2020春八年级数学下册第20章平行四边形的判定单元复习习题课件华东师大版 45页

第 20 章 单元复习课 一、四边形的相关定义 1. 平行四边形的定义 有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形 . 平行四边形的定义要抓住两点，即“四边形”和“两组对边分别平行” . 四边形的边角按位置关系可分为两类： 对边 ( 没有公共端点的两条边 ) 邻边 ( 有一个公共端点的两条边 ) 对角 ( 没有公共边的两个角 ) 邻角 ( 有一条公共边的两个角 ) 对角线：不相邻的两个顶点连成的线段 . 2. 两条平行线间的距离 两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做两条平行线间的距离 . 两条平行线间的距离是一个定值，不随垂线段位置的改变而改变，两条平行线间的距离处处相等 . 3. 矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 . 矩形的定义既是性质也是判定 . 4. 菱形：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 . 5. 正方形：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形 . 由定义可知，正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形 . 6. 等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形 . 定义既是其性质，又可以据其判定一个梯形是否是等腰梯形 . 二、相关四边形的性质 1. 平行四边形的性质和判定之间的关系 2. 矩形的性质 (1) 矩形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，矩形也是轴对称图形，对称轴是通过对边中点的直线； (2) 矩形的四个角都是直角； (3) 矩形的对角线相等且互相平分 . 由此条性质可以得到直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 . 3. 菱形性质 菱形是特殊的平行四边形，除具备一般平行四边形的性质外，还具有以下性质： (1) 菱形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，菱形也是轴对称图形，对称轴为它的对角线所在的直线； (2) 菱形的四条边都相等； (3) 菱形的两条对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角 . 4. 正方形的性质 (1) 正方形是中心对称图形，又是轴对称图形； (2) 四条边都相等； (3) 四个角都是直角； (4) 对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角 . 5. 等腰梯形的性质 (1) 边：①等腰梯形的两底平行；②等腰梯形的两腰相等 . (2) 角：①等腰梯形同一底上的两个角相等；②等腰梯形同一 腰上的两个角互补 . (3) 对角线：等腰梯形的对角线相等 . (4) 对称性：等腰梯形是轴对称图形，对称轴是上下底中点连 线所在的直线 . 三、相关四边形的判定 1. 平行四边形的判定 平行四边形的判定方法较多 ( 共有五个 ) ，因此证明时要先分析条件，观察待证四边形中最容易得到的一个判定元素，然后分析与这个元素搭配的判定方法中的另一个元素是什么 . 平行四边形的判定定理的选择： 2. 矩形的判定 (1) 有一个角是直角的平行四边形是矩形； (2) 对角线相等的平行四边形是矩形； (3) 有三个角是直角的四边形是矩形； (4) 对角线相等且互相平分的四边形是矩形 . 3. 菱形的判定 (1) 一组邻边相等的平行四边形是菱形； (2) 四边都相等的四边形是菱形； (3) 对角线互相垂直的平行四边形是菱形； (4) 每条对角线平分一组对角的四边形是菱形 . 4. 正方形的判定 矩形、菱形、正方形都是有特殊条件的平行四边形 . 平行四边形包含了矩形、菱形、正方形，而正方形又被包含在矩形和菱形中，因而要判定一个四边形是否是正方形，可以从两方面来着手，一是：先判定四边形是矩形，再判定它也是菱形；二是：先判定四边形是菱形，再判定这个菱形也是矩形 . 其方法有： ①有一个角是直角的菱形是正方形 . ② 有一组邻边相等的矩形是正方形 . ③ 对角线相等的菱形是正方形 . ④ 对角线互相垂直的矩形是正方形 . 5. 等腰梯形的判定 (1) 两腰相等的梯形是等腰梯形； (2) 同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形； (3) 对角线相等的梯形是等腰梯形 . 特殊四边形的判定 矩形 平行四边形 菱形 梯形 平行四边 形的判定 矩形的判定 菱形的判定 正方形 正方形 的判定 等腰梯形 等腰梯形的判定 有一个角 是直角 有一组邻 边相等 一组邻边相等 一个角是直角 一组邻 边相等 有一个角 是直角 两组对边 分别平行 只有一组 对边平行 两腰 相等 平行四边形的判定 【 相关链接 】 平行四边形的判定可以从三个角度考虑 1. 看对边 : 是平行四边形判定的重要方法 , 包含一组对边平行且相等、两组对边分别平行和两组对边分别相等的四边形是平行四边形 . 2. 看对角 : 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 . 3. 看对角线 : 对角线互相平分的四边形是平行四边形 . 【 例 1】(2012· 泰州中考 ) 如图，四边形 ABCD 中， AD∥BC ， AE⊥AD 交 BD 于点 E ， CF⊥BC 交 BD 于点 F ，且 AE=CF. 求证：四边形 ABCD 是平行四边形 . 【 思路点拨 】 由垂直得到∠ EAD=∠FCB=90°, 根据 A.A.S. 可证明 Rt△ADE≌△Rt△CBF, 得到 AD=BC ，根据平行四边形的判定定理判断即可 . 【 自主解答 】 ∵AD∥BC ， ∴∠ ADB=∠CBD. ∵AE⊥AD ， CF⊥BC ， ∴∠ EAD=∠FCB=90°. ∵AE=CF ， ∴△ ADE≌△CBF, ∴AD=BC. 又∵ AD∥BC ， ∴四边形 ABCD 是平行四边形 . 特殊平行四边形的判定 【 相关链接 】 特殊平行四边形的判定是相互联系的 , 要掌握它们之间的转换关系 : 1. 矩形的判定 : 平行四边形对角线相等或有一个角是直角的是矩形； 2. 菱形的判定 : 平行四边形的对角线互相垂直的是菱形； 3. 正方形的判定 : 正方形的判定除定义外 , 一般是先判定为矩形或菱形 , 再进一步判定为正方形 . 【 例 2】(2011· 乌鲁木齐中考 ) 如图 , 在 □ ABCD 中 ,∠DAB=60°,AB=2AD, 点 E,F 分别是 AB, CD 的中点 , 过点 A 作 AG∥BD, 交 CB 的延长线 于点 G. (1) 求证 : 四边形 DEBF 是菱形； (2) 请判断四边形 AGBD 是什么特殊四边形，并加以证明 . 【 思路点拨 】 (1) 利用平行四边形的性质证明△ AED 是等边三 角形 , 从而证明 DE=BE, 问题得证 . (2) 利用平行四边形的性质证明∠ ADB=90°, 利用有一个角是 直角的平行四边形是矩形判定矩形 . 【 自主解答 】 (1)∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AB∥CD 且 AB=CD,AD∥BC 且 AD=BC. ∵E,F 分别是 AB,CD 的中点 , ∴BE=DF. ∴ 四边形 DEBF 是平行四边形 . 在△ ABD 中 ,E 是 AB 的中点 , 而∠ DAB=60°. ∴△AED 是等边三角形 , 即 DE=AE=AD, 故 DE=BE, ∴ 平行四边形 DEBF 是菱形； (2) 四边形 AGBD 是矩形 . 理由如下 : ∵AD∥BC 且 AG∥DB, ∴ 四边形 AGBD 是平行四边形 , 由 (1) 的证明知 AD=DE=AE=BE, ∴∠ADE=∠DEA=60°,∠EDB=∠DBE=30°, 故∠ ADB=90° ， ∴平行四边形 AGBD 是矩形 . 等腰梯形的判定 【 相关链接 】 等腰梯形的判定一般是先判定为一般梯形 , 然后再根据等腰梯形的判定方法进行判定 . 等腰梯形证明时的注意事项 : 证明四边形两边平行的同时要说明另外两边不平行 , 这样才能保证是等腰梯形 . 【 例 3】(2010· 赤峰中考 ) 平行四边形 ABCD 中 ,AC 是一条对角线 ,∠B=∠DAC, 延长 BC 至 E 点 , 使 CE=BC, 连结 DE. 求证 : 四边形 ABED 是等腰梯形 . 【 思路点拨 】 要证四边形 ABED 是等腰梯形 , 只需证∠ B=∠BED, 通过证四边形 ACED 为平行四边形可证明 . 【 自主解答 】 ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形 , ∴AD BC. ∵CE=BC,∴AD CE ∴ 四边形 ACED 是平行四边形 . ∴∠CED=∠DAC,∵∠DAC=∠B. ∴∠B=∠CED, 即∠ B=∠BED. ∵AD∥BE,AB 与 DE 不平行 . ∴ 四边形 ABED 是等腰梯形 . 【 命题揭秘 】 结合近年中考试题分析 , 平行四边形的性质及判定是中考几何考点的主要内容 , 几何中综合题往往涉及平行四边形的性质和判定 . 该部分考查的形式呈多样化 , 有选择、填空的基础题 , 也有证明计算的中档题 , 也有运动变化的综合题 . 1.(2012· 黄冈中考 ) 若顺次连接四边形 ABCD 各边的中点所得 四边形是矩形，则四边形 ABCD 一定是 ( ) (A) 矩形 (B) 菱形 (C) 对角线互相垂直的四边形 (D) 对角线相等的四边形 【 解析 】 选 C. 顺次连接任意四边形 ABCD 各边的中点所得四边形一定是平行四边形，若顺次连接四边形 ABCD 各边的中点所得四边形是矩形，则四边形 ABCD 一定是对角线互相垂直的四边形 . 2.(2012· 苏州中考 ) 如图 , 矩形 ABCD 的对角线 AC,BD 相交于 点 O,CE∥BD,DE∥AC. 若 AC=4, 则四边形 CODE 的周长是 ( ) (A)4 (B)6 (C)8 (D)10 【 解析 】 选 C.∵CE∥BD,DE∥AC, ∴ 四边形 DOCE 为平行四边形 . 又∵四边形 ABCD 为矩形 , ∴OD=OC=2, ∴ 四边形 CODE 为菱形 , 其周长为 2×4=8. 3. 如图 ,D,E,F 分别为△ ABC 三边的中点 , 则图中平行四边形的 个数为 _______. 【 解析 】 ∵D,E,F 分别为△ ABC 三边的中点 , ∴DF∥BC,DE∥AC,EF∥AB,∴ 平行四边形有 : □ BDFE, □ CFDE, □ ADEF. 答案： 3 4.(2011· 内江中考 ) 如图 , 点 E,F,G,H 分别是任意四边形 ABCD 中 AD ， BD ， BC ， CA 的中点 , 当四边形 ABCD 的边至少满足 _______ 条件时 , 四边形 EFGH 是菱形 . 【 解析 】 ∵ 点 E,F 是△ ABD 中 AD,BD 的中点 , ∴ 同理 ∴ ∴四边形 EFGH 是平行四边形 . ∵ 点 E,H 是△ ADC 中 AD,AC 的中点 , 当四边形 ABCD 的边满足 AB=CD, 可得 EF=EH, ∴ 四边形 EFGH 是菱形 . 答案： AB=CD 5. 如图 , 在梯形 ABCD 中 ,AD∥BC,AD ＝ 6,BC ＝ 16,E 是 BC 的中点 . 点 P 以每秒 1 个单位长度的速度从点 A 出发 , 沿 AD 向点 D 运动；点 Q 同时以每秒 2 个单位长度的速度从点 C 出发 , 沿 CB 向点 B 运动 . 点 P 停止运动时 , 点 Q 也随之停止运动 . 当运动时间 t ＝ _______ 秒时 , 以点 P,Q,E,D 为顶点的四边形是平行四边形 . 【 解析 】 由题意可知 ,AP=t,CQ=2t, ∵AD∥BC,∴ 当 PD ＝ EQ 时 , 以点 P,Q,E,D 为顶点的四边形是 平行四边形； 当 2t ＜ 8, 即 t ＜ 4 时 , 点 Q 在 C,E 之间 , 如图 1. 此时 ,PD ＝ AD － AP ＝ 6 － t,EQ ＝ CE － CQ ＝ 8 － 2t, 由 6 － t ＝ 8 － 2t, 得 t ＝ 2. 当 2t ＞ 8, 即 t ＞ 4 时 , 点 Q 在 B,E 之间 , 如图 2. 此时 , PD ＝ AD － AP ＝ 6 － t,EQ ＝ CQ － CE ＝ 2t － 8, 由 6 － t ＝ 2t － 8, 得 答案： 2 或 6.(2012· 广东中考 ) 已知：如图，在四边形 ABCD 中， AB∥CD ，对角线 AC,BD 相交于点 O ， BO=DO. 求证：四边形 ABCD 是平行四边形 . 【 证明 】 ∵ AB∥CD ， ∴∠ ABO =∠CDO ，∠ BAO =∠DCO ， ∵ BO = DO ， ∴△ OAB≌△OCD ， ∴ AB = CD. 又 AB∥CD ， ∴四边形 ABCD 是平行四边形 . 7. 如图所示 , 在梯形 ABCD 中 ,AD∥BC,∠B=90°,AB=14 cm, AD=18 cm,BC=21 cm, 点 P 从点 A 开始沿 AD 边向点 D 以 1 cm/s 的 速度移动 , 点 Q 从点 C 开始沿 CB 边向点 B 以 2 cm/s 的速度移动 . 如果 P,Q 分别从 A,C 同时出发 , 设移动时间为 t 秒 , 则 t 为多少 秒时 , 梯形 PQCD 是等腰梯形 ? 【 解析 】 过 P,D 分别向 BC 作垂线 , 垂足分别为 F,E. ∵∠B=90°,AD∥BC, ∴∠A=90°, 即四边形 ABED 为矩形 , ∴EC=BC-BE=BC-AD=21-18=3(cm). 根据等腰梯形的性质 , PD+3×2=QC, ∴18-t+6=2t, 解得 t=8, 即当 t=8 秒时 , 梯形 PQCD 是等腰梯形 .