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- 2021-10-27 发布
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18.2 特殊的平行四边形
18.2.1 矩 形
第1课时 矩形的性质
[来源:学科网ZXXK]
[来源:学。科。网Z。X。X。K]
1.理解并掌握矩形的性质定理及推论;(重点)
2.会用矩形的性质定理及推论进行推导证明;(重点)
3.会综合运用矩形的性质定理、推论以及特殊三角形的性质进行证明与计算.(难点)
一、情境导入
如图,用四段木条做一个平行四边形的活动木框,将其直立在地面上轻轻地推动点D,你会发现什么?
可以发现,角的大小改变了,但不管如何,它仍然保持平行四边形的形状.
我们若改变平行四边形的内角,使其一个内角恰好为直角,就得到一种特殊的平行四边形,也就是我们早已熟悉的长方形,即矩形,如图所示.
二、合作探究[来源:学科网ZXXK]
探究点一:矩形的性质
【类型一】 运用矩形的性质求线段或角
在矩形ABCD中,O是BC的中点,∠AOD=90°,矩形ABCD的周长为24cm,则AB长为( )
A.1cm B.2cm C.2.5cm D.4cm
解析:在矩形ABCD中,O是BC的中点,∠AOD=90°.根据矩形的性质得到△ABO≌△OCD,则OA=OD,∠DAO=45°,所以∠BOA=∠BAO=45°,即BC=2AB.由矩形ABCD的周长为24cm,得2AB+4AB=24cm,解得AB=4cm.故选D.
方法总结:解题时矩形具有平行四边形的性质,又具有自己的特性,要注意运用矩形具备而一般平行四边形不具备的性质.
【类型二】 运用矩形的性质解决有关面积问题
如图,矩形ABCD的对角线的交点为O,EF过点O且分别交AB,CD于点E,F,则图中阴影部分的面积是矩形ABCD的面积的( )
A. B. C. D.
解析:∵在矩形ABCD中,AB∥CD,OB=OD,∴∠ABO=∠CDO.在△BOE和
△DOF中,∴△BOE≌△DOF(ASA),∴S△BOE=S△DOF,∴S阴影=S△AOB=S矩形ABCD.故选B.
方法总结:运用矩形的性质,通过证明全等三角形进行转化,将求不规则图形的面积转化为求简单图形面积是解题的关键.
【类型三】 运用矩形的性质证明线段相等
如图,在矩形ABCD中,以顶点B为圆心、边BC长为半径作弧,交AD边于点E,连接BE,过C点作CF⊥BE于F.求证:BF=AE.
解析:利用矩形的性质得出AD∥BC,∠A=90°,再利用全等三角形的判定得出△BFC≌△EAB,进而得出答案.
证明:在矩形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,∴∠AEB=∠FBC.∵CF⊥BE,∴∠BFC=∠A=90°.由作图可知,BC=BE.在△BFC和△EAB中,∴△BFC≌△EAB(AAS),∴BF=AE.
方法总结:涉及与矩形性质有关的线段的证明,可运用题设条件结合三角形全等进行证明,一般是将两条线段转化到一对全等三角形中进行证明.
【类型四】 运用矩形的性质证明角相等
如图,在矩形ABCD中,E、F分别是边BC、AB上的点,且EF=ED,EF⊥ED.求证:AE平分∠BAD.
解析:要证AE平分∠BAD,可转化为△ABE为等腰直角三角形,得AB=BE.又AB=CD,再将它们分别转化为两全等三角形的两对应边,根据全等三角形的判定和矩形的性质,即可求证.
证明:∵四边形ABCD是矩形,∴∠B=∠C=∠BAD=90°,AB=CD,∴∠BEF+∠BFE=90°.∵EF⊥ED,∴∠BEF+∠CED=90°.∴∠BFE=∠CED,∴∠BEF=∠EDC.在△EBF与△DCE中,∴△EBF≌△DCE(ASA).∴BE=CD.∴BE=AB,∴∠BAE=∠BEA=45°,∴∠EAD=45°,∴∠BAE=∠EAD,∴AE平分∠BAD.
方法总结:矩形的问题可以转化到直角三角形或等腰三角形中去解决.
探究点二:直角三角形斜边上的中线的性质
如图,在△ABC中,AD是高,E、F分别是AB、AC的中点.
(1)若AB=10,AC=8,求四边形AEDF的周长;
(2)求证:EF垂直平分AD.
解析:(1)根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得DE=AE=AB,DF=AF=AC,再根据四边形的周长的公式计算即可得解;(2)根据“到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上”证明即可.
(1)解:∵AD是△ABC的高,E、F分别是AB、AC的中点,∴DE=AE=AB=×10=5,DF=AF=AC=×8=4,∴四边形AEDF的周长=AE+DE+DF+AF=5+5+4+4=18;[来源:学科网]
(2)证明:∵DE=AE,DF=AF,∴E、F在线段AD的垂直平分线上,∴EF垂直平分AD.
方法总结:当已知条件含有线段的中点、直角三角形的条件时,可联想直角三角形斜边上的中线的性质进行求解.
三、板书设计
1.矩形的性质[来源:学科网]
矩形的四个角都是直角;矩形的对角线相等.
2.直角三角形斜边上的中线的性质
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
通过多媒体演示知识的探究过程,让学生在体验、实践的过程中有更直观地认识,扩大认知结构,发展能力,更好地理解平行四边形与矩形之间的从属关系和内在联系,使课堂教学真正落实到学生的发展上.
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