八年级数学上册第三章位置与坐标3-3轴对称与坐标变化同步练习含解析 北师大版 17页

1 3.3 轴对称与坐标变化 一、选择题（共 8 小题，每小题 4 分，满分 32 分） 1．在平面直角坐标系中，已知点 A（2，3），则点 A 关于 x 轴的对称点的坐标为（ ） A．（3，2） B．（2，﹣3） C．（﹣2，3） D．（﹣2，﹣3） 2．如图，△ABC 与△DEF 关于 y 轴对称，已知 A（﹣4，6），B（﹣6，2），E（2，1），则点 D 的 坐标为（ ） A．（﹣4，6） B．（4，6） C．（﹣2，1） D．（6，2） 3．将平面直角坐标系内的△ABC 的三个顶点坐标的横坐标乘以﹣1，纵坐标不变，则所得的三角形 与原三角形（ ） A．关于 x 轴对称 B．关于 y 轴对称 C．关于原点对称 D．无任何对称关系 4．若某四边形顶点的横坐标变为原来的相反数，而纵坐标不变，此时图形位置也不变，则这四边形 不是（ ） A．矩形 B．直角梯形 C．正方形 D．菱形 5．已知点 M 与点 P 关于 x 轴对称，点 N 与点 M 关于 y 轴对称，若点 N（1，2），则点 P 的坐标为（ ） A．（2，1） B．（﹣1，2） C．（﹣1，﹣2） D．（1，﹣2） 6．坐标平面上有一个轴对称图形， 、 两点在此图形上且互为对称点．若 此图形上有一点 C（﹣2，﹣9），则 C 的对称点坐标为何（ ） A．（﹣2，1） B． C． D．（8，﹣9） 7．点 P（a﹣1，b﹣2）关于 x 轴对称与关于 y 轴对称的点坐标相同，则 P 点坐标为（ ） A．（﹣1，﹣2） B．（﹣1，0） C．（0，﹣2） D．（0，0） 8．在平面直角坐标系中，正方形 ABCD 的顶点分别为 A（1，1）、B（1，﹣1）、C（﹣1，﹣1）、D （﹣1，1），y 轴上有一点 P（0，2）．作点 P 关于点 A 的对称点 P1，作 P1 关于点 B 的对称点 P2，作 2 点 P2 关于点 C 的对称点 P3，作 P3 关于点 D 的对称点 P4，作点 P4 关于点 A 的对称点 P5，作 P5 关于点 B 的对称点 P6┅，按如此操作下去，则点 P2011 的坐标为（ ） A．（0，2） B．（2，0） C．（0，﹣2） D．（﹣2，0） 二、填空题（共 4 小题，每小题 4 分，满分 16 分） 9．若点 A（m+2，3）与点 B（﹣4，n+5）关于 y 轴对称，则 m+n= ． 10．如图，在方格纸上建立的平面直角坐标系中，Rt△ABC 关于 y 轴对称的图形为 Rt△DEF，则点 A 的对应点 D 的坐标是 ． 11．如图，等边△ABC，B 点在坐标原点，C 点的坐标为（4，0），点 A 关于 x 轴对称点 A′的坐标 为 ． 12．如图，一束光线从点 A（3，3）出发，经过 y 轴上点 C 反射后经过点 B（1，0），则光线从点 A 到点 B 经过的路径长为 ． 3 三、解答题（共 4 小题，满分 52 分） 13．△ABC 在平面直角坐标系中的位置如图．请画出△ABC 关于 y 轴对称的△A1B1C1，并求出 A1、B1、 C1 三点的坐标． 14．在直角坐标系中，将坐标是（3，0），（3，2），（0，3），（3，5），（3，2），（6，3）， （6，2），（3，0），（6，0）的点用线段依次连接起来形成一个图案． （1）作出原图案关于 x 轴对称的图案．两图案中的对应点的坐标有怎样的关系？ （2）作出原图案关于 y 轴对称的图案．两图案中的对应点的坐标有怎样的关系？ 4 15．在图（1）中编号①②③④的四个三角形中，关于 y 轴对称的两个三角形的编号为 ； 关于 x 轴对称的两个三角形的编号为 ．在图（2）中，画出△ABC 关于 x 轴对称的图形 △A1B1C1，并分别写出点 A1，B1，C1 的坐标． 16．在平面直角坐标系中，直线 l 过点 M（3，0），且平行于 y 轴． （1）如果△ABC 三个顶点的坐标分别是 A（﹣2，0），B（﹣1，0），C（﹣1，2），△ABC 关于 y 轴的对称图形是△A1B1C1，△A1B1C1 关于直线 l 的对称图形是△A2B2C2，写出△A2B2C2 的三个顶点的坐标； （2）如果点 P 的坐标是（﹣a，0），其中 a＞0，点 P 关于 y 轴的对称点是 P1，点 P1 关于直线 l 的 对称点是 P2，求 PP2 的长． 5 北师大新版八年级数学上册同步练习：3.3 轴对称与坐标变化 参考答案与试题解析 一、选择题（共 8 小题，每小题 4 分，满分 32 分） 1．在平面直角坐标系中，已知点 A（2，3），则点 A 关于 x 轴的对称点的坐标为（ ） A．（3，2） B．（2，﹣3） C．（﹣2，3） D．（﹣2，﹣3） 【考点】关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标． 【分析】根据关于 x 轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．即点 P（x，y）关于 x 轴的对称点 P′的坐标是（x，﹣y），进而得出答案． 【解答】解：∵点 A（2，3）， ∴点 A 关于 x 轴的对称点的坐标为：（2，﹣3）． 故选：B． 【点评】此题主要考查了关于 x 轴对称点的性质，正确记忆关于坐标轴对称点的性质是解题关键． 2．如图，△ABC 与△DEF 关于 y 轴对称，已知 A（﹣4，6），B（﹣6，2），E（2，1），则点 D 的 坐标为（ ） A．（﹣4，6） B．（4，6） C．（﹣2，1） D．（6，2） 【考点】关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标． 【分析】根据关于 y 轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．即点 P（x，y）关于 y 轴的对称点 P′的坐标是（﹣x，y），进而得出答案． 【解答】解：∵△ABC 与△DEF 关于 y 轴对称，A（﹣4，6）， ∴D（4，6）． 故选：B． 【点评】此题主要考查了关于 y 轴对称点的性质，准确记忆横纵坐标的关系是解题关键． 6 3．将平面直角坐标系内的△ABC 的三个顶点坐标的横坐标乘以﹣1，纵坐标不变，则所得的三角形 与原三角形（ ） A．关于 x 轴对称 B．关于 y 轴对称 C．关于原点对称 D．无任何对称关系 【考点】关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标． 【分析】根据“关于 y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”，可知所得的三角形与原三 角形关于 y 轴对称． 【解答】解：∵横坐标乘以﹣1，∴横坐标相反，又纵坐标不变，∴关于 y 轴对称．故选 B． 【点评】主要考查了平面直角坐标系中对称点的规律．解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律： （1）关于 x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数； （2）关于 y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数； （3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 4．若某四边形顶点的横坐标变为原来的相反数，而纵坐标不变，此时图形位置也不变，则这四边形 不是（ ） A．矩形 B．直角梯形 C．正方形 D．菱形 【考点】坐标与图形性质；直角梯形． 【分析】本题可根据题意可知答案必须是轴对称图形，对四个选项分别讨论，看是否满足条件，若 不满足则为本题的答案． 【解答】解：∵四边形顶点的横坐标变为原来的相反数，而纵坐标不变，此时图形位置也不变， ∴该图形必须是轴对称图形，直角梯形不是轴对称图形，所以这四边形不是直角梯形． 故选 B． 【点评】主要考查了点的坐标的意义以及与图形相结合的具体运用．要把点的坐标有机的和图形结 合起来求解．要掌握坐标变化时图形的变化特点，并熟悉轴对称图形的特点． 5．已知点 M 与点 P 关于 x 轴对称，点 N 与点 M 关于 y 轴对称，若点 N（1，2），则点 P 的坐标为（ ） A．（2，1） B．（﹣1，2） C．（﹣1，﹣2） D．（1，﹣2） 【考点】关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标． 【专题】数形结合． 【分析】作出相关对称后可得点 P 与点 N 关于原点对称，那么可得点 P 的坐标． 7 【解答】解：∵点 M 与点 P 关于 x 轴对称，点 N 与点 M 关于 y 轴对称， ∴点 N 与点 P 关于原点对称， ∴点 P 的坐标为（﹣1，﹣2）， 故选 C． 【点评】考查关于坐标轴对称的点的规律；用到的知识点为：两点是关于一次 x 轴对称，又关于 y 轴一次对称得到的点，那么这两点关于原点对称． 6．坐标平面上有一个轴对称图形， 、 两点在此图形上且互为对称点．若 此图形上有一点 C（﹣2，﹣9），则 C 的对称点坐标为何（ ） A．（﹣2，1） B． C． D．（8，﹣9） 【考点】坐标与图形变化-对称． 【专题】计算题． 【分析】根据 A、B 的坐标，求出对称轴方程，即可据此求出 C 点对称点坐标． 【解答】解：∵A、B 关于某条直线对称，且 A、B 的横坐标相同， ∴对称轴平行于 x 轴， 又∵A 的纵坐标为﹣ ，B 的纵坐标为﹣ ， ∴故对称轴为 y= ， ∴y=﹣4． 则设 C（﹣2，﹣9）关于 y=﹣4 的对称点为（﹣2，m）， 于是 =﹣4， 解得 m=1． 则 C 的对称点坐标为（﹣2，1）． 故选：A． 【点评】此题考查了坐标与图形变化﹣﹣对称，要知道，以关于 x 轴平行的直线为对称轴的点的横 坐标不变，纵坐标之和的平均数为对称轴上点的纵坐标． 7．点 P（a﹣1，b﹣2）关于 x 轴对称与关于 y 轴对称的点坐标相同，则 P 点坐标为（ ） 8 A．（﹣1，﹣2） B．（﹣1，0） C．（0，﹣2） D．（0，0） 【考点】关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标． 【专题】计算题． 【分析】点 P（a﹣1，b﹣2）关于 x 轴对称点的坐标是（a﹣1，2﹣b），关于 y 轴对称的点坐标是 （1﹣a，b﹣2），根据题意就可以得到关于 a，b 的方程，就可以求出 a，b 的值，从而求出点 P 的 坐标． 【解答】解：点 P（a﹣1，b﹣2）关于 x 轴对称点的坐标是（a﹣1，2﹣b）， 关于 y 轴对称的点坐标是（1﹣a，b﹣2）， 据题意得：a﹣1=1﹣a，2﹣b=b﹣2； 解得：a=1，b=2； ∴P 点坐标为（0，0）； 故本题选 D． 【点评】本题考查平面直角坐标系中关于坐标轴成轴对称的两点的坐标之间的关系．关于横轴的对 称点，横坐标相同，纵坐标变成相反数；关于纵轴的对称点，纵坐标相同，横坐标变成相反数． 8．在平面直角坐标系中，正方形 ABCD 的顶点分别为 A（1，1）、B（1，﹣1）、C（﹣1，﹣1）、D （﹣1，1），y 轴上有一点 P（0，2）．作点 P 关于点 A 的对称点 P1，作 P1 关于点 B 的对称点 P2，作 点 P2 关于点 C 的对称点 P3，作 P3 关于点 D 的对称点 P4，作点 P4 关于点 A 的对称点 P5，作 P5 关于点 B 的对称点 P6┅，按如此操作下去，则点 P2011 的坐标为（ ） A．（0，2） B．（2，0） C．（0，﹣2） D．（﹣2，0） 【考点】坐标与图形变化-对称；正方形的性质． 【专题】规律型． 【分析】根据正方形的性质以及坐标变化得出对应点的坐标，再利用变化规律得出点 P2011 的坐标与 P3 坐标相同，即可得出答案． 9 【解答】解：∵作点 P 关于点 A 的对称点 P1，作 P1 关于点 B 的对称点 P2，作点 P2 关于点 C 的对称点 P3，作 P3 关于点 D 的对称点 P4，作点 P4 关于点 A 的对称点 P5，作 P5 关于点 B 的对称点 P6┅，按如此 操作下去， ∴每变换 4 次一循环， ∴点 P2011 的坐标为：2011÷4=502…3， 点 P2011 的坐标与 P3 坐标相同， ∴点 P2011 的坐标为：（﹣2，0）， 故选：D． 【点评】此题主要考查了坐标与图形的变化以及正方形的性质，根据图形的变化得出点 P2011 的坐标 与 P3 坐标相同是解决问题的关键． 二、填空题（共 4 小题，每小题 4 分，满分 16 分） 9．若点 A（m+2，3）与点 B（﹣4，n+5）关于 y 轴对称，则 m+n= 0 ． 【考点】关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标． 【分析】根据“关于 y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”列出方程求解即可． 【解答】解：∵点 A（m+2，3）与点 B（﹣4，n+5）关于 y 轴对称， ∴m+2=4，3=n+5， 解得：m=2，n=﹣2， ∴m+n=0， 故答案为：0． 【点评】本题考查了关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律： （1）关于 x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数； （2）关于 y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数； （3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 10 10．如图，在方格纸上建立的平面直角坐标系中，Rt△ABC 关于 y 轴对称的图形为 Rt△DEF，则点 A 的对应点 D 的坐标是 （2，1） ． 【考点】关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标． 【分析】易得点 A 的坐标为（2，1），点 A 关于 Y 轴对称的点的纵坐标不变，横坐标为点 A 的横坐 标的相反数即可求得点 A 关于 x 轴对称的点 D 的坐标． 【解答】解：∵点 A 的坐标为（﹣2，1）， ∴点 A 关于 y 轴对称的点 D 的横坐标为 2，纵坐标为 1， ∴点 A 关于 x 轴对称的点 D 的坐标是（2，1）． 故答案为：（2，1）． 【点评】考查了关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标，用到的知识点为：关于 Y 轴对称的点的纵坐标不 变，横坐标为点 A 的横坐标的相反数． 11．如图，等边△ABC，B 点在坐标原点，C 点的坐标为（4，0），点 A 关于 x 轴对称点 A′的坐标 为 （2，﹣2 ） ． 【考点】等边三角形的性质；关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标；特殊角的三角函数值． 【分析】先求出 A 点的坐标，然后关于 x 轴对称 x 不变，y 变为相反数． 【解答】解：∵△ABC 为等边三角形， ∴过 A 点作 BC 的垂线交于 BC 中点 D，则 D 点坐标为（2，0）． 运用勾股定理得 AD=4×sin60°=2 ． ∴A 的坐标是（2，2 ）． 11 又因为关于 x 轴对称，所以可得答案为（2，﹣2 ）． 【点评】考查点的坐标的确定及对称点的坐标的确定方法． 12．如图，一束光线从点 A（3，3）出发，经过 y 轴上点 C 反射后经过点 B（1，0），则光线从点 A 到点 B 经过的路径长为 5 ． 【考点】解直角三角形的应用． 【专题】计算题；压轴题． 【分析】延长 AC 交 x 轴于 B′．根据光的反射原理，点 B、B′关于 y 轴对称，CB=CB′．路径长就 是 AB′的长度．结合 A 点坐标，运用勾股定理求解． 【解答】解：如图所示， 延长 AC 交 x 轴于 B′．则点 B、B′关于 y 轴对称，CB=CB′． 作 AD⊥x 轴于 D 点．则 AD=3，DB′=3+1=4． ∴AB′=AC+CB′=AC+CB=5． 即光线从点 A 到点 B 经过的路径长为 5． 12 【点评】本题考查了直角三角形的有关知识，同时渗透光学中反射原理，构造直角三角形是解决本 题关键． 三、解答题（共 4 小题，满分 52 分） 13．△ABC 在平面直角坐标系中的位置如图．请画出△ABC 关于 y 轴对称的△A1B1C1，并求出 A1、B1、 C1 三点的坐标． 【考点】作图-轴对称变换． 【分析】本题比较容易，考查平面直角坐标系中两个关于坐标轴成轴对称的点的坐标特点：关于 y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，然后再作出对称图形． 【解答】解： A1（2，3） B1（3，2） C1（1，1） 13 【点评】解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律： （1）关于 x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数； （2）关于 y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数； （3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 14．在直角坐标系中，将坐标是（3，0），（3，2），（0，3），（3，5），（3，2），（6，3）， （6，2），（3，0），（6，0）的点用线段依次连接起来形成一个图案． （1）作出原图案关于 x 轴对称的图案．两图案中的对应点的坐标有怎样的关系？ （2）作出原图案关于 y 轴对称的图案．两图案中的对应点的坐标有怎样的关系？ 【考点】作图-轴对称变换． 【分析】（1）在坐标系内描出各点，用线段依次连接起来，作出原图案关于 x 轴对称的图案； （2）作出原图案关于 y 轴对称的图案即可． 【解答】解：（1）如图所示，由图可知，两图案中对应点的坐标纵坐标相等等，横坐标互为相反数； （2）如图所示，由图可知，两图案中对应点的坐标横坐标相等，纵坐标互为相反数． 14 【点评】本题考虑查的是作图﹣轴对称变换，熟知关于坐标轴轴对称的点的坐标特点是解答此题的 关键． 15．在图（1）中编号①②③④的四个三角形中，关于 y 轴对称的两个三角形的编号为 ①②或③④ ； 关于 x 轴对称的两个三角形的编号为 ①③或②④ ．在图（2）中，画出△ABC 关于 x 轴对称的图 形△A1B1C1，并分别写出点 A1，B1，C1 的坐标． 【考点】作图-轴对称变换． 【分析】根据轴对称图形的性质得出关于 x 轴或 y 轴对称的图形，再根据关于 x 轴对称的图形的特 点画出△ABC 关于 x 轴对称的图形△A1B1C1，并分别写出点 A1，B1，C1 的坐标． 【解答】解：∵①与②，③与④图形中各对应点关于 y 轴对称， ∴①与②或③与④关于 y 轴对称； ∵①与③，②与④图形中各对应点关于 x 轴对称， ∴①与③或②与④关于 x 轴对称． 故答案为：①②或③④，①③或②④． 如图，由图可知，A1（2，1），B1（1，3），C1（4，4）． 15 【点评】本题考查的是作图﹣轴对称变换，熟知关于坐标轴对称的点的坐标特点是解答此题的关键． 16．在平面直角坐标系中，直线 l 过点 M（3，0），且平行于 y 轴． （1）如果△ABC 三个顶点的坐标分别是 A（﹣2，0），B（﹣1，0），C（﹣1，2），△ABC 关于 y 轴的对称图形是△A1B1C1，△A1B1C1 关于直线 l 的对称图形是△A2B2C2，写出△A2B2C2 的三个顶点的坐标； （2）如果点 P 的坐标是（﹣a，0），其中 a＞0，点 P 关于 y 轴的对称点是 P1，点 P1 关于直线 l 的 对称点是 P2，求 PP2 的长． 【考点】坐标与图形变化-对称． 【专题】几何图形问题． 【分析】（1）根据关于 y 轴对称点的坐标特点是横坐标互为相反数，纵坐标相同可以得到△A1B1C1 各点坐标，又关于直线 l 的对称图形点的坐标特点是纵坐标相同，横坐标之和等于 3 的二倍，由此 求出△A2B2C1 的三个顶点的坐标； （2）P 与 P1 关于 y 轴对称，利用关于 y 轴对称点的特点：纵坐标不变，横坐标变为相反数，求出 P1 的坐标，再由直线 l 的方程为直线 x=3，利用对称的性质求出 P2 的坐标，即可 PP2 的长． 【解答】解：（1）△A2B2C2 的三个顶点的坐标分别是 A2（4，0），B2（5，0），C2（5，2）； 16 （2）如图 1，当 0＜a≤3 时，∵P 与 P1 关于 y 轴对称，P（﹣a，0）， ∴P1（a，0）， 又∵P1 与 P2 关于 l：直线 x=3 对称， 设 P2（x，0），可得： =3，即 x=6﹣a， ∴P2（6﹣a，0）， 则 PP2=6﹣a﹣（﹣a）=6﹣a+a=6． 如图 2，当 a＞3 时， ∵P 与 P1 关于 y 轴对称，P（﹣a，0）， ∴P1（a，0）， 又∵P1 与 P2 关于 l：直线 x=3 对称， 设 P2（x，0），可得： =3，即 x=6﹣a， ∴P2（6﹣a，0）， 则 PP2=6﹣a﹣（﹣a）=6﹣a+a=6． 17 【点评】本题考查学生“轴对称”与坐标的相关知识的试题，尤其是第（2）小题设置的问题既具有 一定的开放性又重点考查了分类的数学思想，使试题的考查有较高的效度．