北师大版八年级下册数学同步练习课件-第1章-3 线段的垂直平分线（一） 30页

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PA=PB B. PA=PC C. PB=PC D. 点P到∠ACB的两边的距离相等 课前预习 A 2. 如图1-3-1，AC=AD，BC=BD，那么下列判断正确的是 （ ） A. CD垂直平分AB B. AB垂直平分CD C. CD平分∠ACB D. ∠ACB=∠ADB=90° B 课堂讲练 新知1：线段垂直平分线的性质定理 典型例题 【例1】如图1-3-2，在△ABC中，直线DE垂直平分线 段AB，垂足为点E，交BC于点D，连接AD. 已知 ∠B=60°，∠C=50°，求∠CAD的度数. 解：∵直线DE垂直平分线段AB， ∴AD=BD. ∴∠BAD=∠B=60°. ∵∠B=60°，∠C=50°， ∴∠BAC=180°-∠B-∠C=70°. ∴∠CAD=∠BAC-∠BAD=10°. 模拟演练 1. 如图1-3-3，在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分 线交AC于点D，垂足为点E，且∠1=2∠2，求∠A的度数. 解：∵AB的垂直平分线交AC于点D， ∴DB=DA，∠2=∠A. ∴∠BDC=∠2+∠A=2∠A. ∵∠C=90°，∠1=2∠2， ∴∠1+∠BDC=90°，即4∠A=90°. ∴∠A=22.5°. 【例2】如图1-3-4，在△ABC中，∠ACB=90°， ∠A=30°，AB的垂直平分线分别交AB和AC于点D，E. 求 证：DE=EC. 典型例题 证明：如答图1-3-1，连接CD. ∵在△ABC中，∠ACB=90°， ∠A=30°∴∠B=60°. ∵点D是AB的中点， ∴CD=BD= AB. ∴△BDC是等边三角形. ∴∠BCD=∠BDC=60°. ∵∠BDE=∠ACB=90°， ∴∠EDC=∠ECD=30°. ∴DE=CE. 2. 如图1-3-5，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB边的垂 直 平 分 线 D E 交 B C 于 点 E ， 垂 足 为 点 D . 求 证 ： ∠CAB=∠AED. 模拟演练 证明：∵DE是线段AB的垂直平分线， ∴AE=BE，∠ADE=90°. ∴∠EAB=∠B. 在Rt△ABC中，∵∠C=90°， ∴∠CAB+∠B=90°. 在Rt△ADE中，∵∠ADE=90°， ∴∠AED+∠EAD=90°. ∴∠CAB=∠AED. 【例3】如图1-3-6，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB 上的一点，BD=BC，连接CD，过点D作AB的垂线，交AC于 点E，连接BE,交CD于点F． 求证：BE垂直平分CD． 典型例题 新知2：线段垂直平分线性质定理的逆定理 证明:∵BD=BC， ∴点B在线段CD的垂直平分线上． ∴∠BCD=∠BDC． ∵∠ACB=90°，DE⊥AB， ∴∠ACB=∠EDB=90°． ∴∠ACB-∠BCD=∠EDB-∠BDC， 即∠ECD=∠EDC． ∴EC=ED． ∴点E在线段CD的垂直平分线上． ∴BE垂直平分CD． 3. 如图1-3-7，在△ABC中，∠ACB=90°，D是BC的延 长线上一点，EH是BD的垂直平分线，DE交AC于点F.求 证：点E在AF的垂直平分线上. 模拟演练 证明：∵EH是BD的垂直平分线， ∴BE=DE.∴∠BEH=∠DEH. ∵∠ACB=90°， ∴EH∥AC. ∴∠BEH=∠BAC，∠DEH=∠AFE. ∴∠EAF=∠AFE. ∴AE=EF. ∴点E在AF的垂直平分线上. 分层训练 A组 1. 如图1-3-8，在Rt△ABC中，∠B=90°，ED是AC的垂 直平分线，交AC于点D，交BC于点E． 已知∠BAE=10°， 则∠C的度数为（ ） A. 30° B. 40° C. 50° D. 60° B 2. 如图1-3-9，△ABC中，AB的垂直平分线交AC于点D， 交AB于点E. 如果AC=5 cm，BC=4 cm，那么△DBC的周长 是（ ） A. 6 cm B. 7 cm C. 8 cm D. 9 cm D 3. 在线段AB的垂直平分线上取一点P（线段中点除外）， 连接PA，PB，则△PAB一定是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形 4. 三角形纸片ABC上有一点P，量得PA=3 cm，PB=3 cm， 则点P一定（ ） A. 是边AB的中点 B. 在边AB的中线上 C. 在边AB的高上 D. 在边AB的垂直平分线上 C D B组 5. 如图1-3-10，∠ABC=50°，AD垂直平分线段BC于点D， ∠ABC的平分线BE交AD于点E，连接EC，则∠AEC的度数 是（ ） A. 115° B. 75° C. 105° D. 50° A 6. 如图1-3-11，在Rt△ACB中，∠C=90°，BE平分 ∠CBA交AC于点E，过点E作ED⊥AB于点D，若ED恰为AB的 垂直平分线，则∠A等于（ ） A. 10° B. 15° C. 30° D. 45° C 7. 如图1-3-12，在△ABC中，DE，FG分别是边AB，AC的 垂直平分线. （1）若BC=13，求△AEG的周长； （2）若∠BAC=120°，求∠EAG的度数. 解：（1）∵DE,FG分别是边AB，AC的垂直平分线， ∴BE=AE，CG=AG. ∴△AEG的周长=AE+AG+EG=BE+CG+EG=BC=13. （2）∵在△ABC中，∠BAC=120°， ∴∠B+∠C=180°-120°=60°. ∵DE是AB的垂直平分线， ∴EA=EB. ∴∠BAE=∠B. 同理可得∠CAG=∠C. 又∵∠BAE+∠CAG+∠B+∠C+∠EAG=180°， ∴2（∠B+∠C）+∠EAG=180°. ∴∠EAG=60°. 8. 如图1-3-13，已知AB∥CD，∠BAE=∠DCF，AC，EF相 交于点M，且AM=CM. （1）求证：AE∥CF； （2）若AM平分∠FAE， 求证：FE垂直平分AC. 证明：（1）∵AB∥CD， ∴∠BAC=∠DCA. 又∵∠BAE=∠DCF， ∴∠EAM=∠FCM. ∴AE∥CF. （2）∵AM平分∠FAE， ∴∠FAM=∠EAM. ∵∠EAM=∠FCM，∴∠FAM=∠FCM. ∴△FAC是等腰三角形. 又∵AM=CM，∴FM⊥AC，即EF垂直平分AC. C组 9. 如图1-3-14，在△ABC中，AB的垂直平分线MN交AB于 点D，交AC于点E，且AC=15 cm，△BCE的周长等于25 cm. （1）求BC的长； （2）若∠A=36°，并且AB=AC. 求证：BE=BC. （2）证明：∵∠A=36°，AB=AC， ∴∠C= （180°-∠A）= ×（180°-36°）=72°. ∵AB的垂直平分线MN交AB于点D， ∴AE=BE. ∴∠A=∠ABE. ∴∠BEC=∠A+∠ABE=36°+36°=72°. ∴∠BEC=∠C. ∴BE=BC. （1）解：∵AB的垂直平分线MN交AB于点D，∴AE=BE. ∴△BCE的周长=BE+CE+BC=AE+CE+BC=AC+BC. ∵AC=15 cm， ∴BC=25-15=10(cm). 10. 如图1-3-15，AB垂直平分线段CD（AB＞CD），点E 是线段CD延长线上的一点，且BE=AB，连接AC，过点D作 DG⊥AC于点G，交AE的延长线于点F. （1）若∠CAB=α，则∠AFG=__________（用含α的代 数式表示）； （2）线段AC与线段DF相等吗？ 为什么？ （3）若CD=6，求EF的长. 45°-α 解：（2）相等. 理由如下： 连接AD，如答图1-3-2. ∵AB垂直平分线段CD， ∴AC=AD. ∴∠ADC=∠ACB=90°-α. ∴∠DAE=∠ADC-45°=45°-α. ∴∠DAE=∠AFD. ∴AD=DF. ∴AC=DF. （3）∵CD=6， ∴BD=CB=3. 过点F作FH⊥CE交CE的延长线于点H，如答图1-3-2， 则△EHF是等腰直角三角形，∴FH=HE. ∵∠H=∠ABC=90°，∠CAB=∠CDG=∠FDH，AC=AD=DF， ∴△ACB≌△DFH（AAS）. ∴FH=CB=3.∴EF= = .