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- 2021-10-27 发布
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初二数学下
第三章 图形的平移与旋转
一. 开心一刻
老虎害怕的那种动物:
“孩子们,我们早已知道老虎是原始林中之王,林中的动物都怕它。但是,老虎是不是也害怕什么动物呢?贝比克,老虎害怕的那种动物叫什么名称?”贝比克毫不犹豫地回答说:“老师,它叫母老虎!”
二. 大脑扫描
1、 平移的定义:_________________________________________________________________
________________________________________________________________。
2、 平移的特点:(1)_____________________________________________________。
(2)_____________________________________________________。
3、 平移的性质:(1)_____________________________________________________。
(2)_____________________________________________________。
(3)_____________________________________________________。
4、 平移作图步骤:(1)___________________________________________________。
(2)___________________________________________________。
(3)___________________________________________________。
(4)___________________________________________________。
5、 旋转的定义:________________________________________________________________
_______________________________________________________________。
6、 旋转的特点:(1)____________________________________________________。
(2)____________________________________________________。
7、 旋转角:___________________________________________________________________。
8、 旋转中心:_________________________________________________________________。
9、 旋转的特点:(1)__________________________________________________。
(2)__________________________________________________。
10、 旋转的性质:(1)_________________________________________________。
(2)_________________________________________________。
(3)_________________________________________________。
(4)_________________________________________________。
11、 旋转作图步骤:(1)______________________________________________。
(2)______________________________________________。
(3)______________________________________________。
(4)______________________________________________。
20
三. 知识刷新
知识点一:图形的平移概念与性质
例1:下列运动属于平移的是( )
A. 在冷水加热过程中,小气泡升为大气泡
B. 急刹车时,汽车在地面上的滑
C. 随手抛出的彩球运动
D. 随风飘动的风筝在空中的运动
例2:(1)将线段AB向右平移得到线段CD,如果AB=,则CD=_______。
(2)将向上平移得到?如果,则=____BF=______。
(3)将面积为的等腰直角三角形ABC向下平移,得到,则是__________三角形,它的面积是_________。
例3:如图,有一副宽为,长为的矩形图案,在矩形中镶嵌了两横两竖的彩条,横、竖彩条的宽度比为3:2,求剩余部分的面积。设每天横彩条的宽为,则每条竖彩条的宽为,剩余部分的面积为______________。(用含的代数式表示)
例4:如图,在的边BC上取两点D,E,且使BD=CE。试运用三角形三边间的关系和平移的知识找出AB+AC与AD+AE之间的长度关系,并说明理由。
例5:
20
如图,矩形ABCD中,AB=6,第1次平移将矩形ABCD沿AB的方向向右平移5个单位,得到矩形A1B1C1D1,第2次平移将矩形A1B1C1D1沿A1B1的方向向右平移5个单位,得到矩形A2B2C2D2…,第n次平移将矩形An-1Bn-1Cn-1Dn-1沿An-1Bn-1的方向平移5个单位,得到矩形(>2)。
(1)求AB1和AB2的长。
(2)若的长为56,求n。
挑战自我,勇攀高分
1、(1)如果小狗向左移动了50米,那么拖着的箱子向( )方向移动。移动了( )距离。
(2)如果小狗向右跑了80cm,那么箱子向 移动了 。
2、如图,所示,Rt△A′B′C′是△ABC向右平移3cm所得,已知∠B=60°,
B′C=5cm,则∠C′=_____________,B′C′=_____________cm。
3、 如图,矩形ABCD的对角线AC=10,BC=8,则图中五个小矩形的周长之和为?
4、
20
如图,将周长为8的△ABC沿BC方向平移1个单位得到△DEF,则四边形ABFD的周长为多少?
4、 如图,有a、b、c三户家用电路接入电表,相邻电路的电线等距排列,则三户所用电线( )。
A、户最长 B、户最长 C、户最长 D、三户一样长
5、 如图的图形中只能用其中一部分平移可以得到的是( )
A、 B、 C、 D、
6、如图,一块砖的外侧面积为x,那么图中残留部分墙面的面积为( )
A、 B、 C、 D、
7、
20
小伟遇到这样一个问题,如图1,在梯形ABCD中,AD∥BC,对角线AC,BD相交于点O.若梯形ABCD的面积为1,试求以AC,BD,AD+BC的长度为三边长的三角形的面积。
小伟是这样思考的:要想解决这个问题,首先应想办法移动这些分散的线段,构造一个三角形,再计算其面积即可.他先后尝试了翻折,旋转,平移的方法,发现通过平移可以解决这个问题.他的方法是过点D作AC的平行线交BC的延长线于点E,得到的△BDE即是以AC,BD,AD+BC的长度为三边长的三角形(如图2).
参考小伟同学的思考问题的方法,解决下列问题:
如图3,△ABC的三条中线分别为AD,BE,CF.
(1)在图3中利用图形变换画出并指明以AD,BE,CF的长度为三边长的一个三角形(保留画图痕迹);
(2)若△ABC的面积为1,则以AD,BE,CF的长度为三边长的三角形的面积等于多少?
知识点二:平移作图
例1:如图,已知线段AB和端点A平移到位置C,作出线段AB平移后的图形。
作法:连结AC,再过点B作线段BD,使BD满足__________且___________,连线CD,则CD为所作的图形。
作图:过C点作线段CD使CD满足_________且__________,那么CD为所作的图形。
例2:如右图,经过平移,相交线段AB,CD的交点O移到了,你能作出相交线段AB、CD平移后的图形吗?
20
例4:如图,是平移后的图形,F是C的对应点,作出。
,
挑战自我,勇攀高分
1、 如右图,正方形ABCD的对角线交点O移到了的位置,你能作出此正方形平移后的图形。
2、汽车在笔直的公路上行驶,我们可以把它看成是汽车沿着公路的方向移动了一定的距离,这既是平移,想一想,如果汽车在盘山公路上行驶,这也是数学上的平移吗?为什么?
3、如图,经过平移五角星的顶点A遇到了B,作出平移后的图形。
知识点三:旋转的概念与性质
例1如图所示, AEF可以看做是 ABC绕其顶点A旋转角得到的,那么旋转中心是____________,旋转角是______________。
20
例2:如图,的∠BAC=120º,以BC为边向形外作等边,把 绕着D点按顺时针方向旋转60º后到的位置。若,求∠BAD的度数和AD的长。
例3:.钟表的分针匀速旋转一周需要60分钟,那么:
(1)它的旋转中心是什么?
(2)分针旋转一周,时针旋转多少度?
(3)下午3点半时,时针和分针的夹角是多少度?
例4:有两张完全重合的矩形纸片,小亮同学将其中一张绕点A顺时针旋转90°后得到矩形AMEF(如图甲),连结BD、MF,若此时他测得BD=8cm,∠ADB=30°.
⑴试探究线段BD与线段MF的关系,并简要说明理由;
⑵小红同学用剪刀将△BCD与△MEF剪去,与小亮同学继续探究.他们将△ABD绕点A顺时针旋转得△AB1D1,AD1交FM于点K(如图乙),设旋转角为β(0°<β< 90°), 当△AFK为等腰三角形时,请直接写出旋转角β的度数。
20
例5:已知:正方形ABCD中,∠MAN=45°,∠MAN绕点A顺时针旋转,它的两边分别交CB,DC(或它们的延长线)于点M,N.当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时(如图1),易证BM+DN=MN。
(1)当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时(如图2),线段BM,DN和MN之间有怎样的数量关系?写出猜想,并加以证明。
M
B
C
N
图3
A
D
(2)当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时,线段BM,DN和MN之间又有怎样的数量关系?并说明理由。
B
C
N
M
图2
A
D
B
C
N
M
图1
A
D
例6:、如图,P是等边三角形ABC内的一点,连结PA、PB、PC,以BP为边作∠PBQ=60°,且BQ=BP,连结CQ。
(1)观察并猜想AP与CQ之间的大小关系,并证明你的结论。
(2)若PA:PB:PC=3:4:5,连结PQ,试判断△PQC的形状,并说明理由。
20
例7:如图,将含角的直角三角板()绕其直角顶点逆时针旋转解(),得到,与相交于点,过点作交于点,连结.设,的面积为,的面积为。
(1)求证:是直角三角形;
(2)试求用表示的函数关系式,并写出的取值范围;
(3)以点为圆心,为半径作,
①当直线与相切时,试探求与之间的关系;
②当时,试判断直线与的位置关系,并说明理由。
B
第28题图
A
E
N
M
C
D
挑战自我,勇攀高分
1、 在钟表10:10分,时针和分针的夹角是多少度?
20
2、如图所示:正方形ABCD中E为BC的中点,将面ABE旋转后得到△CBF。
(1)指出旋转中心及旋转角度.
(2)判断AE与CF的位置关系.
(3)如果正方形的面积为18cm2,△BCF的面积为4cm2,问四边形AECD的面积是多少?
3、如图,E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上一点,且BE+DF=EF,求∠EAF
4、将三角板绕点P旋转,三角板的两直角边分别交射线AC、CB于D、E两点.图①、②、③是旋转三角板得到的图形中的3种情况.研究:
(1)三角板绕点P旋转,观察线段PD和PE之间有什么数量关系?并结合图②加以证明。
(2)三角板绕点P旋转,△PBE能否为等腰三角形?若能,指出所有情况(即写出△PBE为等腰三角形时CE的长);若不能,请说明理由。
5、已知如图1,点P是正方形ABCD的BC边上一动点,AP交对角线BD于点E,过点B作BQ⊥AP于G点,交对角线AC于F,交边CD于Q点。
(1)小聪在研究图形时发现图中除等腰直角三角形外,还有几对三角形全等.请你写出其中三对全等三角形,并选择其中一对全等三角形证明。
(2)小明在研究过程中连结PE,提出猜想:在点P运动过程中,是否存在∠APB=∠CPF?若存在,点P应满足何条件?并说明理由;若不存在,为什么?
20
第26题图
图1
图2
知识点四:旋转作图
例1:方格纸中作旋转图形如下图,在方格纸上作出“小旗子”绕O点按顺时针方向旋转90°后的图案,并简述理由。
这面小旗子是结构简单的平面图形,在方格纸上大家能画出它绕点旋转后的图形,那么在没有方格纸或旋转角不是特殊角的情况下,能否也画出简单平面图形旋转后的图形呢?
例2:例1:将A点绕O点沿顺时针方向旋转60˚。
:.
例3:将线段AB绕O点沿顺时针方向旋转60˚。
20
例4:如图,△ABC绕O点旋转后,顶点A的对应点为点D,试确定顶点B、C对应点的位置,以及旋转后的三角形。
挑战自我,勇攀高分
1、在下图中,将大写字母N绕它右下侧的顶点按顺时针方向旋转90°,作出旋转后的图案。
2、画出一个正三角形绕它的一个顶点按逆时针方向旋转,分别作出旋转下列角度后的图形。
(1)30° (2) 60° (3)90° (4)120°
3、如图,将三角形做以下变化:向右平移三个单位后再绕点O顺时针旋转90°,请你作出变化后的图形。
20
四. 中考体验
一、 选择题
1、 在方格纸中,将图中的三角形甲平移到图中所示的位置,与三角形乙拼成一个矩形,那么下面的平移方法中,正确的是( )
A. 先向下平移3格,再向右平移1格
B.先向下平移2格,再向右平移1格
C.先向下平移2格,再向右平移2格
D.先向下平移3格,再向右平移2格
2、 将如图所示的图案通过平移后可以得到的图案是( )
A. B. C. D.
3、 如图,由“基本图案”正方形ABCD绕O点顺时针旋转后的图形是( )
20
A. B. C. D.
4、如图,△A′B′C′是由△ABC经过变换得到的,则这个变换过程是。
(A)平移 (B)轴对称 (C)旋转 (D)平移后再轴对称
5、将正方体骰子(相对面上的点数分别为1和6、2和5、3和4)放置于水平桌面上,如图①.在图 ② 中,将骰子向右翻滚90 ,然后在桌面上按逆时针方向旋转,则完成一次变换.若骰子的初始位置为图①所示的状态,那么按上述规则连续完成10次变换后,骰子朝上一面的点数是( )
A.6 B.5 C.3 D.2
二、填空题
6、钟表分针的运动可看做是一种旋转现象,一只标准时钟的分针匀速旋转,经过15分针旋转了_________度。
7、如图,三角板ABC的两直角边AC,BC的长分别是40cm和30cm,点G在斜边AB上,且BG=30cm,将这个三角板以G为中心按逆时针旋转90°,至△A′B′
20
C的位置,那么旋转后两个三角板重叠部分(四边形EFGD)的面积为______。
8、已知以下四个汽车标志图案:
其中是轴对称图形的是_________(只需填入图案代号)。
9、如图,菱形ABCD中,AB=2,,菱形ABCD在直线上向右作无滑动的翻滚,每绕着一个顶点旋转叫做一次操作,则经过36次这样的操作菱形中心O所经过的路径总长为___________(结果保留)。
三、 解答题
20
1、 如图,在所给网格中完成下列各题:
(1) 画出图1关于直线MN对称的图2;
(2) 从平移的角度看,图2是由图1向_________平移________个单位得到的;
(3) 画出图1绕着点P逆时针方向旋转后的图3。
2、 如图,在△ABC和△ADE中,点E在BC边上,∠BAC=∠DAE,∠B=∠D,AB=AD.
(1)求证:△ABC≌△ADE;
(2)如果∠AEC=75°,将△ADE绕着点A旋转一个锐角后与△ABC重合,求这个旋转角的大小。
五. 竞赛体验
1、 如图,边长为3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30后得到正方形EFCG,EF交AD于H,那么DH的长为________。
2、 如图,P是等边内部一点,、、的大小之比是5:6:7,则以PA、PB、PC为边的三角形的三个角的大小(从小到大)之比是( )
20
六. 家庭作业
一、选择题
1 H
A D
E O G
B C
F
、如图,所给的图案由ΔABC绕点O顺时针
旋转( )前后的图形组成的。
A. 450、900、1350
B. 900、1350、1800
C.450、900、1350、1800、2250
D.450、1350、2250、2700.
2、将如图所示的Rt△ABC绕直角边BC旋转一周,所得几何体的左视图是( )
D
A
B
C
C
B
A
图1
3、如图,边长为1的菱形ABCD绕点A旋转,当B、C两点恰好落在扇形AEF的弧EF上时,弧BC的长度等于( )
A、 B、 C、 D、
4、如图,线段AB=CD,AB与CD相交于点O,且,CE由AB平移所得,则AC+BD与AB的大小关系是:( )
A、 B、 C、 D、无法确定
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5、如图,边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转到正方形,则图中阴影部分面积为( )
A、 B、 C、 D、
二、填空题
6、如图,将边长为(n=1,2,3…)的正方形纸片从左到右顺序摆放,其对应的正方形的中心依次为A、A、A…..。①若摆放前6个正方形纸片,则图中被遮盖的线段(虚线部分)之和为__________;②若摆放前n个(n为大于1的正整数)个正方形纸片,则图中被遮盖的线段(虚线部分)之和为________。
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三、解答题
7、如图,正方形网格中,△ABC为格点三角形(顶点都是格点),将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到。
(1)在正方形网格中,作出;(不要求写作法)
B
C
A
(2)设网格小正方形的边长为1cm,用阴影表示出旋转过程中线段BC所扫过的图形,然后求出它的面积。(结果保留)
8、BC与水平方向夹角为450,四边形BCDE是等腰梯形时,CD=EF=AB=BC=40cm,
(1)请作出小明将圆盘从A点滚动至F点其圆心所经过的路线示意图
(2)求出(1)中所作路线的长度。
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七. 反思总结
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________。
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