• 805.60 KB
  • 2021-10-27 发布

北师大版八年级上册数学第一章勾股定理PPT

  • 64页
  • 当前文档由用户上传发布,收益归属用户
  1. 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
  2. 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
  3. 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
  4. 网站客服QQ:403074932
第一章 勾股定理 1 探索勾股定理 课时 1 认识勾股定理 目 录 CONTENTS 1 学习目标 2 新课导入 3 新课讲解 4 课堂小结 5 当堂小练 6 拓展与延伸 7 布置作业 学习目标 1 . 经历探索、验证勾股定理的过程,了解勾股定理的各种探索方法及内在联系 . (重点) 新课导入 相传 2500 年前,一次毕达哥拉斯去朋友家作客, 发现朋友家用砖铺成的地 面反映直角三角形三边的 某种数量关系,同学们, 我们也来观察下面的图案, 看看你能发现什么? 新课讲解 知识点 1 勾股定理 我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾,较长的 直角边称为股,斜边称为弦 . 图 1 称为“弦图”,最早是由 三国时期的数学家赵爽在为 《 周髀算经 》 作法时给出的 .    弦 股 勾 图 1 新课讲解 定义: 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果用 a , b 和 c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边,那么 a 2 + b 2 = c 2 . 数学表达式: 在 Rt△ ABC 中, ∠ C = 90° , AB = c , AC = b , BC = a ,则 a 2 + b 2 = c 2 . 定义 新课讲解 例 1 解:由题意易知, AC 2 + BC 2 = AB 2 , 所以 AC 2 = AB 2 - BC 2 = 10 2 - 8 2 = 36. 所以 AC = 6 cm. 典例分析 在 Rt△ ABC 中, ∠ C = 90° , AB = 10 cm , BC = 8 cm ,求 AC 的长. 课堂小结 勾股定理 直角三角形三边关系 数学表达式 a 2 + b 2 = c 2 C 当堂小练 1. 若一个直角三角形的两直角边的长分别为 a , b ,斜边长为 c ,则下列关于 a , b , c 的关系式中不正确的是 (    ) A . b 2 = c 2 - a 2 B . a 2 = c 2 - b 2 C . b 2 = a 2 - c 2 D . c 2 = a 2 + b 2 当堂小练 2. 如图,在边长为 1 个单位长度的小正方形组成的网格中,点 A , B 都是格点,则线段 AB 的长度为 (    ) A . 5 B . 6 C . 7 D . 25 A 拓展与延伸 1. 勾股定理的适用条件: 直角三角形;它反映了直角 三角形三边关系. 2 . 由勾股定理的基本关系式: a 2 + b 2 = c 2 可得到一些 变形关系式: c 2 = a 2 + b 2 = ( a + b ) 2 - 2 ab = ( a - b ) 2 + 2 ab ; a 2 = c 2 - b 2 = ( c + b )( c - b ) 等. 第一章 勾股定理 1 探索勾股定理 课时 2 验证并应用 勾股定理 目 录 CONTENTS 1 学习目标 2 新课导入 3 新课讲解 4 课堂小结 5 当堂小练 6 拓展与延伸 7 布置作业 学习目标 1 . 掌握勾股定理,并能用勾股定理解决一些实际问题 . (重点) 新课导入 上一节课,我们通过测量和数格子的方法发现了 勾股定理 . 在下图中,分别以直角三角形的三条边为边 长向外作正方形,你能利用这个图说明勾股定理的正 确性吗?你是如何做的?与同伴进行交流 . 新课讲解 知识点 1 勾股定理的验证 做一做 为了计算图 1 中大正方形的面积,小明对这个大正方形 适当割补后得到图 2 、图 3. 图 1 图 2 图 3 新课讲解 1. 将所有三角形和正方形的面积用 a,b , c 的关系式表示出来; 2. 图 2 、图 3 中正方形 ABCD 的面积分别是多少?你们有哪 些表示方式?与同伴进行交流 . 3. 你能分别利用图 2 、图 3 验证勾股定理吗? 议一议 常用方法:通过拼图法利用求面积来验证.这种 方法是以数形转换为指导思想,图形拼补为手段, 以各部分面积之间的关系为依据而达到目的的. 新课讲解 结论 2 .用拼图法验证勾股定理的思路: (1) 图形经过割补、拼接后,只要没有重叠,没有空 隙,面积不会改变; (2) 根据同一种图形的面积的不同表示方法列出等式; (3) 利用等式性质验证结论成立,即拼出图形 → 写出 图形面积的表达式→找出等量关系→恒等变形→ 推导结论. 新课讲解 新课讲解 例 1 典例分析 如 图是用硬纸板做成的四个两直角边长分别是 a , b ,斜边长为 c 的全等的直角三角形和一个边长为 c 的正方形,请你将它们拼成一个能说明勾股定理正确性的图形. (1) 画出拼成的这个图形的示意图; (2) 说明勾股定理的正确性.   新课讲解 分析:可以以边长为 c 的正方形为基础,一在形外补拼 ( 不 重叠 ) 成新的正方形;二在形内叠合成新的正方形. 解:方法一 ( 补拼法 ) : (1) 如图 . (2) 因为大正方形的面积可以表示为 ( a + b ) 2 , 也可以表示为 c 2 + 4× ab , 所以 ( a + b ) 2 = c 2 + 4× ab , a 2 + b 2 + 2 ab = c 2 + 2 ab . 新课讲解 所以 a 2 + b 2 = c 2 , 即直角三角形两直角边的平方和 等于斜边的平方. 方法二 ( 叠合法 ) : (1) 如图 . (2) 因为大正方形的面积可以表示为 c 2 , 也可以表示为 ab ×4 + ( b - a ) 2 , 所以 c 2 = ab ×4 + ( b - a ) 2 , c 2 = 2 ab + b 2 - 2 ab + a 2 . 所以 a 2 + b 2 = c 2 , 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 新课讲解 知识点 2 勾股定理的应用 勾股定理的应用: ( 1 )已知直角三角形的两边长,求其第三边长 ( 2 )已知直角三角形的一边,确定其另两边长之间的关系 ( 3 )证明含有平方关系的几何关系 ( 4 )解决生产、生活中的实际问题 新课讲解 例 2 典例分析 我方侦察员小王在距离东西向公路 400m 处侦察,发现一辆敌方汽车在公路上疾驰 . 他赶紧拿出红外测距仪,测得汽车与他相距 400m , 10s 后,汽车与他相距 500m, 你能帮小王计算敌方汽车的速度吗? 分析:根据题意,可以画出右图,其中点 A 表示小王所在位置,点 C 、点 B 表示两个时刻敌方汽车的位置 . 由于小王距离公路 400m ,因此∠ C 是直角,这样就可以由勾 股定理来解决这个问题了 . 解:由勾股定理,可以得到 AB 2 =BC 2 +AC 2 , 也就是 500 2 = BC 2 +400 2 , 所以 BC =300. 敌方汽车 10s 行驶了 300m , 那么它 1h 行驶的距离为 300×6×60=108000 ( m ) , 即它行驶的速度为 108km/h. 新课讲解 课堂小结 勾股定理 验证 应用 当堂小练 1. 用四个边长均为 a , b , c 的直角三角板,拼成如 图所示的图形,则下列结论中正确的是 (    ) A . c 2 = a 2 + b 2 B . c 2 = a 2 + 2 ab + b 2 C . c 2 = a 2 - 2 ab + b 2 D . c 2 = ( a + b ) 2 A 当堂小练 2. 两棵树之间的距离为 8 m ,两棵树的高度分别是 8 m , 2 m ,一只小鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶,这只小鸟至少要飞多少米? 分析:先根据题意画出图形,然后添加辅助线,构造直角三角形,再利用勾股定理求解. 解:根据题意画出示意图,如图所示, 两棵树的高度分别为 AB = 8 m , CD = 2 m , 两棵树之间的距离 BD = 8 m , 过点 C 作 CE ⊥ AB ,垂足为 E ,连接 AC . 则 BE = CD = 2 m , EC = BD = 8 m , AE = AB - BE = 8 - 2 = 6(m) . 在 Rt△ ACE 中,由勾股定理,得 AC 2 = AE 2 + EC 2 , 即 AC 2 = 6 2 + 8 2 = 100 ,所以 AC = 10 m. 答:这只小鸟至少要飞 10 m . 当堂小练 拓展与延伸   用拼图验证勾股定理的方法:首先通过拼图找出 面积之间的相等关系,再由面积之间的相等关系结合 图形进行代数变形即可推导出勾股定理. 它一般都经过以下几个步骤:拼出图形 → 写出图 形面积的表达式 → 找出相等关系 → 恒等变形 → 导出勾 股定理. 第一章 勾股定理 2 一定是直角三角形吗 目 录 CONTENTS 1 学习目标 2 新课导入 3 新课讲解 4 课堂小结 5 当堂小练 6 拓展与延伸 7 布置作业 学习目标 1 . 掌握直角三角形的判别条件,并哪个那个进行简单 运算. (重点) 2 . 掌握勾股定理的概念,探索常用勾股数的规律. (重点) 新课导入 问题1 在一个直角三角形中三条边满足什么样的关系呢? 问题2 如果一个三角形中有两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是否就 是 直角三角形呢? 答:在一个直角三角形中两直角边的平方和 等 于斜边的平方 新课讲解 知识点 1 直角三角形的判定 合作探究 下面有三组数分别是一个三角形的三边长 a , b , c : ①5,12,13; ②7,24,25; ③8,15,17. 回答这样两个问题: 1.这三组数都满足 a 2 + b 2 = c 2 吗? 2.分别以每组数为三边长作出三角形,用量角器量一量,它们都是直角三角形吗? ① 5,12,13满足 a 2 + b 2 = c 2 ,可以构成直角三角形; ② 7,24,25满足 a 2 + b 2 = c 2 ,可以构成直角三角形; ③ 8,15,17满足 a 2 + b 2 = c 2 ,可以构成直角三角形. 新课讲解 新课讲解 讨论 如果三角形的三边长 a,b,c 满足 a 2 +b 2 =c 2 ,那么这个三角形是直角三角形. 结论 从刚才的分组实验,有什么样的结论发现吗? 新课讲解 例 1 典例分析 一个零件的形状如图( a )所示,按规定这个零件中∠ A 和∠ DBC 都应为直角,工人师傅量得这个零件各边尺寸如图( b )所示,这个零件合格吗? A B C D A B C D 3 4 5 12 13 ( a ) ( b ) 新课讲解 解:在△ ABD 中, AB 2 + AD 2 =9+16=25= BD 2 , 所以 △ ABD 是直角三角形,∠ A 是直角。 在△ BCD 中, BD 2 + BC 2 =25+144=169= CD 2 ,所以△ BCD 是直角三角形,∠ DBC 是直角。因此这个零件符合要求。 新课讲解 讨论 满足 a 2 + b 2 = c 2 的 三个 正整数 ,称为 勾股数 . 结论 如果三角形的三边长 a , b , c 满足 a 2 + b 2 = c 2 ,那么这个三角形就是 直角三角形 吗? 知识点 2 勾股数 2. 如图,在正方形 ABCD 中, AB =4, AE =2, DF =1,图中有几个直角三角形,你是如何判断的?与你的同伴交流。 4 1 2 2 4 3 解:△ ABE ,△ DEF ,△ FCB 均为直角三角形 由勾股定理知 BE 2 =2 2 +4 2 =20, EF 2 =2 2 +1 2 =5, BF 2 =3 2 +4 2 =25 ∴ BE 2 + EF 2 = BF 2 ∴ △ BEF 是直角三角形 新课讲解 例 典例分析 课堂小结 一直是直角三角形吗 直角三角想的判定 勾股数 当堂小练 1. 一艘在海上朝正北方向航行的轮船,在航行240海里时方位仪坏了,凭经验,船长指挥船左传90°,继续航行70海里,则距出发地250海里,你能判断船转弯后,是否沿正西方向航行? 解:由题意画出相应的图形 AB =240海里, BC =70海里,AC=250海里; 在△ABC中 AC 2 - AB 2 =250 2 -240 2 =4900=70 2 = BC 2 即 AB 2 + BC 2 = AC 2 ∴△ ABC 是Rt△ 答:船转弯后,是沿正西方向航行的 。 A B C 北 2. 如图,哪些是直角三角形,哪些不是,说说你的理由? ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 解: ④⑤是直角三角形 ①②③⑥不是直角三角形 当堂小练 拓展与延伸 同学们还能找出哪些勾股数呢? 第一章 勾股定理 3 勾股定理的应用 目 录 CONTENTS 2 新课导入 3 新课讲解 4 课堂小结 5 当堂小练 6 拓展与延伸 7 布置作业 1 学习目标 学习目标 1 . 利用勾股定理求解立体图形上两点之间的最短距离. (重点) 2 . 应用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题. (难点) 新课导入 两点之间 , 线段最短. 从 二教楼到综合楼怎样走最近?说明理由. 新课讲解 知识点 1 勾股定理 合作探究 问题: 在一个圆柱石凳上,若小明在吃东西时留下了一点食物在B处,恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这一信息,于是它想从A处爬向B处,你们想一想,蚂蚁怎么走最近? B A 蚂蚁 A→B 的路线 B A A’ d A B A’ A B B A O 新课讲解 A B A’ B A A’ r O h 怎样计算 AB ? 侧面展开图 在 Rt △AA'B 中,利用勾股定理可得 : 其中 A A' 是 圆柱体的高 , A' B 是底面圆周长的一半 ( πr ) . 新课讲解 若 已知圆柱体高为 12 cm ,底面半径为 3 cm , π 取 3 ,则 : B A A’ 3 O 12 侧面展开图 12 3π A A’ B 新课讲解 新课讲解 知识点 2 应用勾股定理及其逆定理解决实际问题 李 叔叔想要检测雕塑底座正面的 AD 边和 BC 边是否分别垂直于底边 AB ,但他随身只带了卷尺, ( 1 )你能替他想办法完成任务吗? 所以 AD 和 AB 垂直. ( 2 )李叔叔量得 AD 长是 30 cm , AB 长是 40 cm , BD 长是 50 cm , AD 边垂直于 AB 边吗?为什么? 解: AD ²+ AB ²=900+1600=2500 BD ²=2500 所以 AD ²+ AB ²= BD ² 所以三角形 ABD 是直角三角形 新课讲解 ( 3 )小明随身只有一个长度为 20 cm 的刻度尺,他能有办法检验 AD 边是否垂直于 AB 边吗? BC 边与 AB 边呢? 新课讲解 新课讲解 例 1 典例分析 甲、乙两位探险者到沙漠进行探险, 某日早晨 8 : 00 甲先出发,他以 6 km/h 的速度向正东行走 , 1 小时后乙出发,他以 5 km/h 的速度向 正走 .上午 10 : 00 ,甲、乙两人相距多远? 新课讲解 分析: 如图已知A是甲、乙的出发点,10:00甲到达B点,乙到达C点.则: AB =2×6=12 (km ) AC =1×5=5( km ) 在 Rt△ABC 中 AB²+AC² =144+25=169 ∴ BC =13(km) 课堂小结 勾股定理应用 确定立体图形上的最短路线 利用勾股定理及其逆定理 解决实际问题 1. 如图,台阶 A 处的蚂蚁要爬到 B 处搬运食物,它怎么走最近?并求出最近距离. 解 : AB 2 =15 2 +20 2 +=625=25 2 ∴ AB =25 答:沿 AB 走最近,最近距离为 25 . 当堂小练 2. 有一个高为 1.5 m ,半径是 1 m 的圆柱形油桶,在靠近边的地方有一小孔,从孔中插入一铁棒,已知铁棒在油桶外的部分为 0.5 m ,问这根铁棒有多长? 你能尝试画出示意图吗 ? 当堂小练 解 : 设伸入油桶中的长度为 x m, 则最长时 : x 2=1.5 2 +2 2 x =2.5 ∴ 最长是 2.5+0.5=3(m) 最短是 1.5+0.5=2(m) . 答 : 这根铁棒的长应在 2 ~ 3m 之间. 当堂小练 在我国古代数学著作 《 九章算术 》 中记载了一道有趣的问题,这个问题的意思是:有一个水池,水面是一个边长为 10 尺的正方形,在水池的中央有一根新生的芦苇,它高出水面 1 尺,如果把这根芦苇垂直拉向岸边,它的顶端恰好到达岸边的水面,请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少? 拓展与延伸 设水池的水深 AC 为 x 尺,则这根芦苇长为 AD=AB= ( x +1 )尺, 在直角三角形 ABC 中, BC=5 尺 由勾股定理得 :BC 2 +AC 2 =AB 2 即 5 2 + x 2 =( x +1) 2 25+ x 2 = x 2 +2 x +1 , 2 x =24 , ∴ x = 12 , x +1=13 . 答:水池的水深 12 尺,这根芦苇长 13 尺. 解: 拓展与延伸