八年级下数学课件《二次根式》 (14)_苏科版 72页

⑵什么是一个数的算术平方根？如何表示？ 正数的正的平方根叫做它的算术平方根。 ⑴什么叫做一个数的平方根？如何表示？ 一般地，若一个数的平方等于a，则 这个数就叫做a的平方根。 用　 (a≥0)表示。a 0的算术平方根平方根是0 a的平方根是 a 复习 1、如果 ，那么 ；42 x x 2、如果 ，那么 ；32 x x 3、如果 ，)0(2  aax x那么 。 ±2 3 a 1.如图所示的值表示正方形的 面积，则正方形的边长是 3b  b-3 2.要修建一个面积为6.28m2的圆形喷水池， 它的半径为 m（ 取3.14）；2 3、关系式中 ，用含有h的式子 表示t，则t为 。 25th  5 h 导入 新授: 观察以上各式，它们有什么共同特点？ 表示一些正数的算术平方根 3b  2 5 h 25002 a 25002 a 3b  表示一些正数的算术平方根． .的式子叫做二次根式形如 a )0( a 你认为所得的各代数式有哪些共同特点？ a 被开方数 二次根号 2 5 h 归纳: 二次根式的定义(默1） 一般地，形如 的式子 叫二次根式。 )0( aa 本课学习目标： （1）二次根式的概念( 双 重非负性) • （2）根号内字母的取值范围 • （3）二次根式的性质(1,2) 请你凭着自己已有的知识,说 说对二次根式 的认识！a ? ( 0) .a a 形如 的式子叫做二次根式 2. a可以是数,也可以是式. 3. 形式上含有二次根号 4. a≥0, ≥0 a 5.既可表示开方运算,也可表示运算的结果. 1.表示a的算术平方根 ( 双重非负性) 1a如： 这类代数式只能称为含有二次根 式的代数式，不能称之为二次根式； 而 这类代数式，应把 这些二次根式看 做系数或常数项，整个代数式仍看做整式。 322 2  xx 3,2 说一说: 下列各式是二次根式吗? 32 5 (7) , a (6) ， xy (5) m-(4) ,12 (3) 6, (2) ,32 (1) 1     (m≤0), (x,y 异号) 在实数范围内,负数没有平方根 2 1 9a 222  aa x )0( x  23m 1、判断下列代数式中哪些是二次根式？ ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸ 1 ( 3)a a  ⑹ 16    例1 x为何值时，下列各式在实数范围内有意义。 (1) 5x  (2) 1 3x (3) 1 3x x   例题讲解 （3）由题意可知： 5x       03 01 x x 1 3 1 3x x   1 3 1 3x 1 5x  1）由x-5≥0,得x ≥5 ∴当 x ≥5时， 有意义 （2）由1-3x≥0得x≤ ∴当 x ≤ 时， 有意义 ∴当 -1≤ x ≤3时， 有意义； 解：（ 变式： 1 5x  5 0 1 0 5 x x       1 5x  当x取何值时， 在实数范围内有意义。（默2） ∴ 当x＞5时， 在实数范围内有意义。  x-5 0解：由题意得 5 1 x 2x 1 －5 解:由题意得, 2 0 2 0 2 0 2 x x x x            5 5 5 5 （默3） 求下列二次根式中字母 的取值范围（默4） (1)解： 字母 a 的取值范围是全体实数 a (1) ∵无论 取何值， 都有 a  21 0a   ∴字母 的取值范围是全体实数.a a∴字母 的取值 范围是全体实数. 2 2 2 2 2 ( 2 1) 1 ( 1) 1 0 a a a a a           ∵ 2a 2)1( a(2) 2a (2)解： - 02 a 0 02   a a  02 a 2)1(  a (a为任何实数) (a=1) 说明:1.当被开方数本身为非负数或能化为非负 数形式时，其字母的取值范围为：全体实数； 2.当被开方数本身为非正数或能化为非正数形式 时，其字母的取值范围为：使被开方数为0的值。 (a为任何实数) 求下列二次根式中字母的取值范围：   11 a   a21 12     233 a 解：（1）由题意得： 1 0a   1a   即当 时， 1a 1a   有意义. 求字母的取值范围的口诀（默5） 从左看到右;从上看到下 看到分数线,分母不为0 （2） (3) 为任意实数a1 2 a 看到偶次根式,被开方数大于等于0 看到0指数,底数不为0 最后画数轴,写出解集来 x x 1)4(4)3( 2 1、 x取何值时,下列二次根式有意义? xx 3)2(1)1(  1x 0x 为全体实数x 0x 3)5( x 0x 2 1)6( x 0x 01 ( 2) 3 x x x     (7) 1, 2x x  且 2x x (8) 0x  1)9( 2 x 为全体实数x 参考图1-2,完成以下填空:     2 2 2 12 _____; 7 _____; _____. 2          2 7 1 2 一般地,二次根式有下面的性质: 快 速 判 断             2 2 2 2 2 2 11 3 ______, 2 ______, 3 2 ________, 7 3 24 5 ________, 5 ________. 3                             5 3 2 7 12 3 2 3  a a ? 941657   )0(2  aaa aa 2)(   2 2 2 2 ___, 5 ___, 0 ___,     | 2| ___; | 5| ___; | 0| ___.     请比较左右两边的式子,议一议: 与 有什么关 系?当 时, ;当 时, 2a | |a 2 ____;a  2 ____.a 0a  0a  22 5 5 00 a a     )0( 0(2 aa aaaa ） aa 2 2)2)(1(  2)2)(2(  2)2()3(  2)2()4( 22)5(  2)2()6( 2 2 -2 |-2|=2 |2|=2 -|-2|=-2 大 家 抢 答  23 ______ 2 2 ______, 7         25 ________   21 _____  22 ______ 5       1 3 2 5 2 7 5 1 2 5   24 _________   4  4  2 1 ( 1)x x   1x ?)( 22 有区别吗与 aa 2.从取值范围来看,  2a 2a a≥0 a取任何实数 1:从运算顺序来看,  2a 2a 先开方,后平方 先平方,后开方 =a a (a≥ 0) 3.从运算结果来看: 2a  2a -a (a＜0) ==∣ a∣ 比较分析 和 2a 2 a 读法 运算顺序 a的取值范围 运算结果  2 a 2a 先开方,后平方 先平方,后开方 a≥0 a取全体实数 a ∣ a∣ 根号a的平方 根号下a平方 二次根式的性质及它们的应用: （1） （2） 2a a a 0 -a ( a >0 ) ( a =0 ) ( a <0 ) （默6）   )0(, 2  aaa aa 2)(      2 211 (x﹤y)21: 原式解      212 x 1:  x原式解 (x>0 ) 讨论与思考 将下列各式化简： )21(  )1(  x原式 12  1 x 2)(: yx 原式解 xy     22 23 yxyx 01 0 0      x x x yx  yx  0yx  )yx  （原式 42 例3、化简及求值： (1) (2) (3) (a＜0,b＞0) (⑷) 其中a= (5) 4a 2 2a b 21 2a a  22 )12()21(  3 42(1) (2) (3) (a＜0,b＞0) (⑷) 其中a= (5) 4a 2 2a b 21 2a a  22 )12()21(  422 解：原式 22 aa 解：原式 ab解：原式 1)1(: 2  aa原式解 221212 1221  解：原式 0,0  ba 0ab ab原式 3 1313133  ）（时，原式当a 解：原式= 2 2( 3) ( 1)x x   =|x-3|+|x+1| ∵-10 ∴原式 = (3-x) + (x+1) = 4 _________ ,4)4( 2 的取值范围是则 思考：若 m mm  mm  4?)4( 2 4m 4 04   m m 41682  mmm （默7） （默8） 1.若 ,则x的取值范围为 ( )xx  1)1( 2 (A) x≤1 (B) x≥1 (C) 0≤x≤1 (D)一切有理数 A 2.实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简 2 2( ) ( )a b b c c a     a b c 2( )b c a  2( )c a b  2( )b c a  3.已知a，b，c为△ABC的三边长，化简： + - 0)(,0)(,0 ,,,   acbbacacb cba  是三角形三边 这一类问题注意把二次根式的运算搭载在三角形三边之间的关系 这个知识点上，特别要应用好。 acbbacacb 解：原式 cab acbcbaacb   3 原式 （默9） 化简 xx  1)31 2（ 4.化简  22 2)1( pp  )2(1 pp 解：原式 1 21   pp 2 02   p p 22 )()1( aa  aa  1解：原式 12 1   a aa 3 1 031   x x （默10） 归纳 二次根式的非负性： 0a 二次根式的双重非负性：      0 0 a a a （　　）　（　　）， 时，、当   yx yx 0311   的值。求 、已知 xyz zyx 023652 2  3.根据非负数的性质，就可以确定字母的值. 2.如果几个非负数的和为零，那么每一个非负数都为零. 到现在为止，我们已学过哪些数非负数形式？ 思考： 为偶数）nan ( )0( aaa 的双重非负性再议 a 非负数 的性质： 1.几个非负数的和、积、商、乘方及 算术平方根仍是非负数  cbacba 则若（ ,023)2 2 3 （默11） （默11） （默11） 例3、当x是怎样的实数时， 有最 小值？最小值是多少？ 2x 2 02   x x 有什么性质？ 二次根式 的双重非负性：a      0 0 a a a 02 x解： 02 x2x 当x= -2时， 有最小值02x 2、2+ 的最小值为＿＿，此时x的值为 ＿＿。 x3 2 3 （默12） 当t是怎样的实数时， 有最 小值？最小值是多少？ 012 t解： 12 t 不可能）(1 01 2 2   t t 11 11 0 2 2 2    t t t 当t=0时， 有最小值1  12 t （默13） 小结： 1.怎样的式子叫二次根式？ 2.怎样判断一个式子是不是二次根式？ 3.如何确定二次根式中字母的取值范围？ .的式子叫做二次根式形如 a )0( a （1）. 形式上含有二次根号 （2）.被开方数a为非负数， 从左看到右;从上看到下 看到分数线,分母不为0 看到偶次根式,被开方数大于等于0 看到0指数,底数不为0 最后画数轴,写出解集来 4.真正理解：  )0( 2  aaa  aa2  )0( )0( aa aa   这两个性质的概念， 我们才能灵活地去解决有关二次根式的问题。 解决二次根式类问题时特别注意条件， 有时还得挖掘隐含条件。 （双重非负性）.0,0.5  aa 二次根式的性质及它们的应用: （1） （2） 2a a a 0 -a ( a >0 ) ( a =0 ) ( a <0 )   )0(, 2  aaa 3.根据非负数的性质，就可以确定字母的值. 2.如果几个非负数的和为零，那么每一个非负数都为零. 到现在为止，我们已学过哪些数非负数形式？ 思考： 为偶数）nan ( )0( aaa 的双重非负性再议 a 非负数 的性质： 1.几个非负数的和、积、商、乘方及 算术平方根仍是非负数  cbacba 则若（ ,023)2 2 3 切入点：从字母的取值范围入手。 l1.已知 ，你能求出 的值吗？4 4 2y x x     x y l3.已知 ，你能求出 a 的取值范围吗？ 1 3 x x   l2.已知 与 互为相反数， 求 、 的值. 2 9x y  3x y  x y 切入点：从代数式的非负性入手。 l4.已知 为一个非负整数，试求非负整数 的值10 a a 切入点：分类讨论思想。 (4) 1 a a 0 1 1 0 0 0 或 1 0 1 0 1或 0 a a a a a a a a a                    解:由题意得, (4) 1 a a  2.已知a,b为实数，且满足 ，你能求出a及 a+b 的值吗？ 12112  bba 2ab1.若 =0，则 =_____。 3、已知 有意义,那A(a, )在 象限.二 a 1  ∵由题意知a＜0 ∴点A(－,＋) a 2 2( 5) (2 2)a b   5 . ,12 的值求自然数 为一个整数 n n 可以为：a 12、11、 8、 3 1、求下列二次根式中字母的取值范围： （1） （2） （3） （4） 4 3x 2 1x  1x2 2 ＋ 22y ）－（1 3 2 x 1 3 0 2 1 6 x x      (1)解:由题意得, 2( 2) 0y y     可取全体实数 (2)解:由题意得, 2 1 0 1 2 x x       (3)解:由题意得, 4 3 0 2 1 2 1 0 4 3 0 4 3 0 或 2 1 0 2 1 0 4 1 3 2 x x x x x x x x                        (4)解:由题意得, 2x 1 － 0 2 0 0且 4 x x x x         解:由题意得, 1. 求下列各式有意义时的X取值范围： | | 3 1 4 x x  | | 3 0 1 4 1 4 0 | | 3 0 | | 3 0 或 1 4 0 1 4 0 3或 3 3 3 或1 1 4 4 13或 3 4 x x x x x x x x x x x x x x                                        解:由题意得,   112  xx   xx  631   23 2 x   14 x _______)3)(2(______)1()1( 22  ______)4()4(______)3 11()3( 22  11 3 4 31 2.数a在数轴上的位置如图, 则 2 _____ .a  0-2 -1 1 aa 1.填空 ____;)1()5( 22 x ;__________)6( 2 m12 x )0( )0( mm mm   3.实数p在数轴上的位置如图所示， 化简  22 2)1( pp  1 21 )2(1    pp pp 2 2( 4) ( 1)x x   2 2 2 2( ) ( ) ( ) ( )a b c a b c b a c c b a           6.x,y取怎样的实数时，下列各式在实数 范围内有意义？ (1) xy 2 2(2) x y   解（：1）由题意得， -xy 0, 即xy 0 , 0 , x y x y  是异号，两数都为 ， 或 中至少有一个数为0 ,x y（2） 中至少有一个数为0时， 2 2x y 有意义 1.（2010·芜湖中考）要使式子 有意义， a的取值范围是（ ） A. a≠ 0 B. a＞-2且a≠ 0 C. a＞-2或a≠ 0 D. a≥-2且a≠ 0 【解析】选D.要使式子 有意义，须同时 满足a+2≥0，a≠0两个条件，解两个不等式 可得a≥-2且a≠0 。 a a 2 a a 2 2．下列式子一定是二次根式的是（ ） A． B． C． D． 【解析】选C.A中只有当x≤-2时，才是二次根式，故A不一 定是二次根式；B中当x≥0时是二次根式，故B不一定是二 次根式；C中无论x为何值，x2+2＞0，所以C一定是二次根 式；D中当x=0时，不是二次根式，所以D也不正确。 2x  x 2 2x  2 2x  若a.b为实数,且 求 的值。 | 2 | 2 0a b    2 2 2 1a b b   解: 2 0,a  2 0b  而 2 2 0a b    2 0,a   2 0b  2, 2a b      2 22 2原式 1 1 2 1 3a b a b          3. 2(1 2) 2( 2 3) 2( 3 4)4.．计算： + + +…+ 2)20112010(  5.如果 2( 5)a  +│b-2│=0，求以a、b为边长的等腰 三角形的周长。 12011 20102011...342312  解原式 12 2,5,02)5( 2 的周长为 解 ABC baba   2( 3)x  2 x6.化简： -（ ）2 ． 分析：本题是化简，说明题中的每一个二次根式均在有意 义的范围内，本题有一个隐条件，即2-x≥0,x≤2. 123,2,02  xxxx 原式解 ( ) ( )a x a a y a x a a y       2 2 2 2 3x xy y x xy y     7.设等式 在实数范围内成立，其中a, x, y 是两两不等的实数，求 的值。 解：∵ ( ) ( )a x a a y a x a a y       3 13,,,0 22 22     yxyx yxyxyxyxa 巩固提高： 2( 3 2 )x 1.分别求下列二次根式中的字母的取值范围 2(1 )x 3 2 x x   （1） （2） （3） 2 3023).1(  xx 为全体实数x).2( 23203).3(  xxxx 且且 2.当x_____时, 3 3x x  有意义.=0 22( ) 2 ( )a b b a  3.化简： =______2a-3b 4.要使式子 有意义，那么x的取值范围是（ ） A、x＞0 B、x＜0 C、x=0 D、x≠0 x x  C 3 3 2y x x     3y x5.已知 ,求 的值。 393 2,3,33,0303 2   y x yxxxxx 只有且且解 0xy  2x y6.已知 ，化简： yxyxyxyxxy  22 ,0,0:0,0  得解由 7 3, 7 3x y    2 2x xy y 7.已知： ，求 的值。 1612283)( 4,72 222   xyyxyxyx xyyx  解 练习:1.用心算一算:      24  7 1   2101          2 7 12     2 233 0.1 18     2 32)5( 12      2 326 23  2.计算： 22 )15()10()1(  222])2(2[)2( 2  )9(25)7()3( 2  22 ) 7 3 5 4() 5 3 7 2()4(  51510 解原式   222222 22222  解原式 15357 解原式 35 2 7 1 5 1 7 3 5 4 7 2 5 3  解原式                 22 2 2 1 1 0 1 5 ; 2 7 2 5 9 ; 3 2 2 2 2 2 .              试试你的计算能力: 2 15 -5 试试你的计算能力:     2 2 2 3 2 4 21 | |; 5 3 5 3 2 3 4 32 . 7 5 5 7                     15 23 35 2  把下列各式写成平方差的形式， 再在 实数范围内分解因式； 54)1( 2 x 103)2( 2 a 22 52)1( ）（）（原式解、  x 22 103)2( ）（）（原式  a )52)(52(  xx )103)(103(  aa 思路启迪：利用 可以把任何一 个非负数或非负式子写成完全平方形式．    0 2  aaa 把下列各式写成平方差的形式， 再在 实数范围内分解因式； 9)3( 4 a 96)4( 24  aa 222 3)3(  ）（原式 a 22 )3()4(  a原式 )3)(3( 22  aa )3)(3)(3( 2  aaa 22 )3()3(  aa .,18 的值求自然数为一个整数 nn n为2，9，14，17 1( 2 ) 1 2 a 1 0 1 2 1 2 0 1 2 0 1 2 a a a a            解:由题意得,