数学冀教版八年级上册教案15-1二次根式(2) 4页

- 1 - 15.1 二次根式（2） 教学目标 【知识与能力】 1.理解和掌握积(商)的算术平方根的性质. 2.会利用积(商)的算术平方根的性质对根式进行化简. 3.理解最简二次根式的概念,并能把一个不是最简二次根式的二次根式化为最简二次根式. 【过程与方法】 1.运用类比的方法,学习积(商)的算术平方根的性质. 2.采用从具体到抽象的方法增强学生对两公式的理解. 【情感态度价值观】 培养学生探索事物之间内在联系的学习习惯,使学生获得成功的喜悦. 教学重难点 【教学重点】 1.积(商)的算术平方根的性质. 2.最简二次根式的概念. 【教学难点】 能利用积(商)的算术平方根的性质化简二次根式. 课前准备 多媒体课件 教学过程 一、新课导入： 导入一: 【课件 1】 一块正方形木板面积为 200 cm2,你能在不用计算器的情况下,以最快的速 度求出正方形木板的边长吗? [设计意图] 学生在已有经验的基础上直接开平方,发现 200 直接开平方不是整数,从 而无法确定具体数值,引出问题,为学习后面的内容创设情境. 导入二: 教师提问: 【课件 2】 (1)什么是二次根式?二次根式的被开方数需满足什么条件? (2)我们学过二次根式的哪些简单性质? 学生回答. [设计意图] 简单回顾上节所学内容,既起到了巩固的作用,又为本节课性质的学习做 好铺垫,进而让学生体会到知识之间的联系. 二、新知构建： 活动一:一起探究——二次根式的性质 思路一 探究点 1:积的算术平方根 - 2 - 问题 1:【课件 3】 计算下列各式,并观察结果,你能发现什么规律? (1) 4 × 9 与 4 × 9 ; (2) 25 × 49 与 25 × 49 . 学生计算,得出(1)(2)中两式均相等. 问题 2:【课件 4】 猜想: 2 × 5 与 2 × 5 有什么关系? 组织学生计算,验证猜想:(分组尝试,讨论交流) 方法一:事实上,根据积的乘方法则,有( 2 × 5 )2=( 2 )2×( 5 )2=2×5,并且 2 × 5 >0, 所以 2 × 5 是 2×5 的算术平方根,即 2 × 5 = 2 × 5 . 方法二:因为( 2 × 5 )2=( 2 )2×( 5 )2=2×5,( 2 × 5 )2=2×5,且 2 × 5 >0, 2 × 5 >0, 所以 2 × 5 = 2 × 5 . 问题 3:【课件 5】 当 a≥0,b≥0 时,对 · 和 · 的关系提出你的猜想,并说明 理由. 指导学生仿照问题 2 的证明过程加以证明. 解:因为当 a≥0,b≥0 时,( · )2=a·b,( · )2=( )2 ·( )2=a·b,所以 · = · . 引导学生进行归纳得出:积的算术平方根等于积中各因数的算术平方根的积,即 · = · (a≥0,b≥0). [ 知 识 拓 展 ] 积 的 算 术 平 方 根 的 性 质 可 以 推 广 到 多 个 非 负 因 数 的 情 况 . 如 eu = · · e · u (a≥0,b≥0,c≥0,d≥0). [设计意图] 尽管学生能够猜想出结果,但还是缺乏必要的说理,再次引出问题,让学生 交流讨论,碰撞出火花,体会数学的严谨性与科学性. 探究点 2:商的算术平方根 问题 1:【课件 6】 4 9 与 4 9 是否相等? 25 49 与 25 49 呢? 学生经过计算得出两个式子均相等. 问题 2:【课件 7】 对照刚才得到的结论,当 a≥0,b>0 时, 与 有什么关系?并说明理 由. 学生不难猜想得到 = (a≥0,b>0). 引导学生根据刚才的证明过程加以证明. 解:因为当 a≥0,b>0 时, 2 = , 2 = ( ) 2( ) 2 = ,所以 = . 问题 3:对照积的算术平方根的性质,你能总结出商的算术平方根的性质吗? 引导学生归纳:商的算术平方根等于被除数的算术平方根与除数的算术平方根的商,即 = (或 ÷ = ÷ )(a≥0,b>0) [设计意图] 培养学生用类比的思想和方法探究新知及从特殊到一般的归纳概括的能 力. 思路二 问题 1:【课件 8】 计算下列各式,观察计算结果,你能发现什么规律? (1) 4 × 25 = ; 4 × 25 = . (2) 16 × 9 = ; 16 × 9 = . (3) 9 16 = ; 9 16 = . - 3 - (4) 36 16 = ; 36 16 = . 师:出示问题,引导学生观察计算结果,总结式子的规律. 生:学生计算、观察、分组讨论,发现上述每组中的两个式子相等. 问题 2:【课件 9】 根据上面的探究,下列式子是否也存在类似关系,猜想你的结论并用 计算器验证. (1) 2 × 3 = ; 2 × 3 = . (2) 5 × 6 = ; 5 × 6 = . (3) 3 2 = ; 3 2 = . (4) 6 5 = ; 6 5 = . 学生经过计算得出上述每组中的两个式子也相等. 问题 3:【课件 10】 猜想:(1)当 a≥0,b≥0 时, · 和 · 有什么关系?(2)当 a ≥0,b>0 时, 和 有什么关系?请你说明理由. 引导学生小组讨论,利用算术平方根的简单性质进行证明. [设计意图] 引导学生体会知识的形成过程,通过观察、猜想、证明、归纳,让学生得到 积(商)的算术平方根的性质. 活动二:观察与思考——探究最简二次根式的概念 [过渡语] 刚才我们得到了积(商)的算术平方根的性质,下面请同学们根据刚才学到的 性质完成下面的例题. 【课件 11】 化简. (1) 54 ; (2) 80 ; (3) 75 8 ; (4) 40 . 5 . 〔解析〕 (1)(2)直接利用 · = · (a≥0,b≥0)进行化简;(3)(4)利用 = (a≥0,b>0)进行化简. 解:(1) 54 = 9 × 6 = 9 × 6 =3 6 . (2) 80 = 16 × 5 = 16 × 5 =4 5 . (3) 75 8 = 150 16 = 25×6 16 = 5 6 4 . (4) 40 . 5 = 81 2 = 162 4 = 162 4 = 81×2 2 = 9 2 2 . 【课件 12】 观察例题中每个小题化简前后被开方数的变化,请思考: (1)化简前,被开方数是怎样的数? (2)化简后,被开方数是怎样的数?它们还含有能开得尽方的因数吗? 归纳:①被开方数的因数是整数,因式是整式;②被开方数中不含能开得尽方的因数或因 式,我们把这样的二次根式叫做最简二次根式. 说明:二次根式的化简过程就是将它化为最简二次根式的过程. 提出问题:在 8 ,3, 15 , 1 5 , 7 3 ,3 2 , 0 . 8 中,哪些是最简二次根式?为什么? 把“提出问题”中不是最简二次根式的化成最简二次根式. - 4 - 指一名同学到黑板上板书,其他学生在练习本上完成. 出示“做一做”. 【课件 13】 (教材第 94 页做一做)化简. (1) 18 ; (2) 96 ; (3) 1 2 ; (4) 2 5 . 解:(1) 18 = 9 × 2 = 9 × 2 =3 2 . (2) 96 = 16 × 6 = 16 × 6 =4 6 . (3) 1 2 = 1×2 2×2 = 2 4 = 2 2 . (4) 2 5 = 2×5 5×5 = 10 25 = 10 5 . [设计意图] 巩固积(商)的算术平方根的性质,通过对最简二次根式的探究,培养学生 探索数学规律的能力,强化训练,提高能力. 三、课堂小结： 积 的 算 术 平方根 积的算术平方根等于 积中各因数的算术平 方根的积 ab = a · b (a ≥0,b≥0) 公式中的 a,b 既可以是数,也可以是代 数式,但必须注意都应是非负的,这是公 式 成 立 的 条 件 . 如 : (- 7 ) × (- 5 ) ≠ - 7 × - 5 商 的 算 术 平方根 商的算术平方根等于 被除数的算术平方根 与除数的算术平方根 的商 a b = a b ( 或 a ÷ b = a ÷ b )(a≥0,b>0) (1)公式中的条件是限制等号右边的,等 号左边只要 a b ≥0 即可,而右边每一个式 子(数)必须满足二次根式的条件,即 a ≥0,b>0;(2)该性质适用于二次根式的 化简和计算 最 简 二 次 根式 一般地,如果一个二次根式满足①被开方数的因数是整数,因式是整式,②被开方 数中不含能开得尽方的因数或因式,我们把这样的二次根式叫做最简二次根式