八年级数学上册第13章全等三角形13-5逆命题与逆定理第2课时线段垂直平分线作业课件新版华东师大版 20页

第13章　全等三角形 13．5　逆命题与逆定理 第2课时　线段垂直平分线 1 ． (2019 · 梧州 ) 如图， DE 是△ ABC 的边 AB 的垂直平分线， D 为垂足， DE 交 AC 于点 E ，且 AC ＝ 8 ， BC ＝ 5 ，则△ BEC 的周长是 ( ) A ． 12 B ． 13 C ． 14 D ． 15 2 ． ( 沈丘期末 ) 如图，四边形 ABCD 中， AC 垂直平分 BD ，垂足为点 E. 下列结论不一定成立的是 ( ) A ． AB ＝ AD B ． AC 平分∠ BCD C ． AB ＝ BD D ．△ BEC≌△DEC B C 3 ． ( 复习题 12 变式 ) 如图，已知 AB 比 AC 长 2 cm ， BC 的垂直平分线 交 AB 于点 D ，交 BC 于点 E ，△ ACD 的周长是 14 cm ，求 AB 和 AC 的长． 解：∵ DE 垂直平分 BC ，∴ DB ＝ DC. ∵AC ＋ AD ＋ DC ＝ 14 cm ，∴ AC ＋ AD ＋ BD ＝ 14 cm ， 即 AC ＋ AB ＝ 14 cm . 又∵ AB － AC ＝ 2 cm ，∴ AB ＝ 8 cm ， AC ＝ 6 cm 4 ．下列说法中错误的是 ( ) A ．若直线 CD 为线段 AB 的垂直平分线，则 CA ＝ CB ， DA ＝ DB B ．若 CA ＝ CB ， DA ＝ DB ，则直线 CD 垂直平分线段 AB C ．若 CA ＝ CB ，则点 C 在线段 AB 的垂直平分线上 D ．若 DA ＝ DB ，则经过点 D 的直线为线段 AB 的垂直平分线 D 5 ．以线段 BC 为底边的等腰△ ABC 的顶点 A 在 ____________________ ． 6 ．如图， AC ＝ AD ， BC ＝ BD ， AB 与 CD 相交于点 O ， 则 AB 与 CD 的关系是 ____________________ ． 线段 BC 的垂直平分线上 AB 垂直平分 CD 7 ． ( 习题 3 变式 ) 如图，在△ ABC 中， AC⊥BC ， AD 平分∠ BAC ， 交 BC 于点 D ， DE⊥AB 于点 E. 求证：直线 AD 是 CE 的垂直平分线． 证明：易证△ ADE≌△ADC ，∴ AE ＝ AC ， DE ＝ DC ， ∴点 A ， D 均在线段 CE 的垂直平分线上． 又∵两点确定一条直线，∴直线 AD 是 CE 的垂直平分线 8 ．平面内到三角形三个顶点距离相等的点是 ( ) A ．三角形三条角平分线的交点 B ．三角形的三条中线的交点 C ．三角形三边垂直平分线的交点 D ．三角形三条高线的交点 C 9 ． ( 海南中考 ) 已知△ ABC 的三边长分别为 4 ， 4 ， 6 ， 在△ ABC 所在平面内画一条直线，将△ ABC 分割成两个三角形， 使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画 ( ) A ． 3 条 B ． 4 条 C ． 5 条 D ． 6 条 B 10 ． ( 南充中考 ) 如图，在△ ABC 中， AF 平分∠ BAC ， AC 的垂直平分线 交 BC 于点 E ，∠ B ＝ 70° ，∠ FAE ＝ 19° ，则∠ C ＝ ____ 度． 点 D 在线段 AB 的垂直平分线上． 11 ．如图，在△ ABC 中，∠ C ＝ 90° ，∠ A ＝ 30° ， BD 平分∠ ABC 交 AC 于点 D ，则点 D 在 ________________________ ． 24 线段 AB 的垂直平分线上 12 ．如图，在△ ABC 中， AB ＝ AC ， O 是△ ABC 内一点， 且 OB ＝ OC ，点 P 是直线 OA 上一动点，求证： PB ＝ PC. 证明：∵ AB ＝ AC ， OB ＝ OC ， ∴点 A ， O 均在线段 BC 的垂直平分线上． ∵两点确定一条直线，∴直线 OA 垂直平分线段 BC ，∴ PB ＝ PC 13 ． ( 练习题 3 变式 ) 如图，在 △ ABC 中， AD 垂直平分 BC ， 点 E 在 BC 的延长线上，且满足 AB ＋ BD ＝ DE ， 求证：点 C 在线段 AE 的垂直平分线上． 证明： ∵ AD 是 BC 的垂直平分线， ∴ AB ＝ AC ， BD ＝ CD. ∵ AB ＋ BD ＝ DE ， ∴ AC ＋ CD ＝ DE ， ∴ AC ＝ DE － CD ＝ CE ， ∴ 点 C 在线段 AE 的垂直平分线上 14 ．如图，在 △ ABC 中， ∠ A ＝ 60° ，点 D 是 BC 边的中点， DE ⊥ BC ， ∠ ABC 的平分线 BF 交 DE 于 △ ABC 内一点 P ，连结 PC. (1) 若 ∠ ACP ＝ 24° ，求 ∠ ABP 的度数； (2) 若 ∠ ACP ＝ m° ， ∠ ABP ＝ n° ， 请直接写出 m ， n 满足的关系式： ______________ ． m ＋ 3n ＝ 120 解： (1) ∵ 点 D 是 BC 边的中点， DE ⊥ BC ， ∴ PB ＝ PC ， ∴∠ PBC ＝ ∠ PCB. ∵ BP 平分 ∠ ABC ， ∴∠ PBC ＝ ∠ ABP ， ∴∠ PBC ＝ ∠ PCB ＝ ∠ ABP. ∵∠ A ＝ 60° ， ∠ ACP ＝ 24° ， ∴∠ PBC ＋ ∠ PCB ＋ ∠ ABP ＝ 180° － 60° － 24° ， ∴ 3 ∠ ABP ＝ 96° ， ∴∠ ABP ＝ 32° 　 (2)m ＋ 3n ＝ 120 提示： ∵ 点 D 是 BC 边的中点， DE ⊥ BC ， ∴ PB ＝ PC ， ∴∠ PBC ＝ ∠ PCB. ∵ BP 平分 ∠ ABC ， ∴∠ PBC ＝ ∠ ABP ， ∴∠ PBC ＝ ∠ PCB ＝ ∠ ABP ＝ n°. ∵∠ A ＝ 60° ， ∠ ACP ＝ m° ， ∴∠ PBC ＋ ∠ PCB ＋ ∠ ABP ＝ 180° － 60° － m° ， ∴ 3 ∠ ABP ＝ 120° － m° ， ∴ 3n° ＋ m° ＝ 120° ，故答案为 m ＋ 3n ＝ 120 15 ．如图， △ ABC 中， AB ＝ AC ， ∠ BAC ＝ 54° ， ∠ BAC 的平分线与 AB 的垂直平分线 OD 交于点 O ，将 ∠ C 沿 EF(E 在 BC 上， F 在 AC 上 ) 折叠，点 C 与点 O 恰好重合，则 ∠ OEC 为 _______ 度． . 108 ∵ DO 是 AB 的垂直平分线， ∴ OA ＝ OB ， ∴∠ ABO ＝ ∠ BAO ＝ 27° ， ∴∠ OBC ＝ ∠ ABC － ∠ ABO ＝ 63° － 27° ＝ 36°. ∵ AO 为 ∠ BAC 的平分线， AB ＝ AC ， ∴△ AOB ≌△ AOC( S . A . S .) ， ∴ OB ＝ OC ， ∴ 点 O 在 BC 的垂直平分线上， ∴∠ OCB ＝ ∠ OBC ＝ 36°. ∵ 将 ∠ C 沿 EF(E 在 BC 上， F 在 AC 上 ) 折叠， 点 C 与点 O 恰好重合， ∴ OE ＝ CE ， ∴∠ COE ＝ ∠ OCB ＝ 36° ， ∴∠ OEC ＝ 180° － ∠ COE － ∠ OCB ＝ 180° － 36° － 36° ＝ 108° 16 ．如图，在 △ ABC 中， ∠ B ＝ 22.5° ，边 AB 的垂直平分线 l 交 BC 于点 D ， DF ⊥ AC 于点 F ，并与 BC 边上的高 AE 交于点 G. 求证： EG ＝ EC. 证明：连结 AD ， ∵ l 垂直平分 AB ， ∴ AD ＝ BD ， ∴∠ BAD ＝ ∠ B ＝ 22.5° ， ∴∠ ADE ＝ ∠ BAD ＋ ∠ B ＝ 45°. ∵ AE ⊥ BC ， ∴∠ DAE ＝ 90° － 45° ＝ 45° ， ∴∠ ADE ＝ ∠ DAE ， ∴ AE ＝ DE. ∵ DF ⊥ AC ， AE ⊥ BC ， ∴∠ EDG ＋ ∠ C ＝ 90° ， ∠ EAC ＋ ∠ C ＝ 90° ， ∴∠ EDG ＝ ∠ EAC. 又 ∵∠ DEG ＝ ∠ AEC ＝ 90° ， ∴△ DEG ≌△ AEC( A . S . A .) ， ∴ EG ＝ EC