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  • 2021-10-27 发布

江苏省启东市2019-2020学年高一第二学期期末调研测试数学试题

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‎2019 ~2020学年第二学期期末调研测试 ‎ 高一数学试题 ‎ 一、单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的。‎ ‎1. 已知集合,则 ‎2. 已知向量,且,则x=‎ ‎3.已知一只口袋内装有大小相同的4只球,其中2只白球, 2只黑球,从中一次摸出2只球,则摸出的2只球中至少有1只是白球的概率是 ‎4.已知,则a, b, c的大小关系是 ‎5.为了估计加工零件所花费的时间,为此进行了4次试验,测得的数据如下表;‎ 若零件数x与加工时间y具有线性相关关系,且线性回归方程为,则a=‎ A. 1‎ B. 0.8‎ C. 1.09‎ D. 1.5‎ ‎6.已知直线l经过两点 ,直线m的倾斜角是直线l的倾斜角的两倍,则直线m的斜率是 ‎7.下列可能是函数(e是自然对数的底数)的图象的是 ‎8.已知函数在(0,π)上恰有两个不同的零点,则ω的值是 A. 1‎ B. 2‎ С. 3‎ D. 4‎ 二、多项选择题:本大题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分。‎ ‎9. 已知幂函数的图象过点(2,8),下列说法正确的是 A.函数的图象过原点 B.函数是偶函数 C.函数是单调减函数 D.函数的值域为R ‎10.某人射箭9次,射中的环数依次为: 7, 8, 9, 7, 6, 9, 8, 10, 8,关于这组数据,下列说法正确的是 A.这组数据的众数是8‎ B.这组数据的平均数是8‎ C.这组数据的中位数是6‎ D.这组数据的方差是 ‎11. 已知直线l:,其中,下列说法正确的是 A.当a=-1时,直线l与直线x+y=0垂直 B.若直线l与直线x-y=0平行,则a=0‎ C.直线l过定点(0,1)‎ D.当a=0时,直线l在两坐标轴上的截距相等 ‎12.已知在三棱锥P—ABC中, AP, AB, AC两两互相垂直, AP=5cm, AB=4cm,AC=3cm,点O为三棱锥P—ABC的外接球的球心,点D为△ABC的外接圆的圆心,下列说法正确的是 A.三棱锥P—ABC的体积为10 cm3‎ B.直线BC与平面PAC所成角的正切值为 C.球O的表面积为50πcm2‎ D. OD⊥PA 三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分。‎ ‎13.式子的值是________‎ ‎14.已知为锐角,则________‎ ‎15.已知直线x-y+1=0与圆相切,则a的值是________‎ ‎16. “辛普森(Simpson)公式”给出了求几何体体积的一种估算方法:几何体的体积V等于其上底的面积S、中截面(过几何体高的中点平行于底面的截面)的面积S0的4倍、下底的面积S'之和乘以高h的六分之一,即 ‎ .已知函数的图象过点, 与直线x=0,y=1及y=2围成的封闭图形绕y轴旋转一周得到一个几何体,则k-m=________,利用“辛普森(Simpson)公式"可估算该几何体的体积V =________ (第一空2分,第二空3分)‎ 四、解答题:本大题共6小题,共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17. (本小题满分10分)‎ 已知的夹角为.‎ 求:;‎ ‎(2) .‎ ‎18.(本小题满分12分)‎ 眼睛是心灵的窗户,保护好视力非常重要,某校高一、高二、高三年级分别有学生1200名、1080名、720名.为了解全校学生的视力情况,学校在6月6日“全国爱眼日”采用分层抽样的方法,抽取50人测试视力,并根据测试数据绘制了如图所示的频率分布直方图。‎ ‎(1) 求从高一年级抽取的学生人数;‎ ‎(2)试估计该学校学生视力不低于4.8的概率;‎ ‎(3)从视力在[4.0,4.4)内的受测者中随机抽取2人,求2人视力都在[4.2,4.4)内的概率.‎ ‎19. (本小题满分12分)‎ 如图,在长方体中,已知AB=AD=1,AA1=2.‎ ‎(1)求证:BD⊥平面A1ACC1;‎ ‎(2)求二面角的正切值. ‎ ‎20.(本小题满分12分)‎ 在锐角△ABC中,设角A, B, C所对的边长分别为a, b, c,且.‎ ‎(1)求B的大小;‎ ‎(2)若,点D在边AC上,________,求BD的长.‎ 请在①AD=DC; ② ∠DBC=∠DBA; ③BD⊥AC这三个条件中选择一个,补充在上面的横线上,并完成解答.‎ ‎(注:如果选择多个条件分别解答, 则按第一个解答计分).‎ ‎21. (本小题满分12分)‎ 已知圆关于直线对称 ‎(1)求实数a的值;‎ ‎(2)设直线与圆C交于点A,B,且.‎ ‎①求k的值;‎ ‎②点P(3,0),证明:x轴平分∠APB.‎ ‎22.(本小题满分12分)‎ 已知函数f(x), g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,‎ 且.‎ ‎(1)求函数f(x)与g(x)的解析式;‎ ‎(2)设函数,若对任意实数x, 恒成立,求实数a的取值范围.‎ 数学参考答案与评分建议 一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。‎ ‎1~4 C C D B 5~8 B A C B 二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分。‎ ‎9. AD 10. ABD 11. AC 12. ABC 三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。‎ ‎13. 6‎ ‎14.‎ ‎15.1‎ ‎16. 1, 四、解答题:本大题共6小题,共计70分. ‎ ‎17. (本小题满分10分)‎ 已知,,与的夹角为. ‎ 求:(1);‎ ‎(2).‎ 解:(1) ‎ ‎ ……2分 ‎. ……5分 ‎(2)‎ ‎ ……7分 ‎. ……10分 ‎18. (本小题满分12分)‎ 眼睛是心灵的窗户,保护好视力非常重要.某校高一、高二、高三年级分别有学生1 200名、‎ ‎1 080名、720名.为了解全校学生的视力情况,学校在6月6日“全国爱眼日”采用分层抽样的方法,抽取50人测试视力,并根据测试数据绘制了如图所示的频率分布直方图.‎ ‎(1)求从高一年级抽取的学生人数;‎ ‎(第18题)‎ ‎      (2)试估计该学校学生视力不低于4.8的概率;‎ ‎(3)从视力在内的受测者中随机抽取 ‎2人,求2人视力都在内的概率.‎ 解:(1)高一年级抽取的学生人数为:‎ ‎.‎ 答:从高一年级抽取的学生人数为20. ……2分 ‎     (2)由频率分布直方图,得,‎ 所以. ……4分 所以抽取50名学生中,视力不低于4.8的频率为,‎ 所以该校学生视力不低于4.8的概率的估计值为. ……6分 ‎ (3)由频率分布直方图,得 视力在内的受测者人数为,记这2人为,‎ ‎ 视力在内的受测者人数为,记这3人为.‎ ‎……8分 ‎ 记“抽取2人视力都在内”为事件A,‎ ‎ 从视力在内的受测者中随机抽取2人,所有的等可能基本事件共有10个,‎ 分别为 ‎ ‎ ,‎ ‎      则事件A包含其中3个基本事件:, ……10分 ‎ 根据古典概型的概率公式,得.‎ 答:2人视力都在内的概率为. ……12分 ‎19.(本小题满分12分)‎ A A1‎ D1‎ B1‎ C1‎ C B D ‎(第19题)‎ 如图,在长方体中,已知,.‎ ‎(1)求证:平面;‎ ‎(2)求二面角的正切值.‎ 解:(1)因为为长方体,‎ 所以平面.‎ ‎    因为平面,所以. ……2分 ‎    因为,所以为正方形.‎ 所以. ……4分 ‎      又因为,平面,‎ A A1‎ D1‎ B1‎ C1‎ C B D ‎(第19题)‎ O 所以平面. ‎ ‎ ……6分 ‎   (2)设,连接. ‎ ‎      由(1)知,平面.‎ 因为平面,所以. ‎ ‎ ……8分 又由(1)知,,‎ ‎    所以为二面角的平面角. ……10分 ‎      在中,,,‎ 所以,‎ ‎      所以二面角的正切值为. ……12分 ‎20.(本小题满分12分)‎ 在锐角△ABC中,设角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,且.‎ ‎(1)求B的大小;‎ ‎(2)若AB2,BC,点D在边AC上, ,求BD的长.‎ 请在①ADDC;②∠DBC∠DBA;③BD⊥AC这三个条件中选择一个,补充在上面 的横线上,并完成解答.‎ ‎(注:如果选择多个条件分别解答,则按第一个解答计分).‎ 解:(1)在△ABC中,由正弦定理,及得,‎ ‎. …2分 因为△ABC为锐角三角形,所以,所以.‎ 所以. ……4分 又因为,所以. ……6分 ‎(2)若选①. ‎ 法一:在△ABC中,因为ADDC,所以=. ……8分 所以2 ……10分 所以BD=. ……12分 法二:在△ABC中,由余弦定理,得 ‎,‎ 所以,所以. ……8分 在△ABD中,由余弦定理,得 即,‎ 在△BDC中,由余弦定理,得 即. ……10分 又,所以.‎ 所以,‎ 所以BD=. ……12分 若选②.‎ 在△ABC中,, ……8分 即, ……10分 即,‎ 解得. ……12分 若选③.‎ 在△ABC中,由余弦定理,得 ‎,‎ 所以. ……8分 因为,又, ……10分 所以,‎ 解得. ……12分 ‎21.(本小题满分12分)‎ 已知圆C:关于直线l:对称.‎ ‎(1)求实数a的值;‎ ‎(2)设直线m:与圆交于点,且.‎ ① 求的值;‎ ② 点P ( 3,0 ),证明:x轴平分.‎ 解:(1)因为圆C:关于直线l:对称,‎ ‎      所以圆心C在直线l:上. ……2分 ‎      所以,解得. ……4分 ‎     (2)① 由(1)知,圆C:.‎ 所以圆心C到直线m:的距离为. ……6分 因为,所以,解得,‎ 因为,所以. ……8分 ② 法一:由①知,直线m:.‎ 联立消去,得,解得或.‎ 不妨, ……10分 所以.‎ 所以直线的倾斜角互补,从而,‎ ‎   所以轴平分. ……12分 法二:设直线m:上的点,,又点P ( 3,0 ),‎ ‎      所以 ‎.(*) ……8分 ‎       联立消去,得, ‎ 所以 代入(*),得.‎ ‎ 所以直线的倾斜角互补,从而,‎ ‎      所以轴平分. ……12分 ‎22.(本小题满分12分)‎ 已知函数分别是定义在上的偶函数和奇函数,且.‎ ‎(1)求函数与的解析式;‎ ‎  (2)设函数,若对任意实数,恒成立,求实数 的取值范围.‎ 解:(1)因为为偶函数,为奇函数,且,①‎ 所以,即, ② ……2分 由,得,‎ 由,得. ……4分 ‎(2)方法一:由(1)得,.‎ 因为对任意实数,恒成立.‎ 当时,设,则恒成立.‎ ‎ 若,即,则当时,取得最小值,符合题意; ……6分 若,即,则当时,取得最小值.‎ 由,得,所以.‎ 所以. ……8分 当时,设,则恒成立.‎ 若,即,则当时,取得最小值.‎ 由,得. 所以. ……10分 若,即时,,符合题意.‎ 所以.‎ 综上,实数的取值范围是. ……12分 方法二:恒成立,即恒成立.‎ 当时,显然成立;‎ 当时,,令,设, ……6分 当,即时,.‎ 设是上任意两个值,且,‎ 则,‎ 当时,,,,所以,即 ‎;‎ 当时,,,,所以,即,‎ 所以函数在上单调递增,在上单调递减. ……8分 所以当时,在上取得最大值. ‎ 所以. ……10分 当,即时,,‎ 同理可证,函数在 上单调递增,在上单调递减.‎ 所以当时,在上取得最大值. ‎ 所以. ‎ 综上,实数的取值范围是. ……12分