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- 2021-10-27 发布
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2.1 三角形
第2章 三角形
导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结
第3课时 三角形内角和与外角
1.通过操作活动,发现三角形的内角和是180°;
2.会利用三角形的内角和求三角形中未知角的度数;
(重点、 难点)
3.了解三角形的外角及性质.
学习目标
我的形状最
小,那我的
内角和最小.
我的形状最
大,那我的
内角和最大.
不对,我有一
个钝角,所以
我的内角和才
是最大的.
一天,三类三角形通过对自身的特点,讲出了自己对三角
形内角和的理解,请同学们作为小判官给它们评判一下吧.
导入新课
情境引入
我们在小学已经知道,任意一个三角形的内角和等
于180°.与三角形的形状、大小无关,所以它们的说
法都是错误的.
思考:除了度量以外,你还有什么办法可以验证三角
形的内角和为180°呢?
折叠
还可以用拼接的
方法,你知道怎
样操作吗?
锐角三角形
测量
480 720
600
600+480+720=1800
(学生运用学科工具—量角器测量演示)
剪拼
A
B C
2
1
(小组合作,讨论剪拼方法。各小组代表板演剪拼过程)
三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角.
你能用数学的方法说明这个结论吗?
还有其他的拼
接方法吗?
讲授新课
三角形的内角和及三角形按角的分类一
探究:在纸上任意画一个三角形,将它的内角剪下
拼合在一起.
l
验证结论 三角形三个内角的和等于180°.
说明:∠A+∠B+∠C=180°.
已知:△ABC.
方法1:过点A作l∥BC,
∴∠B=∠1.
(两直线平行,内错角相等)
∠C=∠2.
(两直线平行,内错角相等)
∵∠2+∠1+∠BAC=180°,
∴∠B+∠C+∠BAC=180°.
1 2
方法2:延长BC到D,过点C
作CE∥BA,
∴ ∠A=∠1 .
(两直线平行,内错角相等)
∠B=∠2.
(两直线平行,同位角相等)
又∵∠1+∠2+∠ACB=180°,
∴∠A+∠B+∠ACB=180°. CB
A E
D
1
2
CB
A
E
D
F
方法3:过D作DE∥AC,作
DF∥AB.
∴ ∠C=∠EDB,∠B=∠FDC.
(两直线平行,同位角相等)
∠A+∠AED=180°,
∠AED+∠EDF=180°,
(两直线平行,同旁内角相补)
∴ ∠A=∠EDF.
∵∠EDB+∠EDF+∠FDC=180°,
∴∠A+∠B+∠C=180°.
想一想:同学们还有其他的方法吗?
思考:多种方法证明三角形内角和等于180°的核心是
什么?
借助平行线的“移角”的功能,将三
个角转化成一个平角.
C
A
B
1
2 3
4
5
l
A
C B
1
2 34
5
l
P
6
m A
B C
D
E
C
24
A
B
3E
Q
D
F
P
G H
1
B G C
24
A
3E
DF
H
1
试一试:同学们按照上图中的辅助线,给出证明步骤?
例1 如图,在△ABC中, ∠BAC=40°,∠B=75°,AD是
△ABC的角平分线,求∠ADB的度数.
A B
C
D
解:由∠BAC=40 °, AD是△ABC的角平分线,得
∠BAD= ∠BAC=20 °.1
2
在△ABD中,
∠ADB=180°-∠B-∠BAD
=180°-75°-20°
=85°.
典例精析
【变式题】如图,CD是∠ACB的平分线,DE∥BC,
∠A=50°,∠B=70°,求∠EDC,∠BDC的度数.
解:∵∠A=50°,∠B=70°,
∴∠ACB=180°-∠A-∠B=60°.
∵CD是∠ACB的平分线,
∴∠BCD= ∠ACB=30°.
∵DE∥BC,
∴∠EDC=∠BCD=30°,
在△BDC中,∠BDC=180°-∠B-∠BCD=80°.
1
2
例2 如图,△ABC中,D在BC的延长线上,过D作
DE⊥AB于E,交AC于F.已知∠A=30°,∠FCD=
80°,求∠D.
解:∵DE⊥AB,∴∠FEA=90°.
∵在△AEF中,∠FEA=90°,∠A=30°,
∴∠AFE=180°-∠FEA-∠A=60°.
又∵∠CFD=∠AFE,
∴∠CFD=60°.
∴在△CDF中,∠CFD=60°,∠FCD=80°,
∠D=180°-∠CFD-∠FCD=40°.
基本图形
由三角形的内角和易得∠A+∠B=∠C+∠D.
由三角形的内角和易得∠1+∠2=∠3+∠4.
总结归纳
4
例3 在△ABC 中, ∠A 的度数是∠B 的度数的3倍,
∠C 比∠B 大15°,求∠A,∠B,∠C的度数.
解: 设∠B为x°,则∠A为(3x)°,
∠C为(x + 15)°, 从而有
3x + x +(x + 15)= 180.
解得 x = 33.
所以 3x = 99 , x + 15 = 48.
即 ∠A, ∠B, ∠C的度数分别为99°, 33°, 48°.
和差倍分问题借助
方程来解. 这是一个
重要的数学思想.
一个三角形的三个内角中,最多有几个直角?
最多有几个钝角?
因为三角形的内角和等
于180°,因此最多有一个
直角或一个钝角.
议一议
三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形;
锐角三角形
有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形.
钝角三角形
有一个角是直角的三角形叫做直角三角形;
直角三角形
直角边
直
角
边
斜
边
A
B C
直角三角形ABC可以写成Rt△ABC;
②在△ABC中,∠A :∠B:∠C=1:2:3,则△ABC是
_________三角形 .
练一练:
①在△ABC中,∠A=35°,∠ B=43 °,则∠ C= .
③在△ABC中, ∠A= ∠B+10°, ∠C= ∠A + 10°,
则 ∠A= , ∠ B= ,∠ C= .
102°
直角
60° 50° 70°
三角形的外角的概念二
u定义
如图,把△ABC的一边BC延长,得到∠ACD,像这
样,三角形的一边与另一边的延长线组成的角,叫
做三角形的外角.
∠ACD是△ABC的一个外角
CB
A
D
问题1 如图,延长AC到E,∠BCE是不是△ABC的一个
外角?∠DCE是不是△ABC的一个外角?
E
在三角形每个顶点处都有两个外角.
∠ACD 与∠BCE为对顶角,∠ACD =∠BCE;
CB
A
D
∠BCE是△ABC的一
个外角,∠DCE不是
△ABC的一个外角.
问题2 如图,∠ACD与∠BCE有什么关系?在三角形的
每个顶点处有多少个外角?
A
B C
画一画 画出△ABC的所有外角,共有几个呢?
每一个三角形都
有6个外角.
每一个顶点相对
应的外角都有2个,
且这2个角为对顶角.
三角形的外角应具备的条件:
①角的顶点是三角形的顶点;
②角的一边是三角形的一边;
③另一边是三角形中一边的延长线.
∠ACD是△ABC的一个外角
CB
A
D
每一个三角形都有6个外角.
总结归纳
F
A
B C
D
E
如图,∠ BEC是哪个三角形的外角?∠AEC是哪个三
角形的外角?∠EFD是哪个三角形的外角?
∠BEC是△AEC的外角;
∠AEC是△BEC的外角;
∠EFD是△BEF和△DCF
的外角.
练一练
三角形的外角
A
C
B
D
相邻的内角
不相邻的内角
三角形的外角的性质三
问题1 如图,△ABC的外角∠BCD与其相邻的内角
∠ACB有什么关系?
∠BCD与∠ACB互补.
问题2 如图,△ABC的外角∠BCD与其不相邻的两
内角(∠A,∠B)有什么关系?
三角形的外角
A
C
B
D
相邻的内角
不相邻的内角
∵∠A+∠B+∠ACB=180°,∠BCD+∠ACB=180°,
∴∠A+∠B=∠BCD.
你能用作平行线的方
法证明此结论吗?
D
解:过C作CE平行于AB,
A
B C
12 ∴∠1= ∠B,
(两直线平行,同位角相等)
∠2= ∠A ,
(两直线平行,内错角相等)
∴∠ACD= ∠1+ ∠2= ∠A+ ∠B.
E
已知:如图,△ABC,试说明:∠ACD=∠A+∠B.
验证结论
u三角形外角的性质:
A
B C D
(
(
(
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.
u应用格式:
∵ ∠ACD是△ABC的一个外角
∴ ∠ACD= ∠A+ ∠B.
知识要点
练一练:说出下列图形中∠1和∠2的度数:
A
B C D
(
(
(
80 °
60 ° ( 21
(1)
A
B C
( (
( (
2
1
50 °
32 °
(2)
∠1=40 °, ∠2=140 ° ∠1=18 °, ∠2=130 °
例4 如图,∠A=42°,∠ABD=28°,∠ACE=18°,求
∠BFC
的度数.
∵ ∠BEC是△AEC的一个外角,
∴ ∠BEC= ∠A+ ∠ACE,
∵∠A=42° ,∠ACE=18°,
∴ ∠BEC=60°.
∵ ∠BFC是△BEF的一个外角,
∴ ∠BFC= ∠ABD+ ∠BEF,
∵ ∠ABD=28° ,∠BEC=60°,
∴ ∠BFC=88°.
解:
F
A
C
D
E
B
例5 如图,P为△ABC内一点,∠BPC=150°,
∠ABP=20°,∠ACP=30°,求∠A的度数.
解析:延长BP交AC于E或连接AP并延长,构造三角
形的外角,再利用外角的性质即可求出∠A的度数.
E
解:延长BP交AC于点E,
则∠BPC,∠PEC分别为△PCE,△ABE的外角,
∴∠BPC=∠PEC+∠PCE,
∠PEC=∠ABE+∠A,
∴∠PEC=∠BPC-∠PCE
=150°-30°=120°.
∴∠A=∠PEC-∠ABE=120°-20°=100°.
【变式题】 (一题多解)如图,∠A=51°,∠B=20°,
∠C=30°,求∠BDC的度数.
A
B C
D(
(
(
51 °
20 ° 30 °
思路点拨:添加适当的辅助线将四边形问题转化为
三角形问题.
A
B
C
D
(
(
20 ° 30 °
解法一:连接AD并延长于点E.
在△ABD中,∠1+∠ABD=∠3,
在△ACD中,∠2+∠ACD=∠4.
因为∠BDC=∠3+∠4,
∠BAC=∠1+∠2,
所以
∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD
=51° +20°+30°
=101°.
E
))
1 2
)
3
)
4
你发现了什
么结论?
A
B
C
D(
(
(
51 °
20 ° 30 °
E )
1
解法二:延长BD交AC于点E.
在△ABE中,∠1=∠ABE+∠BAE,
在△ECD中,∠BDC=∠1+∠ECD.
所以∠BDC
=∠BAC+∠ABD+∠ACD
=51° +20°+30°=101°.
解法三:连接延长CD交AB于点F(解题过程同解法二).
)
2
F
解题的关键是正确的构造三角形,利用三角形外角
的性质及转化的思想,把未知角与已知角联系起来求解.
总结
如图 ,试比较∠2 、∠1的大小;
如图 ,试比较∠3 、∠2、 ∠1的大小.
图 图
解:∵∠2=∠1+∠B,
∴∠2>∠1.
解:∵∠2=∠1+∠B,
∠3=∠2+∠D,
∴∠3>∠2>∠1.
拓展探究
三角形的
外角大于
与它不相
邻的内角.
当堂练习
1.求出下列各图中的x值.
x=70 x=60
x=30 x=50
2.(1)如图,∠BDC是________
的外角,也是 的外角;
(2)若∠B=45 °, ∠BAE=36 °,
∠BCE=20 °,试求∠AEC的度数.
A
B C
D E△ADE
△ADC
解:根据三角形外角的性质有
∠ADC= ∠B+ ∠BCE,
∠AEC= ∠ADC+ ∠BAE.
所以∠AEC= ∠B+∠BCE+ ∠BAE
=45 °+20 °+36 °=101 °.
解:因为∠ADC是△ABD的外角.
3 .如图,D是△ABC的BC边上一点,∠B=∠BAD,
∠ADC=80°,∠BAC=70°,求:
(1)∠B 的度数;(2)∠C的度数.
在△ABC中,
∠B+∠BAC+∠C=180°,
∠C=180º-40º-70º=70°.
所以∠ADC=∠B+∠BAD=80°.
又因为∠B=∠BAD,
A
B180 40 ,
2
B 所以
CD
4.如图,四边形ABCD中,点E在BC
上,∠A+∠ADE=180°,∠B=78°,∠C=60°,求
∠EDC的度数.
解:∵∠A+∠ADE=180°,
∴AB∥DE,
∴∠CED=∠B=78°.
又∵∠C=60°,
∴∠EDC=180°-(∠CED+∠C)
=180°-(78°+60°)
=42°.
A
B
C
D
E
1
2
F
G
解:∵∠1是△FBE的外角,
∴∠1=∠B+ ∠E,
同理∠2=∠A+∠D.
在△CFG中,
∠C+∠1+∠2=180º,
∴∠A+ ∠ B+∠C+ ∠ D+∠E
= 180º.
5.如图,求∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D+ ∠E的度数.
能力提升:
课堂小结
三角形
三角形内角和定理
三角形外角的性质
锐角三角形
直角三角形
钝角三角形
三个内角和为180°
↑
三角形的一个外角
等于与它不相邻的
两个内角的和
↓
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