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- 2021-10-27 发布
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第十八章 平行四边形
导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结
18.2.2 菱 形
第2课时 菱形的判定
学习目标
1.经历菱形判定定理的探究过程,掌握菱形的判
定定理.(重点)
2.会用这些菱形的判定方法进行有关的证明和计算.
(难点)
一组邻边相等
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
平行四边形
菱
形
的
性
质
菱形
两组对边平行
四条边相等
两组对角分别相等
邻角互补
两条对角线互相垂直平分
每一条对角线平分一组对角
边
角
对角线
复习引入
导入新课
问题 菱形的定义是什么?性质有哪些?
根据菱形的定义,可得菱形的第一个判定的方法:
AB=AD,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴四边形ABCD是菱形.
数学语言
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
A
B
C
D
思考 还有其他的判定方法吗?
讲授新课
对角线互相垂直的平行四边形是菱形一
前面我们用一长一短两根细木条,在它们的中点处固
定一个小钉,做成一个可以转动的十字,四周围上一根
橡皮筋,做成一个平行四边形.那么转动木条,这个平行
四边形什么时候变成菱形?对此你有什么猜想?
猜想:对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
你能证明这
一猜想吗?
A
B
C
O
D
已知:如图,四边形ABCD是平行四边形,对角线AC
与BD相交于点O ,AC⊥BD.
求证:□ABCD是菱形.
证明: ∵四边形ABCD是平行四边形.
∴OA=OC.
又∵AC⊥BD,
∴BD是线段AC的垂直平分线.
∴BA=BC.
∴四边形ABCD是菱形(菱形的定义).
证一证
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
AC⊥BD
几何语言描述:
∵在□ABCD中,AC⊥BD,
∴ □ABCD是菱形.
A
B C
D
菱形ABCD
A
B C
D
□ABCD
菱形的判定定理:
归纳总结
例1 如图, ABCD的两条对角线AC、BD相交于
点O,AB=5,AO=4,BO=3.
求证:四边形ABCD是菱形.
A
B
C
D
O
又∵四边形ABCD是平行四边形,
∵ OA=4,OB=3,AB=5,证明:
即AC⊥BD,
∴ AB2=OA2+OB2,
∴△AOB是直角三角形,
典例精析
∴四边形ABCD是菱形.
例2 如图,矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边
AD、BC分别交于点E、F,求证:四边形AFCE是菱
形.
A
B C
DE
F
O
1
2
证明: ∵四边形ABCD是矩形,
∴AE∥FC,∴∠1=∠2.
∵EF垂直平分AC,
∴AO = OC .
又∠AOE =∠COF,
∴△AOE≌△COF,∴EO =FO.
∴四边形AFCE是平行四边形.
又∵EF⊥AC
∴ 四边形AFCE是菱形.
练一练
在四边形ABCD中,对角线AC,BD互相平分,若
添加一个条件使得四边形ABCD是菱形,则这个条
件可以是 ( )
A.∠ABC=90°
B.AC⊥BD
C.AB=CD
D.AB∥CD
B
四条边相等的四边形是菱形二
小刚:分别以A、C为圆心,以
大于 AC的长为半径作弧,两条
弧分别相交于点B , D,依次连接
A、B、C、D四点.
已知线段AC,你能用尺规作图的方法作一个菱形
ABCD,使AC为菱形的一条对角线吗?
CA
B
D
想一想:根据小刚的作法你有什么猜想?你能验证
小刚的作法对吗?
1
2
猜想:四条边相等的四边形是菱形.
证明:∵AB=BC=CD=AD;
∴AB=CD , BC=AD.
∴四边形ABCD是平行四边形.
又∵AB=BC,
∴四边形ABCD是菱形.
A
B
C
D
已知:如图,四边形ABCD中,AB=BC=CD=AD.
求证:四边形ABCD是菱形.
证一证
四条边都相等的四边形是菱形
AB=BC=CD=AD
几何语言描述:
∵在四边形ABCD中,AB=BC=CD=AD,
∴四边形 ABCD是菱形.
A
B C
D
菱形ABCD
菱形的判定定理:
归纳总结
四边形ABCD
A
B C
D
下列命题中正确的是 ( )
A.一组邻边相等的四边形是菱形
B.三条边相等的四边形是菱形
C.四条边相等的四边形是菱形
D.四个角相等的四边形是菱形
C
练一练
证明: ∵ ∠1= ∠2,
又∵AE=AC,AD=AD,
∴ △ACD≌ △AED (SAS).
同理△ACF≌ △AEF(SAS) .
∴CD=ED, CF=EF.
又∵EF=ED,∴CD=ED=CF=EF,
∴四边形ABCD是菱形.
2
例3 如图,在△ABC中, AD是角平分线,点E、F分别在
AB、 AD上,且AE=AC,EF = ED.
求证:四边形CDEF是菱形.
A
C B
E
D
F
1
典例精析
例4 如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=6cm,
BC=8cm.将△ABC沿射线BC方向平移10cm,得到
△DEF,A,B,C的对应点分别是D,E,F,连接
AD.求证:四边形ACFD是菱形.
证明:由平移变换的性质得CF=AD=10cm,DF=
AC.
∵∠B=90°,AB=6cm,BC=8cm,
∴AC=DF=AD=CF=10cm,
∴四边形ACFD是菱形.
2 2 2 26 8 10 cm .AC AB BC
四边形的条件中存在多个关于边的等量关系
时,运用四条边都相等来判定一个四边形是菱形比较
方便.
归纳
H
G
F
E D
CB
A证明:连接AC、BD.
∵四边形ABCD是矩形,
∴AC=BD.
∵点E、F、G、H为各边中点,
1 1 ,2 2EF GH BD FG EH AC ,
∴EF=FG=GH=HE,
∴四边形EFGH是菱形.
例5 如图,顺次连接矩形ABCD各边中点,得到四
边形EFGH,求证:四边形EFGH是菱形.
C
A
B
D
E
F
G
H
【变式题】 如图,顺次连接对角线相等的四边形
ABCD各边中点,得到四边形EFGH是什么四边形?
解:四边形EFGH是菱形.
又∵AC=BD,
∵点E、F、G、H为各边中点,
1 1 .2 2EF GH BD FG EH AC ,
∴EF=FG=GH=HE,
∴四边形EFGH是菱形.
顺次连接对角线相等的四边形的各边中点,得
到四边形是菱形.
归纳
理由如下:连接AC、BD
A
B
C
D
E
F
G
H
拓展1 如图,顺次连接平行四边形ABCD各边中点,得
到四边形EFGH是什么四边形?
解:连接AC、BD.
∵点E、F、G、H为各边中点,
1 1 ,2 2EF GH BD FG EH AC ,
∴四边形EFGH是平行四边形.
拓展2 如图,若四边形ABCD是菱形,顺次连接菱形
ABCD各边中点,得到四边形EFGH是什么四边形?
四边形EFGH是矩形. 同学们自己
去解答吧
思考 在学平行四边形的时候我们知道把两张等宽
的纸条交叉重叠在一起得到的四边形是平行四边形,
你能进一步判断重叠部分ABCD的形状吗?
A
C
D
B
分析:易知四边形ABCD是平行四边形,只需证
一组邻边相等或对角线互相垂直即可.
由题意可知BC边上的高和CD边上的高相等,
然后通过证△ABE≌ △ADF,即得AB=AD.
请补充完整的
证明过程
E
F
例3 如图,在△ABC中,D、E分别是AB、AC的中点,
BE=2DE,延长DE到点F,使得EF=BE,连接CF.
(1)求证:四边形BCFE是菱形;
(1)证明:∵D、E分别是AB、AC的中点,
∴DE∥BC且2DE=BC.
又∵BE=2DE,EF=BE,
∴EF=BC,EF∥BC,
∴四边形BCFE是平行四边形.
又∵EF=BE,
∴四边形BCFE是菱形;
菱形的性质与判定的综合运用三
(2)解:∵∠BCF=120°,
∴∠EBC=60°,
∴△EBC是等边三角形,
∴菱形的边长为4,高为 ,
∴菱形的面积为 .
2 3
4 2 3 8 3
(2)若CE=4,∠BCF=120°,求菱形BCFE的面积.
判定一个四边形是菱形时,要结合条件灵活选
择方法.如果可以证明四条边相等,可直接证出菱形;
如果只能证出一组邻边相等或对角线互相垂直,可以
先尝试证出这个四边形是平行四边形.
归纳
练一练
如图,在平行四边形ABCD中,AC平分∠DAB,
AB=2,求平行四边形ABCD的周长.
解:∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AD∥BC,AB∥CD,
∴∠DAC=∠ACB,∠BAC=∠ACD,
∵AC平分∠DAB,
∴∠DAC=∠BAC,
∴∠DAC=∠ACD,
∴AD=DC,
∴四边形ABCD为菱形,
∴四边形ABCD的周长=4×2=8.
当堂练习
1.判断下列说法是否正确
(1)对角线互相垂直的四边形是菱形;
(2)对角线互相垂直且平分的四边形是菱形;
(3)对角线互相垂直,且有一组邻边相等的
四边形是菱形;
(4)两条邻边相等,且一条对角线平分一组
对角的四边形是菱形.
√
╳
╳
╳
2.一边长为5cm平行四边形的两条对角线的长分别为
24cm和26cm,那么平行四边形的面积是 . 312cm2
3.如图,将△ABC沿BC方向平移得到△DCE,连接AD,
下列条件能够判定四边形ACED为菱形的是( )
A.AB=BC B.AC=BC
C.∠B=60° D.∠ACB=60°
B
解析:∵将△ABC沿BC方向平移得到△DCE,
∴AC∥DE,AC=DE,
∴四边形ABED为平行四边形.
当AC=BC时,
平行四边形ACED是菱形.
故选B.
A
B C
D
O E
4.如图,矩形ABCD的对角线相交于点O,DE∥AC,
CE ∥BD.求证:四边形OCED是菱形.
证明:∵DE∥AC,CE∥BD,
∴四边形OCED是平行四边形.
∵四边形ABCD是矩形,
∴OC=OD,
∴四边形OCED是菱形.
证明:∵MN是AC的垂直平分线,
∴AE=CE,AD=CD,OA=OC,
∠AOD=∠EOC=90°.
∵CE∥AB,
∴∠DAO=∠ECO,
∴△ADO≌ △CEO(ASA).
∴AD=CE,OD=OE,
∵OD=OE,OA=OC,
∴四边形ADCE是平行四边形
又∵∠AOD=90°,∴四边形ADCE是菱形.
5.如图,△ABC中,AC的垂直平分线MN交AB于
点D,交AC于点O,CE∥AB交MN于点E,连接
AE、CD.求证:四边形ADCE是菱形.
B C
A
D
O E
M
(1)证明:由尺规作∠BAF的平分线的过程可得
AB=AF,∠BAE=∠FAE,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,∴∠FAE=∠AEB,
∴∠BAE=∠AEB,∴AB=BE,
∴BE=FA,∴四边形ABEF为平行四边形,
∵AB=AF,
∴四边形ABEF为菱形;
6.如图,在平行四边形ABCD中,用直尺和圆规作∠BAD的
平分线交BC于点E,连接EF.
(1)求证:四边形ABEF为菱形;
(2)AE,BF相交于点O,若BF=6,AB=5,求AE的长.
(2)AE,BF相交于点O,若BF=6,AB=5,求AE的
长.
解:∵四边形ABEF为菱形,
∴AE⊥BF,BO= FB=3,AE=2AO,
在Rt△AOB中,由勾股定理得AO =4,
∴AE=2AO=8.
1
2
课堂小结
有一组邻边相等的平行四边
形是菱形.
对角线互相垂直的平行四边形
是菱形.
四边相等的四边形是菱形.
运用定理进行计算和证明
菱形的
判定
定义法
判定
定理