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- 2021-10-27 发布
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第4课时
12.2 三角形全等的判定
1.经历探索直角三角形全等条件的过程,体会利用操作、
归纳获得数学结论的过程;
2.掌握直角三角形全等的条件,并能运用其解决一些实际
问题;
3.在探索直角三角形全等条件及其运用的过程中,能够进
行有条理的思考并进行简单的推理.
我们已经学过判定全等三角形的方法有哪些?
1、边边边(SSS)
3、角边角(ASA)
4、角角边(AAS)
2、边角边(SAS)
如图,AB ⊥ BE于B,DE⊥BE于E,
(1)若 A= D,AB=DE,
则△ABC与△ DEF (填“全等”或“不
全等”)根据 (用简写法).
全等
ASA
A
B C
D
EF
A
B C
D
EF
(2)若 A= D,BC=EF,则△ABC与△DEF (填
“全等”或“不全等”)根据 (用简写法).
AAS
全等
(3)若AB=DE,BC=EF,则△ABC与△DEF (填“全
等”或“不全等”)根据 (用简写法).
全等
SAS
(4)若AB=DE,BC=EF,AC=DF,则
△ABC与△DEF (填“全等”或
“不全等”)根据_____(用简写法).
全等
SSS
如图,舞台背景的形状是两个直角三角形,工作人员
想知道这两个直角三角形是否全等,但每个三角形都有一
条直角边被花盆遮住无法测量.
A
BC A1
B1
C1
(1)你能帮他想个办法吗?
方法一:测量斜边和一个对应的锐角. (AAS)
方法二:测量没遮住的一条直角边和一个对应的锐
角.(ASA)或(AAS)
⑵ 如果他只带了一个卷尺,能完成这个任务吗?
工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜
边,发现它们分别对应相等,于是他就肯定“两个直角
三角形是全等的”.你相信他的结论吗?
下面让我们一起来验证这个结论.
A
BC A1
B1
C1
任意画一个Rt△ACB ,使∠C﹦90°,再画一个
Rt△A′C′B′使∠C′=∠C ,B′C′﹦BC,A′B′﹦AB,
(1)你能试着画出来吗?与小组交流一下.
(2)把画好的Rt△A′C′B′放到Rt△ACB上,它们全等吗?
你能发现什么规律?
⑴ 作∠MC'N=90°;
C'
M
N
⑵ 在射线C'M上截取线段
C'B'=CB;M
N
B'
⑶ 以B'为圆心,BA为半径画
弧,交射线C'N于点A';
C'
M
N
B'
A'
⑷连接A'B'.
C'
M
N
B'
A'
C'
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.
简写成“斜边、直角边”或“HL”.
【例】如图,有两个长度相同的滑梯,左边滑梯的高度AC
与右边滑梯水平方向的长度DF相等,两个滑梯的倾斜角
∠ABC和∠DFE的大小有什么关系?
【例题】
【解析】在Rt△ABC和Rt△DEF中,
BC=EF,
AC=DF .
∴ Rt△ABC≌Rt△DEF (HL).
∴∠ABC=∠DEF
(全等三角形对应角相等).
∵ ∠DEF+∠DFE=90°,
∴∠ABC+∠DFE=90°.
1.如图,AC⊥BC,BD⊥AD,垂足分别为C,D,AC=BD.求证:
BC=AD.
A B
CD
【证明】∵AC⊥BC, BD⊥AD,
∴∠C 与∠D都是直角.
在Rt△ABC和Rt△BAD中,
又∵AB=BA
AC=BD,
∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL),
∴BC=AD.
A F CE
D
B
1.如图,AB=CD, BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF.求证:BF=DE.
【跟踪训练】
【证明】在Rt△ABF和Rt△CDE中,
∵AE=CF,
∴AF=CE.
又∵AB=CD,
∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL),
∴BF=DE.
A
B
C
D
E
F
2. 如图,两根长度为12 m的绳子,一端系在旗杆上,另一端
分别固定在地面两个木桩上,两个木桩离旗杆底部的距离相
等吗?请说明你的理由.
BD=CD.
∵∠ADB=∠ADC=90°,
AB=AC
AD=AD
∴Rt△ABD≌Rt△ACD(HL),
∴ BD=CD.
【解析】
1.(温州·中考)如图,AC,BD是矩形ABCD的对角线,过
点D作DE∥AC交BC的延长线于E,则图中与△ABC全等的三
角形共有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【解析】选D.在矩形ABCD中,△CDA、△BAD、
△DCB都和△ABC全等,又∠ABC=∠DCE=90°,
DE∥AC,所以∠DEC=∠ACB;又AB=DC,所以△DCE
也和△ABC全等.
2. 如图,AC=AD,∠C,∠D是直角,将上述条件标注在图
中,你能说明BC与BD相等吗? C
D
A B
在Rt△ACB和Rt△ADB中,
AB=AB,
AC=AD.
∴ Rt△ACB≌Rt△ADB (HL).
∴BC=BD
(全等三角形对应边相等).
【解析】
通过本课时的学习,需要我们掌握:
直角三角形是特殊的三角形,所以不仅有一般三角形
判定全等的方法: SSS、SAS、ASA、AAS,还有直角三角形
特殊的判定方法:HL.
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