2020-2021八年级数学上册轴对称及画轴对称图同步讲练（新人教版pdf格式） 38页

2020-2021 学年初二数学上册同步讲练：轴对称及画轴对称图讲练 一、知识点 1、轴对称 （1）.轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么就称这个图形是轴 对称图形；这条直线叫做它的对称轴；也称这个图形关于这条直线对称； 两个图形关于这条直线对称：一个图形沿一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这 （2）.两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点； 轴对称图形与两个图形成轴对称的区别：轴对称图形是指一个图形沿对称轴折叠后这个图形的两部分 能完全重合；而两个图形成轴对称指的是两个图形之间的位置关系，这两个图形沿对称轴折叠后能够重合； （3）.轴对称图形与两个图形成轴对称的联系：把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于 这条轴对称；把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形。 （4）.垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线；如果两个图形 关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线； （5）.轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；对称的两个图形是全等的； （6）.垂直平分线性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等； 逆定理：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上； （7）.垂直平分线的尺规作图 2、作轴对称图形 （1）.作轴对称图形：分别作出原图形中某些点关于对称轴的对应点，再连接这些对应点，就可以得到原图 形的轴对称图形；（注意取特殊点） （2）.点（x , y）关于 x 轴对称的点的坐标为：（x , -y）;点（x , y）关于 y 轴对称的点的坐标为：（-x , y）; 二、考点点拨与训练 考点 1：轴对称图形的识别 典例：（2020·江苏新沂初三一模）剪纸艺术是我国古老的民间艺术之一，作为一种镂空艺术，它能给人以视 觉上的透空感觉和艺术享受．下列剪纸作品中，是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 解：A 选项能够关于一条直线对称，是轴对称图形，故 A 正确； B 选项不是轴对称图形，故 B 错误； C 选项不是轴对称图形，故 C 错误； D 选项不是轴对称图形，故 D 错误； 故选：A. 方法或规律点拨 本题考查了轴对称图形，理解其概念是判断轴对称图形的关键. 巩固练习 1．（ 2020·福建宁德初一期末）下列图案分别表示“福”“禄”“寿”“喜”，其中不是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：第一个图形不是轴对称图形， 第二、三、四个图形是轴对称图形， 故选：A． 2．（ 2020·山东济南初一期末）汉字书法博大精深，下列汉字“行”的不同书写字体中，是轴对称图形的是( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：A.是轴对称图形，故本选项符合题意； B.不是轴对称图形，故本选项不合题意； C.不是轴对称图形，故本选项不合题意； D.不是轴对称图形，故本选项不合题意． 故选：A． 3．（ 2020·河南郏县初一期末）以下是小明收集的四个轴对称图案，他收集错的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：A、是轴对称图形，故本选项错误； B、是轴对称图形，故本选项错误； C、不是轴对称图形，故本选项正确； D、是轴对称图形，故本选项错误． 故选 C． 4．（ 2020·山东槐荫初一期末）如图，四个图标分别是剑桥大学、北京大学、浙江大学和北京理工大学的校 徽的重要组成部分，其中是轴对称图形的是( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：A、不是轴对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形，符合题意； C、不是轴对称图形，不符合题意； D、不是轴对称图形，不符合题意； 故选：B． 5．（ 2020·河南罗山初二期末）下列全国志愿者服务标识的设计图中，是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：A、B、D 中的图形不是轴对称图形， C 中的图形是轴对称图形， 故选：C． 6．（ 2020·全国初二课时练习）我们理应对我们所得的一切心怀感恩，这是我们强大的基础.少年强则国强， 中国强则中国少年更强，中国强就是因为少年强.为了庆祝祖国生日小强做了以下几幅剪纸作品，其中是轴 对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误； B、是轴对称图形，故此选项正确； C、不是轴对称图形，故此选项错误； D、不是轴对称图形，故此选项错误. 故选 B． 考点 2：与线段垂直平分线相关的尺规作图 典例：（2020·广东禅城初一期末）已知△ABC 中，∠A＝80°，∠B＝40°． （1）尺规作图：在 AB 边上找一点 D 使得 DB＝DC（要求：不写作法，保留作图痕迹）； （2）求∠ADC． 【答案】（1）见解析；（2）20° 【解析】（1）解：如图所示：D 点为所求； （2）证明：∵∠A＝80°，∠B＝40°， ∴∠ACB＝60°． 又 DB＝DC，∠B＝40°， ∴∠DCB＝∠B＝40°， ∴∠ACD＝∠ACB﹣∠DCB＝20°． 方法或规律点拨 本题考查了线段垂直平分线的作法，线段垂直平分线的判定，三角形内角和定理，等腰三角形的性质等知 识，掌握线段垂直平分线的画法是解题关键． 巩固练习 1．（ 2020·山东岚山初二期末）如图，在△ABC 中，∠BAC＝80°，∠C＝70°，分别以点 A 和点 B 为圆心，大 于 1 2 AB 的长为半径画弧，两弧相交于点 M，N，作直线 MN，交 BC 于点 D，连接 AD，则∠DAC 的度数为 （ ） A．60° B．50° C．40° D．30° 【答案】B 【解析】解：∵∠BAC＝80°，∠C＝70°， ∴∠B=30° 由作图可知：MN 垂直平分线段 AB， 可得 DA=DB， 则∠DAB=∠B=30°， 故∠DAC=80°-30°=50°， 故选：B． 2．（ 2019·河南伊川初二期末）如图，△ABC 中，∠B=55°，∠C=30°，分别以点 A 和点 C 为圆心，大于 1 2 AC 的长为半径画弧，两弧相交于点 M，N 作直线 MN，交 BC 于点 D，连结 AD，则∠BAD 的度数为（ ） A．65° B．60° C．55° D．45° 【答案】A 【解析】由题意可得：MN 是 AC 的垂直平分线， 则 AD=DC，故∠C=∠DAC， ∵∠C=30°， ∴∠DAC=30°， ∵∠B=55°， ∴∠BAC=95°， ∴∠BAD=∠BAC-∠CAD=65°， 故选 A． 3．（ 2020·重庆南岸初二期末）如图，已知△ABC（AC＜BC），用尺规在 BC 边上确定一点 P，使得 PA+PC=BC， 则下列四种不同的作图方法中，正确．．的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：用尺规在 BC 上确定一点 P，使 PA+PB=BC，如图所示： 4．（ 2020·山东中区济南外国语学校初一期末）如图，长方形 ABCD 中∠DAC＝68°，请依据尺规作图的痕迹， 求出∠α 等于( ) A．34° B．44° C．56° D．68° 【答案】C 【解析】如图，由尺规作图的痕迹得：AE 是 DAC 的角平分线，直线l 是 AC 的垂直平分线， 68DAC   ， 1 34 , 902OAE DAC AOE        ， 90 56AEO OAE    ， 由对顶角相等得： 56AEO ， 故选：C． 5．（ 2020·浙江婺城初三三模）如图，在 ABC 中，分别以点 A 和点 B 为圆心，大于 1 2 AB 的长为半径画弧， 两弧相交于点 M ， N ，连接 MN ，交 BC 于点 D ，连接 AD ，若 A D C 的周长为 10 ， 7AB  ，则 的周长为（ ） A． 7 B． 14 C． 17 D． 20 【答案】C 【解析】解：在△ABC 中，以点 A 和点 B 为圆心，大于二分之一 AB 的长为半径画弧，两弧相交与点 M,N， 则直线 MN 为 AB 的垂直平分线，则 DA=DB,△ADC 的周长由线段 AC,AD,DC 组成，△ABC 的周长由线段 AB,BC,CA 组成而 DA=DB,因此△ABC 的周长为 10+7=17. 故选 C. 6．（ 2020·全国初二课时练习）如图，在 Rt△ABC 中∠C＝90°，AB＞BC，分别以顶点 A、B 为圆心，大于 1 2 AB 长为半径作圆弧，两条圆弧交于点 M、N，作直线 MN 交边 CB 于点 D．若 AD＝5，CD＝3，则 BC 长 是（ ） A．7 B．8 C．12 D．13 【答案】B 【解析】解：∵顶点 A、B 为圆心，大于 1 2 AB 长为半径作圆弧 ∴MN 为 AB 的垂直平分线 ∴AD=BD=5 ∵BC=BD+CD ∴BC=AD+CD=5+3=8 故选 B． 7．（ 2019·云南初三二模）如图，分别以线段 AB 的端点 A 和 B 为圆心大于 1 2 AB 的长为半径作弧，连接两 弧交点，得直线 l ，在直线 上取一点 C ，使得 25C A B   ，延长 AC 至 M ， B C M 的度数为__________． 【答案】50° 【解析】∵由作法可知直线 是线段 AB 的垂直平分线， ∴AC=BC， ∴∠CAB=∠CBA=25°， ∴∠BCM=∠CAB+∠CBA=25°+25°=50°． 故答案为：50°． 8．（ 2020·四川成华初一期末）如图，在 ABC 中，分别以点 A 和点 C 为圆心，大于 1 2 AC 长为半径画弧， 两弧相交于点 M、N；作直线 MN 分别交 BC、AC 于点 D、点 E，若 3AE m ， ABD 的周长为 13cm，则 的周长为________. 【答案】19cm 【解析】解：由尺规作图可知， MN 是线段 AC 的垂直平分线， D A D C ， 26A C A E， ABD 的周长为 13， 13ABADBDABDCBDABBC ， 则 ABC 的周长 13619()ABBCACcm ， 故答案为：19cm． 9．（ 2020·陕西陈仓初一期末）如图，在 ABC 的 BC 边上求作点 D ，做得 ABD△ 与 A C D△ 的面积相 等．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【解析】解：如图所示： 所以，D 点为所求． 10．（ 2020·福建宁德初一期末）如图，已知△ABC，点 P 为 BC 上一点． （1）尺规作图：作直线 EF，使得点 A 与点 P 关于直线 EF 对称，直线 EF 交直线 AC 于 E，交直线 AB 于 F；（保留作图痕迹，不写作法） （2）连接 PE，AP，AP 交 EF 于点 O，若 AP 平分∠BAC，请在（1）的基础上说明 PE=AF． 【答案】（1）见解析；（2）见解析. 【解析】解：（1）如图，直线 EF 即为所作图形； （2）∵AP 平分∠BAC， ∴∠BAP=∠CAP， 由（1）可知：EF 垂直平分 AP， ∴EF⊥AP，AE=PE， 在△AOF 和△AOE 中， ∠OAF=∠OAE，AO=AO，∠AOF=∠AOE=90°， ∴△AOF≌△AOE（ASA）， ∴AF=AE， ∴AF=PE. 11．（ 2020·深圳市龙岗区智民实验学校初一期末）如图，在 Rt△ABC 中，∠B=90°，用圆规分别以 A、C 为 圆心，大于 AC 的一半的长度为半径画弧，产生如图所示的两个交点 M、N，作直线 MN，交 AC 于点 D， 交 BC 于点 E． （1）根据作法判断直线 DE 为线段 AC 的 线； （2）连接 AE，若∠C=36°，求∠BAE 的度数． 【答案】（1）垂直平分；（2）∠BAE=18° 【解析】（1）由作法得 ED 为线段 AC 的垂直平分线， 故答案为：垂直平分； （2）∵ED 为线段 AC 的垂直平分线， ∴EA=EC， ∴∠EAC=∠C=36°， ∴∠BAE=90°-∠EAC-∠C =90°-36°-36°=18°． 故答案为：18°． 考点 3：线段垂直平分线的性质 典例：（2020·全国初二课时练习）如图，在△ABC 中，边 AB 的垂直平分线 OM 与边 AC 的垂直平分线 ON 交于点 O，分别交 BC 于点 D、E，已知△ADE 的周长 5cm． （1）求 BC 的长； （2）分别连接 OA、OB、OC，若△OBC 的周长为 13cm，求 OA 的长． 【答案】（1）5；（ 2）4 【解析】解：（1）∵DM 是线段 AB 的垂直平分线， ∴DA＝DB， 同理，EA＝EC， ∵△ADE 的周长 5， ∴AD+DE+EA＝5， ∴BC＝DB+DE+EC＝AD+DE+EA＝5（cm）； （2）∵△OBC 的周长为 13， ∴OB+OC+BC＝13， ∵BC＝5， ∴OB+OC＝8， ∵OM 垂直平分 AB， ∴OA＝OB， 同理，OA＝OC， ∴OA＝OB＝OC＝4（cm）． 方法或规律点拨 本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解 题的关键． 巩固练习 1．（ 2020·甘肃兰州初二期末）如图，在△ABC 中，DE 是边 AB 的垂直平分线，垂足为 E，交 BC 边于 D 点， 若 AC＝5 cm，△ADC 的周长为 17 cm，则 BC 的长为（ ） A．7 cm B．10 cm C．12 cm D．22 cm 【答案】C 【解析】解：∵AB 的垂直平分线 DE 交 BC 于点 D， ∴AD=BD， ∵AC=5cm，△ADC 的周长为 17cm， ∴AD+DC+AC=17cm， ∴AD+DC=BD+DC=BC=12cm． 故选：C． 2．（ 2020·山东章丘初一期末）如图，在△ABC 中，BC＝8cm，AB 的垂直平分线交 AB 于点 D，交边 AC 于 点 E，△BCE 的周长等于 18cm，则 AC 的长等于（ ） A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm 【答案】C 【解析】∵DE 是边 AB 的垂直平分线， ∴AE＝BE． ∴△BCE 的周长＝BC+BE+CE＝BC+AE+CE＝BC+AC＝18． 又∵BC＝8， ∴AC＝10（cm）． 故选：C． 3．（ 2020·浙江温岭初三一模）如图，在△ABC 中，∠C＝90°，点 E 是 AC 上的点，且∠1＝∠2，DE 垂直平 分 AB，垂足是 D，S△AED：S△ABC＝_____． 【答案】1：3 【解析】解：∵DE 垂直平分 AB， ∴AD＝BD， ∴S△ADE＝S△BDE， ∵∠1＝∠2，∠C＝∠BDE＝90°，BE＝BE， ∴△BDE≌△BCE（AAS）， ∴S△BDE＝S△BCE， ∴S△AED：S△ABC＝1：3， 故答案为：1：3． 4．（ 2020·安徽砀山初二期末）如图，在△ABC 中，AC＝5 cm，AB 的垂直平分线交 AC 于点 N，△BCN 的周长是 8 cm，则线段 BC 的长为________ cm. 【答案】3 【解析】∵MN 是线段 AB 的垂直平分线， ∴AN=BN， ∵△BCN 的周长是 8cm， ∴BN+NC+BC=8（cm）， ∴AN+NC+BC=8（cm）， ∵AN+NC=AC， ∴AC+BC=8（cm）， 又∵AC=5cm， ∴BC=8﹣5=3（cm）． 故答案为 3． 5．（ 2020·全国初二课时练习）如图，△ABC 中，∠BAC＝108°，E，G 分别为 AB，AC 中点， 且 DE⊥ AB，FG⊥AC，则∠DAF＝_________°． 【答案】36 【解析】∵∠BAC＝108°， ∴∠B+∠C＝72°， ∵DE、FG 分别垂直平分线段 AB、AC， ∴DA＝DB，FA＝FC， ∴∠DAE＝∠B，∠FAC＝∠C， ∴∠DAE＋∠FAC＝72°， ∴∠DAF＝∠BAC−（∠DAE＋∠FAC）＝36°， 故答案为：36． 6．（ 2020·山东商河初二期末）如图，已知∠BAC=60° ,∠B=80° ,DE 垂直平分 AC 交 BC 于点 D,交 AC 于点 E. (1)求∠BAD 的度数； (2)若 AB=10,BC=12,求△ABD 的周长. 【答案】（1）20°；（ 2）22. 【解析】解：(1)∵∠BAC=60°,∠B=80°, ∴∠C=180°-∠BAC-∠B=180°-60°-80°=40°, ∵DE 垂直平分 AC,∴DA=DC. ∴∠DAC=∠C=40°, ∴∠BAD=60°-40°=20°. （2）∵DE 垂直平分 AC, ∴AD=CD, ∴AB+AD+BD=AB+CD+BD=AB+BC=10+12=22， ∴△ABD 的周长为 22. 考点 4：线段垂直平分线的判定 典例：（2020·山东文登初一期中）如图，△ABC 中，∠ACB=90°，AD 平分∠BAC，DE⊥AB 于 E， （1）若∠BAC=50°，求∠EDA 的度数； （2）求证：直线 AD 是线段 CE 的垂直平分线． 【答案】（1）65°（2）证明见解析 【解析】（1）∵AD 平分∠BAC，∠BAC=50°， ∴∠EAD= 1 2 ∠BAC=25°， ∵DE⊥AB， ∴∠AED=90°， ∴∠ADE=90°-∠EAD=90°-25°=65°； （2）∵DE⊥AB， ∴∠AED=90°=∠ACB， 又 AD 平分∠BAC， ∴∠DAE=∠DAC， 又∵AD=AD， ∴△AED≌△ACD， ∴AE=AC，DE=DC ∴点 A 在线段 CE 的垂直平分线上，点 D 在线段 CE 的垂直平分线上， ∴直线 AD 是线段 CE 的垂直平分线. 方法或规律点拨 本题考查了直角三角形两锐角互余、三角形全等的判定与性质、线段垂直平分线的判定等，熟练掌握相关 的性质定理与判定定理是解题的关键. 巩固练习 1．（ 2020·陕西渭滨初一期末）如图，点 A,B,C 表示某公司三个车间的位置，现在要建一个仓库，要求它到 三个车间的距离相等，则仓库应建在（ ） A．△ABC 三边的中线的交点上 B．△ABC 三内角平分线的交点上 C．△ABC 三内高线的交点上 D．△ABC 三边垂直平分线的交点上 【答案】D 【解析】解：在三角形内，要找一点到三角形各顶点距离相等，只能是三边垂直平分线的交点上； A．中线的交点为三角形的重心，到顶点的距离是到对边中点的 2 倍，不符合题意； B．角平分线的交点为三角形的内心，到各边距离相等，不符合题意； C．高的交点为垂心，而到各顶点相等的只能是垂直平分线的交点，不符合题意； D．△ABC 三边垂直平分线的交点上，符合题意． 故选 D． 2．（ 2020·湖北宜昌）如图，点 E，F，G，Q，H 在一条直线上，且 E F G H ，我们知道按如图所作的直 线l 为线段 FG 的垂直平分线．下列说法正确的是（ ）． A． 是线段 EH 的垂直平分线 B． 是线段 EQ 的垂直平分线 C． 是线段 FH 的垂直平分线 D． 是 的垂直平分线 【答案】A 【解析】 ∵ 为线段 的垂直平分线, ∴FO=GO, 又∵EF=GH, ∴EO=HO, ∴ 是线段 的垂直平分线,故 A 正确 由上可知 EO≠QO,FO≠OH,故 B、C 错误 ∵ 是直线并无垂直平分线，故 D 错误 故选：A． 3．（ 2020·河北迁西初三二模）如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠B=32°，以 A 为圆心，任意长为半径画弧分 别交 AB，AC 于点 M 和 N，再分别以 M，N 为圆心，大于1 2MN 的长为半径画弧，两弧交于点 P，连接 AP 并延长交 BC 于点 D，则下列说法： ①AD 是∠BAC 的平分线； ②CD 是△ADC 的高； ③点 D 在 AB 的垂直平分线上； ④∠ADC=61°． 其中正确的有（ ）. A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【答案】C 【解析】解：根据作法可得 AD 是∠BAC 的平分线，故①正确； ∵∠C=90°， ∴CD 是△ADC 的高，故②正确； ∵∠C=90°，∠B=32°， ∴∠CAB=58°， ∵AD 是∠BAC 的平分线， ∴∠CAD=∠DAB=29°， ∴AD≠BD， ∴点 D 不在 AB 的垂直平分线上，故③错误； ∵∠CAD=29°，∠C=90°， ∴∠CDA=61°，故④正确； 共有 3 个正确， 故选：C． 4．（ 2019·湖北十堰初二期中）如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，∠ABC=2∠C，BE 平分∠ABC 交 AC 于 E， AD⊥BE 于 D，下列结论：①AC-BE=AE；②点 E 在线段 BC 的垂直平分线上；③∠DAE=∠C；④BC=3AD， 其中正确的个数有（ ） A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个 【答案】B 【解析】∵ 90,2BACABCC ∴ 60 , 30ABC C      ∵BE 平分 ABC ∴ 1 302EBCABEABC  ∴ E B C C   ∴ E B E C ∴ ACBEACECAE ，则①正确 ∵ ∴点 E 在线段 BC 的垂直平分线上，则②正确 ∵ 90 ,30BACABE  ∴ 60AEB ∵ ADBE ∴ 30DAE ∴ DAEC  ，则③正确 ∵ 90 ,30BACC  ∴ 2BC AB ，则④错误 综上，正确的个数为 3 个 故选：B． 5．（ 2020·北京平谷初三一模）已知锐角∠AOB 如图， （1）在射线 OA 上取一点 C，以点 O 为圆心，OC 长为半径作弧 DE，交射线 OB 于点 F，连接 CF； （2）以点 F 为圆心，CF 长为半径作弧，交弧 DE 于点 G； （3）连接 FG，CG．作射线 OG． 根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ） A．∠BOG＝∠AOB B．若 CG＝OC，则∠AOB＝30° C．OF 垂直平分 CG D．CG＝2FG 【答案】D 【解析】解：由作图可得，OC＝OE，FC＝FG，OF＝OF， ∴△OCF≌△OGF（SSS）， ∴∠BOG＝∠AOB，故 A 选项正确； 若 CG＝OC＝OG，则△OCG 是等边三角形， ∴∠COG＝60°， ∴∠AOB＝ 1 2 ∠COG＝30°，故 B 选项正确； ∵OC＝OE，FC＝FG， ∴OF 垂直平分 CG，故 C 选项正确； ∴CG＝2MG＜2FG，故 D 选项错误； 故选：D． 6．（ 2020·咸阳百灵学校初二月考）如图，△ABC 中，AC＝BC，直线 l 经过点 C，则（ ） A．l 垂直 AB B．l 平分 AB C．l 垂直平分 AB D．不能确定 【答案】D 【解析】因为只知道直线 l 经过点 C，所以无法判定直线 l 与 AB 的关系． 故选：D． 7．（ 2020·山东郓城初二期末）已知，如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE、DF 分别是△ABD 和△ACD 的 高。求证：AD 垂直平分 EF。 【答案】见解析 【解析】证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠AED=∠AFD， 又∵AD 是△ABC 的角平分线， ∴∠1=∠2，DE=DF， ∴△AED≌△AFD（AAS）， ∴AE=AF， ∴点 A 在 EF 的垂直平分线上（到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上）， ∵DE=DF， ∴点 D 在 EF 的垂直平分线上， ∴AD 垂直平分 EF. 8．（ 2020·全国初二课时练习）如图，点 D 在 BC 上，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E、F，DE＝DF.求 证：AD 垂直平分 EF. 【答案】见解析 【解析】在 Rt△AED 和 Rt△AFD 中， DEDF ADAD    ＝ ＝ ∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL）， ∴AE=AF， 又∵DE=DF， ∴AD 是 EF 的垂直平分线，即 AD 垂直平分 EF． 9．（ 2020·北京朝阳初二期末）如图，△ABC 是等边三角形，△ADC 与△ABC 关于直线 AC 对称，AE 与 CD 垂直交 BC 的延长线于点 E，∠EAF＝45°，且 AF 与 AB 在 AE 的两侧，EF⊥AF． （1）依题意补全图形． （2）①在 AE 上找一点 P，使点 P 到点 B，点 C 的距离和最短； ②求证：点 D 到 AF，EF 的距离相等． 【答案】（1）详见解析；（2）①详见解析；②详见解析． 【解析】（1）补全图形，如图 1 所示 （2）①如图 2，连接 BD，P 为 BD 与 AE 的交点 ∵等边△ACD，AE⊥CD ∴PC=PD,PC+PB 最短等价于 PB+PD 最短 故 B,D 之间直线最短，点 P 即为所求． ②证明：连接 DE，DF．如图 3 所示 ∵△ABC，△ADC 是等边三角形 ∴AC＝AD，∠ACB＝∠CAD＝60° ∵AE⊥CD ∴∠CAE＝ 1 2 ∠CAD＝30° ∴∠CEA＝∠ACB﹣∠CAE＝30° ∴∠CAE＝∠CEA ∴CA＝CE ∴CD 垂直平分 AE ∴DA＝DE ∴∠DAE＝∠DEA ∵EF⊥AF，∠EAF＝45° ∴∠FEA＝45° ∴∠FEA＝∠EAF ∴FA＝FE，∠FAD＝∠FED ∴△FAD≌△FED（SAS） ∴∠AFD＝∠EFD ∴点 D 到 AF，EF 的距离相等． 考点 5：图形折叠问题（轴对称图形性质） 典例 1：（2020·湖北阳新初二期末）如图，AB⊥BC，AD⊥DC，∠BAD=100°，在 BC、CD 上分别找一点 M、 N，当△AMN 周长最小时，求∠MAN 的度数是多少？ 【答案】20°． 【解析】如图，作 A 关于 BC 和 CD 的对称点 A'，A″，连接 A'A″，交 BC 于 M，交 CD 于 N，则 A'A″即为△AMN 的周长最小值． ∵∠DAB=100°， ∴∠AA'M+∠A″=180°﹣∠BAD=180°﹣100°=80°． ∵∠MA'A=∠MAA'，∠NAD=∠A″，且∠MA'A+∠MAA'=∠AMN，∠NAD+∠A″=∠ANM，∴∠AMN+∠ ANM=∠MA'A+∠MAA'+∠NAD+∠A″=2(∠AA'M+∠A″)=2×80°=160°， ∴∠MAN=180°﹣160°=20°． 故当△AMN 周长最小时，∠MAN 的度数是 20°． 方法或规律点拨 本题考查的是轴对称-最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分 线的性质等知识，根据已知得出 M，N 的位置是解题关键． 典例 2：（2020·四川龙泉驿�初一期末）如图 a 是长方形纸带，∠DEF＝15°，将纸带沿 EF 折叠成图 b，则 ∠AEG 的度数_____度，再沿 BF 折叠成图 c．则图中的∠CFE 的度数是_____度． 【答案】150 135 【解析】解：如图，延长 AE 到 H，由于纸条是长方形， ∴EH∥GF， ∴∠1＝∠EFG， 根据翻折不变性得∠1＝∠2＝15°， ∴∠2＝∠EFG，∠AEG＝180°﹣2×15°＝150°， 又∵∠DEF＝15°， ∴∠2＝∠EFG＝15°，∠FGD＝15°+15°＝30°． 在梯形 FCDG 中，∠GFC＝180°﹣30°＝150°， 根据翻折不变性，∠CFE＝∠GFC﹣∠GFE＝150°﹣15°＝135°． 故答案为：150；135． 方法或规律点拨 此题主要考查了平行线的性质和图形的折叠，关键是掌握两直线平行，同旁内角互补，折叠前后角的度数 不变． 巩固练习 1．（ 2020·山东高唐初二期中）如图，将长方形纸片 ABCD 沿 BD 折叠，得到△ B C D ， CD 与 AB 交于点 E，若∠1＝35°，则∠2 的度数为（ ） A．30° B．20° C．35° D．55° 【答案】B 【解析】∵AB∥CD， ∴∠ABD=∠1=35°， ∵∠C=90°， ∴∠CBD=90°－35°=55°， 根据折叠图形可得：∠DBC′=∠DBC=55°， ∴∠2=55°－35°=20°， 故选 B． 2．（ 2020·山东高唐初二期中）如图，将长方形纸片 ABCD 沿 BD 折叠，得到△ B C D ， CD 与 AB 交于点 E，若∠1＝35°，则∠2 的度数为（ ） A．30° B．20° C．35° D．55° 【答案】B 【解析】∵AB∥CD， ∴∠ABD=∠1=35°， ∵∠C=90°， ∴∠CBD=90°－35°=55°， 根据折叠图形可得：∠DBC′=∠DBC=55°， ∴∠2=55°－35°=20°， 故选 B． 3．（ 2020·湖南渌口初一期末）如图,直线 MN 是四边形 AMBN 的对称轴,与对角线交与点 Q,点 P 是直线 MN 上任意一点,下列判断错误的是( ) A．AQ=BQ B．AP=BP C．∠MAP=∠MBP D．∠ANM=∠NMB 【答案】D 【解析】解：∵直线 MN 是四边形 AMBN 的对称轴， ∴点 A 与点 B 对应， ∴AP=BP，AQ=BQ， ∵点 P 是直线 MN 上的点， ∴∠MAP=∠MBP， ∴A，B，C 正确，D 错误， 故选：D． 4．（ 2020·河南罗山初二期末）如图,先将正方形纸片对折,折痕为 MN,再把 B 点折叠在折痕 MN 上,折痕为 AE,点 B 在 MN 上的对应点为 H,沿 AH 和 DH 剪下,这样剪得的△ADH 中 ( ) A．AH=DH≠AD B．AH=DH=AD C．AH=AD≠DH D．AH≠DH≠AD 【答案】B 【解析】解：由图形的对称性可知:AB=AH,CD=DH, ∵正方形 ABCD, ∴AB=CD=AD, ∴AH=DH=AD． 故选 B． 5．（ 2020·山东兖州初一期末）如图，弹性小球从点 P 出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形的边时 反弹，反弹时人射角等于反射角(即：∠1=∠2，∠3=∠4)．小球从 P 点出发第 1 次碰到长方形边上的点记为 A 点，第 2 次碰到长方形边上的点记为 B 点，……第 2020 次碰到长方形边上的点为图中的( ) A．A 点 B．B 点 C．C 点 D．D 点 【答案】D 【解析】解：如图所示，经过 6 次反弹后动点回到出发点 P， ∵2020÷6=336…4， ∴当点 P 第 2020 次碰到矩形的边时为第 337 个循环组的第 4 次反弹， ∴第 2020 次碰到矩形的边时的点为图中的点 D； 故选：D． 6．（ 2020·江苏锡山初一期末）如图，矩形纸片 ABCD 沿着 BE 折叠，使 C、D 两点分别落在 C1、D1 处，若 ∠ABC1＝45°，则∠ABE 的度数为（ ） A．22.5° B．21.5° C．22° D．21° 【答案】A 【解析】设∠ABE= x ， 根据折叠前后角相等可知，∠C1BE=∠CBE= 45 x ， ∵∠ABC=90°， ∴∠CBE+∠ABE=90°， 即 4590 xx ， 解得 22.5x ． 故选：A． 7．（ 2020·全国初二课时练习）如图，△ABC 中，D 点在 BC 上，将 D 点分别以 AB，AC 为对称轴，画出对 称点 E，F，并连接 AE，AF．图中∠EAF 的度数为（ ） A．113° B．124° C．129° D．134° 【答案】D 【解析】连接 AD， ∵D 点分别以 AB、AC 为对称轴，画出对称点 E、F， ∴∠EAB＝∠BAD，∠FAC＝∠CAD， ∵∠B＝62°，∠C＝51°， ∴∠BAC＝∠BAD＋∠DAC＝180°−62°−51°＝67°， ∴∠EAF＝2∠BAC＝134°， 故选 D． 8．（ 2020·陕西陈仓初一期末）如图， ABC 是一个三角形纸片，其中 AB AC ， 36A   ，沿 DE 折 叠纸片，使点 A 落在点 B 处，则 BEC_____． 【答案】 72 【解析】解：由折叠可知∠A=∠DBE=36°， ∴∠BEC=∠A+∠DBE=72°， 故答案为：72°． 9．（ 2020·四川龙泉驿初一期末）如图有一张直角三角形纸片，两直角边 AC＝4cm，BC＝8cm，把纸片的部 分折叠，使点 B 与点 A 重合，折痕为 DE，则△ACD 的周长为_____． 【答案】12cm． 【解析】解：由折叠的性质可知，AD＝BD， ∴△ACD 的周长＝AC+CD+AD＝AC+CD+DB＝AC+BC＝12（cm）， 故答案为：12cm． 10．（ 2020·四川内江初一期末）四边形 ABCD 中， 100A   ， 70C   ，点 M、N 分别在 AB、BC 上， 将 B M N△ 沿 MN 翻折，得 F M N ．若 //M F A D ， //F N D C ，则 D_____°； 【答案】95 【解析】解：∵MF∥AD，FN∥DC，∠A＝100°，∠C＝70°， ∴∠BMF＝∠A＝100°，∠FNB＝∠C＝70°， ∵将△BMN 沿 MN 翻折，得△FMN， ∴∠FMN＝∠BMN＝50°，∠FNM＝∠MNB＝35°， ∴∠F＝∠B＝180°﹣50°﹣35°＝95°， ∴∠D＝360°﹣100°﹣70°﹣95°＝95°． 故答案为：95． 11．（ 2020·山东郓城初一期末）如图，将△ABC 沿直线 DE 折叠后，使得点 B 与点 A 重合．已知 AC＝5 cm， △ADC 的周长为 17 cm，则 BC 的长为________． 【答案】12 cm 【解析】∵将△ABC 沿直线 DE 折叠后，使得点 B 与点 A 重合，∴AD＝BD． ∵AC＝5cm，△ADC 的周长为 17cm，∴AD+CD＝BC＝17﹣5＝12（cm）． 故答案为 12cm． 12．（ 2020·湖南渌口初一期末）如图，点 P 关于 OA、OB 轴对称的对称点分别为 C、D，连结 CD，交 OA 于 M，交 OB 于 N． （1）若 CD 的长为 18 厘米，求△PMN 的周长； （2）若∠CPD=131°，∠C=21°，∠D=28°，求∠MPN． 【答案】（1）18cm；（ 2） 82  ． 【解析】解：（1）∵点 P 关于 OA，OB 的轴对称点分别为 C、D，连接 CD，交 OA 于 M，交 OB 于 N， ∴PM=CM，ND=NP， ∵ P M NC△ =PN+PM+MN， 而 CD=CM+MN+ND=18cm， ∴ =PN+PM+MN= CM+MN+ND=18cm； （2）∵点 P 关于 OA、OB 轴对称的对称点分别为 C、D， ∴∠C=∠CPM=21°，∠D=∠DPN =28°， ∴∠MPN=∠CPD-∠CPM-∠DPN=131°-21°-28°=82°． 考点 6：轴对称与图形坐标 典例：（2020·山东岚山初二期末）如图，△ABC 的三个顶点在边长为 1 的正方形网格中，已知 A（3，3）， B （﹣3，﹣3）， C（1，﹣3）． （1）画出△ABC 及关于 y 轴对称的△A1B1C1； （2）写出点 A 的对应点 A1 的坐标是 ，点 B 的对应点 B1 的坐标是 ，点 C 的对应点 C1 的坐 标是 ； （3）请直接写出第四象限内以 AB 为边且与△ABC 全等的三角形的第三个顶点（不与 C 重合）的坐标 ___________． 【答案】（1）见解析；（2）（ -3，3），（ 3，-3），（ -1，-3）；（ 3）（ 3，-1） 【解析】（1）如图所示，△A1B1C1 即为所求； 　 （2）A1（-3，3）， B1（3，-3）， C1（-1，-3）， 故答案为：（-3，3），（3，-3），（ -1，-3）； （3）如图，△ ABC  △ BAC，且点C 在第四象限内， ∴ C  （3，-1）； 故答案为：（3，-1）． 方法或规律点拨 本题主要考查了运用轴对称变换进行作图、坐标确定位置的运用以及全等三角形的性质，熟练掌握网格结 构并准确找出对应点的位置是解题的关键． 巩固练习 1．（ 2019·河南伊川初二期末）点  32P ， 关于 x 轴的对称点的坐标是（ ） A．（ 3 , 2） B．（ -3,2） C．（ -3, -2） D．（ 3, -2） 【答案】D 【解析】解：关于 x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，所以点 P(3，2)关于 x 轴的对称点的坐 标是(3，-2)， 故选 D． 2．（ 2020·吉林舒兰初二期末）在平面直角坐标系中，点 A（1，2）关于 x 轴对称的点的坐标是（ ） A．（ 1，2） B．（ 1，－2） C．（－1，2） D．（－1，－2） 【答案】B 【解析】解：∵点 A 与点 A′关于 x 轴对称，已知 A（1，2）， ∴点 A′的坐标为（1，-2）． 故选：B． 3．（ 2020·湖南渌口初二期末）在平面直角坐标系中，点 A（m，2）与点 B（3，n）关于 y 轴对称，则（ ） A．m＝3，n＝2 B．m＝﹣3，n＝2 C．m＝2，n＝3 D．m＝﹣2，n＝﹣3 【答案】B 【解析】解：∵点 A（m，2）与点 B（3，n）关于 y 轴对称， ∴m=-3，n=2． 故选：B． 4．（ 2020·山东岚山初二期末）如果点（ 2 m ，1 m ）关于 x 轴的对称点在第四象限内，则 m 的取值范围 是________． 【答案】 1m  【解析】∵点 P（ ， ）关于 x 轴的对称点在第四象限内， ∴点 P（ ， ）在第一象限， ∴ 20 10 m m    ， 解得： ． 故答案为： ． 5．（ 2020·湖南隆回初二期末）已知点 A( a ，2)与点 B(4，2)关于 y 轴对称，则 =____． 【答案】 4 【解析】因为 A、B 两点纵坐标相同，且关于 y 轴对称， 所以可得出 A、B 两点横坐标互为相反数，故 4a  ． 故填： ． 6．（ 2020·北京密云初二期末）在平面直角坐标系中，点 P(1，2）关于 y 轴的对称点 Q 的坐标是________； 【答案】（-1，2） 【解析】关于 y 轴对称的两点坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标相同. 故 Q 坐标为（-1，2）. 故答案为：（-1，2）. 7．（ 2020·河北青龙初二期末）已知点  1,5Ma 和  2, 1Nb 关于 轴对称，则 ab 的值为_______． 【答案】 1 6 【解析】解：∵点 M（a-1，5）和 N（2，b-1）关于 y 轴对称， ∴b-1= 5， 解得：b=6， 2+a-1=0， 解得：a= -1， 则 ab = 1 6 ． 故答案为： ． 8．（ 2020·四川成都初一期末）如图，在长度为 1 个单位长度的小正方形组成的正方形网格中， ABC 的三 个顶点 A、B、C 都在格点上． （1）在图中画出与 ABC 关于直线 y 成轴对称的 A1B1C1； （2）求 ABC 的面积； （3）在 x 轴上找出一点 P，使得 PB+PC 的值最小．（不需计算，在图上直接标记出点 P 的位置） 【答案】（1）见解析；（2） 7 2 ；（ 3）见解析 【解析】解：（1）如图所示，△A1B1C1 即为所求； （2）△ABC 的面积＝3×3﹣ 1 2 ×2×3﹣ ×1×2﹣ ×1×3＝ ； （3）如图所示，点 P 即为所求． 9．（ 2020·湖南隆回初二期末）△ABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示． （1）作出△ABC 关于 y 轴对称的△A1B1C1；并写出点 A 的对应点 A1 的坐标； （2）将△ABC 向下平移 5 个单位长度，画出平移后的△A2B2C2，并写出点 A 的对应点 A2 的坐标． 【答案】（1）作图见解析，A1(2，3)；（ 2）作图见解析，A2(-2，-2)． 【解析】解：（1）如图所示，△A1B1C1 为所求； 点 A1 的坐标为（2，3）； （2）如图所示，△A2B2C2 为所求； 点 A2 的坐标是（ 2 ， ）； 10．（ 2020·山东济南初一期末）如图所示，在边长为 1 的小正方形组成的网格中，△ABC 的三个顶点分别在 格点上，请在网格中按要求作出下列图形，并标注相应的字母． （1）作△A1B1C1，使得△A1B1C1 与△ABC 关于直线 l 对称； （2）△A1B1C1 的面积是 ． 【答案】（1）见详解；（2）4 【解析】解：（1）如图所示： （2）△A1B1C1 得面积： 1113 42 31 22 4123 1 44222        