北师大版八年级上册数学第一章勾股定理PPT 64页

第一章 勾股定理 1 探索勾股定理 课时 1 认识勾股定理 目 录 CONTENTS 1 学习目标 2 新课导入 3 新课讲解 4 课堂小结 5 当堂小练 6 拓展与延伸 7 布置作业 学习目标 1 . 经历探索、验证勾股定理的过程，了解勾股定理的各种探索方法及内在联系 . （重点） 新课导入 相传 2500 年前，一次毕达哥拉斯去朋友家作客， 发现朋友家用砖铺成的地 面反映直角三角形三边的 某种数量关系，同学们， 我们也来观察下面的图案， 看看你能发现什么？ 新课讲解 知识点 1 勾股定理 我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的 直角边称为股，斜边称为弦 . 图 1 称为“弦图”，最早是由 三国时期的数学家赵爽在为 《 周髀算经 》 作法时给出的 . 　　 弦 股 勾 图 1 新课讲解 定义： 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用 a ， b 和 c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么 a 2 ＋ b 2 ＝ c 2 . 数学表达式： 在 Rt△ ABC 中， ∠ C ＝ 90° ， AB ＝ c ， AC ＝ b ， BC ＝ a ，则 a 2 ＋ b 2 ＝ c 2 . 定义 新课讲解 例 1 解：由题意易知， AC 2 ＋ BC 2 ＝ AB 2 ， 所以 AC 2 ＝ AB 2 － BC 2 ＝ 10 2 － 8 2 ＝ 36. 所以 AC ＝ 6 cm. 典例分析 在 Rt△ ABC 中， ∠ C ＝ 90° ， AB ＝ 10 cm ， BC ＝ 8 cm ，求 AC 的长． 课堂小结 勾股定理 直角三角形三边关系 数学表达式 a 2 ＋ b 2 ＝ c 2 C 当堂小练 1. 若一个直角三角形的两直角边的长分别为 a ， b ，斜边长为 c ，则下列关于 a ， b ， c 的关系式中不正确的是 ( 　　 ) A ． b 2 ＝ c 2 － a 2 B ． a 2 ＝ c 2 － b 2 C ． b 2 ＝ a 2 － c 2 D ． c 2 ＝ a 2 ＋ b 2 当堂小练 2. 如图，在边长为 1 个单位长度的小正方形组成的网格中，点 A ， B 都是格点，则线段 AB 的长度为 ( 　　 ) A ． 5 B ． 6 C ． 7 D ． 25 A 拓展与延伸 1. 勾股定理的适用条件： 直角三角形；它反映了直角 三角形三边关系． 2 ． 由勾股定理的基本关系式： a 2 ＋ b 2 ＝ c 2 可得到一些 变形关系式： c 2 ＝ a 2 ＋ b 2 ＝ ( a ＋ b ) 2 － 2 ab ＝ ( a － b ) 2 ＋ 2 ab ； a 2 ＝ c 2 － b 2 ＝ ( c ＋ b )( c － b ) 等． 第一章 勾股定理 1 探索勾股定理 课时 2 验证并应用 勾股定理 目 录 CONTENTS 1 学习目标 2 新课导入 3 新课讲解 4 课堂小结 5 当堂小练 6 拓展与延伸 7 布置作业 学习目标 1 . 掌握勾股定理，并能用勾股定理解决一些实际问题 . （重点） 新课导入 上一节课，我们通过测量和数格子的方法发现了 勾股定理 . 在下图中，分别以直角三角形的三条边为边 长向外作正方形，你能利用这个图说明勾股定理的正 确性吗？你是如何做的？与同伴进行交流 . 新课讲解 知识点 1 勾股定理的验证 做一做 为了计算图 1 中大正方形的面积，小明对这个大正方形 适当割补后得到图 2 、图 3. 图 1 图 2 图 3 新课讲解 1. 将所有三角形和正方形的面积用 a,b , c 的关系式表示出来； 2. 图 2 、图 3 中正方形 ABCD 的面积分别是多少？你们有哪 些表示方式？与同伴进行交流 . 3. 你能分别利用图 2 、图 3 验证勾股定理吗？ 议一议 常用方法：通过拼图法利用求面积来验证．这种 方法是以数形转换为指导思想，图形拼补为手段， 以各部分面积之间的关系为依据而达到目的的． 新课讲解 结论 2 ．用拼图法验证勾股定理的思路： (1) 图形经过割补、拼接后，只要没有重叠，没有空 隙，面积不会改变； (2) 根据同一种图形的面积的不同表示方法列出等式； (3) 利用等式性质验证结论成立，即拼出图形 → 写出 图形面积的表达式→找出等量关系→恒等变形→ 推导结论． 新课讲解 新课讲解 例 1 典例分析 如 图是用硬纸板做成的四个两直角边长分别是 a ， b ，斜边长为 c 的全等的直角三角形和一个边长为 c 的正方形，请你将它们拼成一个能说明勾股定理正确性的图形． (1) 画出拼成的这个图形的示意图； (2) 说明勾股定理的正确性．   新课讲解 分析：可以以边长为 c 的正方形为基础，一在形外补拼 ( 不 重叠 ) 成新的正方形；二在形内叠合成新的正方形． 解：方法一 ( 补拼法 ) ： (1) 如图 . (2) 因为大正方形的面积可以表示为 ( a ＋ b ) 2 ， 也可以表示为 c 2 ＋ 4× ab ， 所以 ( a ＋ b ) 2 ＝ c 2 ＋ 4× ab ， a 2 ＋ b 2 ＋ 2 ab ＝ c 2 ＋ 2 ab . 新课讲解 所以 a 2 ＋ b 2 ＝ c 2 ， 即直角三角形两直角边的平方和 等于斜边的平方． 方法二 ( 叠合法 ) ： (1) 如图 . (2) 因为大正方形的面积可以表示为 c 2 ， 也可以表示为 ab ×4 ＋ ( b － a ) 2 ， 所以 c 2 ＝ ab ×4 ＋ ( b － a ) 2 ， c 2 ＝ 2 ab ＋ b 2 － 2 ab ＋ a 2 . 所以 a 2 ＋ b 2 ＝ c 2 ， 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 新课讲解 知识点 2 勾股定理的应用 勾股定理的应用： （ 1 ）已知直角三角形的两边长，求其第三边长 （ 2 ）已知直角三角形的一边，确定其另两边长之间的关系 （ 3 ）证明含有平方关系的几何关系 （ 4 ）解决生产、生活中的实际问题 新课讲解 例 2 典例分析 我方侦察员小王在距离东西向公路 400m 处侦察，发现一辆敌方汽车在公路上疾驰 . 他赶紧拿出红外测距仪，测得汽车与他相距 400m ， 10s 后，汽车与他相距 500m, 你能帮小王计算敌方汽车的速度吗？ 分析：根据题意，可以画出右图，其中点 A 表示小王所在位置，点 C 、点 B 表示两个时刻敌方汽车的位置 . 由于小王距离公路 400m ，因此∠ C 是直角，这样就可以由勾 股定理来解决这个问题了 . 解：由勾股定理，可以得到 AB 2 =BC 2 +AC 2 ， 也就是 500 2 = BC 2 +400 2 , 所以 BC =300. 敌方汽车 10s 行驶了 300m ， 那么它 1h 行驶的距离为 300×6×60=108000 （ m ） , 即它行驶的速度为 108km/h. 新课讲解 课堂小结 勾股定理 验证 应用 当堂小练 1. 用四个边长均为 a ， b ， c 的直角三角板，拼成如 图所示的图形，则下列结论中正确的是 ( 　　 ) A ． c 2 ＝ a 2 ＋ b 2 B ． c 2 ＝ a 2 ＋ 2 ab ＋ b 2 C ． c 2 ＝ a 2 － 2 ab ＋ b 2 D ． c 2 ＝ ( a ＋ b ) 2 A 当堂小练 2. 两棵树之间的距离为 8 m ，两棵树的高度分别是 8 m ， 2 m ，一只小鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，这只小鸟至少要飞多少米？ 分析：先根据题意画出图形，然后添加辅助线，构造直角三角形，再利用勾股定理求解． 解：根据题意画出示意图，如图所示， 两棵树的高度分别为 AB ＝ 8 m ， CD ＝ 2 m ， 两棵树之间的距离 BD ＝ 8 m ， 过点 C 作 CE ⊥ AB ，垂足为 E ，连接 AC . 则 BE ＝ CD ＝ 2 m ， EC ＝ BD ＝ 8 m ， AE ＝ AB － BE ＝ 8 － 2 ＝ 6(m) ． 在 Rt△ ACE 中，由勾股定理，得 AC 2 ＝ AE 2 ＋ EC 2 ， 即 AC 2 ＝ 6 2 ＋ 8 2 ＝ 100 ，所以 AC ＝ 10 m. 答：这只小鸟至少要飞 10 m ． 当堂小练 拓展与延伸 　 用拼图验证勾股定理的方法：首先通过拼图找出 面积之间的相等关系，再由面积之间的相等关系结合 图形进行代数变形即可推导出勾股定理． 它一般都经过以下几个步骤：拼出图形 → 写出图 形面积的表达式 → 找出相等关系 → 恒等变形 → 导出勾 股定理． 第一章 勾股定理 2 一定是直角三角形吗 目 录 CONTENTS 1 学习目标 2 新课导入 3 新课讲解 4 课堂小结 5 当堂小练 6 拓展与延伸 7 布置作业 学习目标 1 . 掌握直角三角形的判别条件，并哪个那个进行简单 运算. （重点） 2 . 掌握勾股定理的概念，探索常用勾股数的规律. （重点） 新课导入 问题1 在一个直角三角形中三条边满足什么样的关系呢？ 问题2 如果一个三角形中有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是否就 是 直角三角形呢？ 答：在一个直角三角形中两直角边的平方和 等 于斜边的平方 新课讲解 知识点 1 直角三角形的判定 合作探究 下面有三组数分别是一个三角形的三边长 a , b , c : ①5,12,13; ②7,24,25; ③8,15,17. 回答这样两个问题: 1.这三组数都满足 a 2 + b 2 = c 2 吗？ 2.分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？ ① 5,12,13满足 a 2 + b 2 = c 2 ,可以构成直角三角形; ② 7,24,25满足 a 2 + b 2 = c 2 ,可以构成直角三角形; ③ 8,15,17满足 a 2 + b 2 = c 2 ,可以构成直角三角形. 新课讲解 新课讲解 讨论 如果三角形的三边长 a,b,c 满足 a 2 +b 2 =c 2 ,那么这个三角形是直角三角形. 结论 从刚才的分组实验，有什么样的结论发现吗？ 新课讲解 例 1 典例分析 一个零件的形状如图（ a ）所示，按规定这个零件中∠ A 和∠ DBC 都应为直角，工人师傅量得这个零件各边尺寸如图（ b ）所示，这个零件合格吗？ A B C D A B C D 3 4 5 12 13 ( a ) ( b ) 新课讲解 解：在△ ABD 中， AB 2 + AD 2 =9+16=25= BD 2 ， 所以 △ ABD 是直角三角形，∠ A 是直角。 在△ BCD 中， BD 2 + BC 2 =25+144=169= CD 2 ，所以△ BCD 是直角三角形，∠ DBC 是直角。因此这个零件符合要求。 新课讲解 讨论 满足 a 2 + b 2 = c 2 的 三个 正整数 ,称为 勾股数 . 结论 如果三角形的三边长 a , b , c 满足 a 2 + b 2 = c 2 ,那么这个三角形就是 直角三角形 吗？ 知识点 2 勾股数 2. 如图，在正方形 ABCD 中， AB =4， AE =2， DF =1，图中有几个直角三角形，你是如何判断的？与你的同伴交流。 4 1 2 2 4 3 解:△ ABE ，△ DEF ，△ FCB 均为直角三角形 由勾股定理知 BE 2 =2 2 +4 2 =20， EF 2 =2 2 +1 2 =5， BF 2 =3 2 +4 2 =25 ∴ BE 2 + EF 2 = BF 2 ∴ △ BEF 是直角三角形 新课讲解 例 典例分析 课堂小结 一直是直角三角形吗 直角三角想的判定 勾股数 当堂小练 1. 一艘在海上朝正北方向航行的轮船，在航行240海里时方位仪坏了，凭经验，船长指挥船左传90°，继续航行70海里，则距出发地250海里，你能判断船转弯后，是否沿正西方向航行？ 解:由题意画出相应的图形 AB =240海里, BC =70海里,AC=250海里; 在△ABC中 AC 2 - AB 2 =250 2 -240 2 =4900=70 2 = BC 2 即 AB 2 + BC 2 = AC 2 ∴△ ABC 是Rt△ 答:船转弯后,是沿正西方向航行的 。 A B C 北 2. 如图，哪些是直角三角形，哪些不是，说说你的理由？ ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 解： ④⑤是直角三角形 ①②③⑥不是直角三角形 当堂小练 拓展与延伸 同学们还能找出哪些勾股数呢？ 第一章 勾股定理 3 勾股定理的应用 目 录 CONTENTS 2 新课导入 3 新课讲解 4 课堂小结 5 当堂小练 6 拓展与延伸 7 布置作业 1 学习目标 学习目标 1 . 利用勾股定理求解立体图形上两点之间的最短距离. （重点） 2 . 应用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题. （难点） 新课导入 两点之间 , 线段最短． 从 二教楼到综合楼怎样走最近？说明理由． 新课讲解 知识点 1 勾股定理 合作探究 问题： 在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在B处，恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从A处爬向B处，你们想一想，蚂蚁怎么走最近？ B A 蚂蚁 A→B 的路线 B A A’ d A B A’ A B B A O 新课讲解 A B A’ B A A’ r O h 怎样计算 AB ？ 侧面展开图 在 Rt △AA'B 中，利用勾股定理可得 : 其中 A A' 是 圆柱体的高 , A' B 是底面圆周长的一半 ( πr ) ． 新课讲解 若 已知圆柱体高为 12 cm ，底面半径为 3 cm ， π 取 3 ，则 : B A A’ 3 O 12 侧面展开图 12 3π A A’ B 新课讲解 新课讲解 知识点 2 应用勾股定理及其逆定理解决实际问题 李 叔叔想要检测雕塑底座正面的 AD 边和 BC 边是否分别垂直于底边 AB ，但他随身只带了卷尺， （ 1 ）你能替他想办法完成任务吗？ 所以 AD 和 AB 垂直． （ 2 ）李叔叔量得 AD 长是 30 cm ， AB 长是 40 cm ， BD 长是 50 cm ， AD 边垂直于 AB 边吗？为什么？ 解： AD ²+ AB ²=900+1600=2500 BD ²=2500 所以 AD ²+ AB ²= BD ² 所以三角形 ABD 是直角三角形 新课讲解 （ 3 ）小明随身只有一个长度为 20 cm 的刻度尺，他能有办法检验 AD 边是否垂直于 AB 边吗？ BC 边与 AB 边呢？ 新课讲解 新课讲解 例 1 典例分析 甲、乙两位探险者到沙漠进行探险， 某日早晨 8 ： 00 甲先出发，他以 6 km/h 的速度向正东行走 ， 1 小时后乙出发，他以 5 km/h 的速度向 正走 ．上午 10 ： 00 ，甲、乙两人相距多远？ 新课讲解 分析： 如图已知A是甲、乙的出发点，10:00甲到达B点,乙到达C点．则： AB =2×6=12 (km ) AC =1×5=5( km ) 在 Rt△ABC 中 AB²+AC² =144+25=169 ∴ BC =13(km) 课堂小结 勾股定理应用 确定立体图形上的最短路线 利用勾股定理及其逆定理 解决实际问题 1. 如图，台阶 A 处的蚂蚁要爬到 B 处搬运食物，它怎么走最近？并求出最近距离． 解 : AB 2 =15 2 +20 2 +=625=25 2 ∴ AB =25 答：沿 AB 走最近，最近距离为 25 ． 当堂小练 2. 有一个高为 1.5 m ，半径是 1 m 的圆柱形油桶，在靠近边的地方有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分为 0.5 m ，问这根铁棒有多长？ 你能尝试画出示意图吗 ? 当堂小练 解 : 设伸入油桶中的长度为 x m, 则最长时 : x 2=1.5 2 +2 2 x =2.5 ∴ 最长是 2.5+0.5=3(m) 最短是 1.5+0.5=2(m) ． 答 : 这根铁棒的长应在 2 ～ 3m 之间． 当堂小练 在我国古代数学著作 《 九章算术 》 中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为 10 尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面 1 尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？ 拓展与延伸 设水池的水深 AC 为 x 尺，则这根芦苇长为 AD=AB= （ x +1 ）尺， 在直角三角形 ABC 中， BC=5 尺 由勾股定理得 :BC 2 +AC 2 =AB 2 即 5 2 + x 2 =( x +1) 2 25+ x 2 = x 2 +2 x +1 ， 2 x =24 ， ∴ x = 12 ， x +1=13 ． 答：水池的水深 12 尺，这根芦苇长 13 尺． 解： 拓展与延伸