ABCD﹣A1B‎1C1D1完全包住，‎ 不将纸撕开，所需纸的最小面积为8．‎ ‎21．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，BC∥平面PAD，BC＝AD，E是PD的中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：BC∥AD；‎ ‎（Ⅱ）求证：CE∥平面PAB；‎ ‎（Ⅲ）若M是线段CE上一动点，则线段AD上是否存在点N，使MN∥平面PAB？说明理由．‎ ‎【分析】（Ⅰ）根据线面平行的性质定理即可证明；‎ ‎（Ⅱ）取PA的中点F，连接EF，BF，利用中位线的性质，平行四边形的性质，以及线面平行的判断定理即可证明；‎ ‎（Ⅲ）取AD中点N，连接CN，EN，根据线面平行的性质定理和判断定理即可证明．‎ ‎【解答】证明：（Ⅰ）在四棱锥P﹣ABCD中，BC∥平面PAD，BC⊂平面ABCD，‎ 平面ABCD∩平面PAD＝AD，‎ ‎∴BC∥AD，‎ ‎（Ⅱ）取PA的中点F，连接EF，BF，‎ ‎∵E是PD的中点，‎ ‎∴EF∥AD，EF＝AD，‎ 又由（Ⅰ）可得BC∥AD，BC＝AD，‎ ‎∴BC∥EF，BC＝EF，‎ ‎∴四边形BCEF是平行四边形，‎ ‎∴CE∥BF，‎ ‎∵CE⊄平面PAB，BF⊂平面PAB，‎ ‎∴CE∥平面PAB．‎ ‎（Ⅲ）取AD中点N，连接CN，EN，‎ ‎∵E，N分别为PD，AD的中点，‎ ‎∴EN∥PA，‎ ‎∵EN⊄平面PAB，PA⊂平面PAB，‎ ‎∴EN∥平面PAB，‎ 又由（Ⅱ）可得CE∥平面PAB，CE∩EN＝E，‎ ‎∴平面CEN∥平面PAB，‎ ‎∵M是CE上的动点，AN⊂平面CEN，‎ ‎∴MN∥平面PAB，‎ ‎∴线段AD存在点N，使得MN∥平面PAB．‎