数学华东师大版八年级上册课件13-3 等腰三角形 第1课时 18页

第13章 全等三角形 13.3 等腰三角形 第1课时 1.理解并掌握等腰三角形的性质.(重点) 2.经历等腰三角形的探究过程，能初步运用等腰三角形的性 质解决有关问题.(难点) 学习目标 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形. 等腰三角形中，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边， 两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角. A CB 腰腰 底边 顶 角 底角底角 复习引入 剪一张等腰三角形的半透明纸片，每人所剪的等腰三角 形的大小和形状可以不一样，如图，把纸片对折，让两腰AB、 AC重叠在一起，折痕为AD.你能发现什么现象吗？ D A B C A B CD 等腰三角形的性质一 1.等腰三角形是轴对称图形. 我们可以得出结论： A CB D 折痕AD所在直线是等腰三角形的对称轴. 你还有新的发现吗？ ∠B，∠C 是等腰三角形的 .底角 ∠B ＝∠C 所以我们可以描述为: 等腰三角形的两个底角相等. 2. 探究归纳 等腰三角形的性质： 等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）. 已知：如图，△ABC 中，AB=AC，求证：∠B=∠C . 证明：作顶角∠BAC的平分线AD. 在△ABD与△ACD中， AB＝AC（已知）， ∠1＝∠2（已证）， AD＝AD（公共边）， ∴ △ABD ≌ △ACD（S.A.S.）， ∴ ∠B＝∠C. A B CD ( ( 1 2 分析：由上述操作可以得到启发，即添加等腰三角形的顶角平 分线AD，然后证明△ABD ≌ △ACD. 从这里你还可以得到什么结论? 例1 已知：在△ABC中 ，AB=AC，∠ B=80 °，求∠ C 和∠ A的大小. A B C ( = 80 ( AB AC C B       已知）, 等边对等角）. =180 ( 180 =180 ( =180 80 80 =20 . A B C A B C                    又 三角形的内角和 等于 ）, 等式的性质） 解： 典例精析 想一想： 刚才的证明除了能得到∠B＝∠C ，你还能发现什么? 重合的线段 重合的角 　 A B D C AB＝AC BD＝CD AD＝AD ∠B ＝ ∠C ∠BAD ＝ ∠CAD ∠ADB ＝∠ADC =90° 性质 等腰三角形底边上的高、中线及顶角的平分线， 互相重合（简称“三线合一”）. A B CD ( ( 1 2 填一填:根据等腰三角形性质完成下列填空. 在△ABC中， AB=AC时， （1）∵AD是底边上的高， ∴∠_____ = ∠_____，____= ____. (2) ∵AD是中线， ∴____⊥____ ，∠_____ =∠_____. (3) ∵AD是角平分线， ∴____ ⊥____ ，_____ =_____. 1 2 2 BD CD AD BC BD 1 BCAD CD 例2 在△ABC中 ，AB=AC，D是BC边上的中点，∠B=30°. 求：（1）∠ADC的大小；（2）∠1的大小. A D C 1 2 (2)∵∠1 +∠B +∠ADB=180°（三角形内角和等于180°）， ∠B=30°（已知）， ∴∠1=180°-∠B-∠ADB =180°-30°-90°=60°. ∴AD⊥BC(等腰三角形“三线合一”). ∴∠ADC =∠ADB=90°(垂直的定义). 解：(1) ∵AB = AC，BD=DC（已知）， B 因为等边三角形是特殊的等腰三角形，由等腰三角形等边对等角 的性质得到，∠B＝ ∠ C， 同理可得 ∠A＝∠B 所以 ∠A＝∠B＝∠C， 又由 ∠A＋∠B＋∠C＝180°， 从而推出 ∠A＝∠B＝∠C＝60°. 也就是说：等边三角形的各个角都相等， 并且每一个角都等于60°. 三条边都相等的三角形是等边三角形，它也是轴对称图形，那 么等边三角形的每个角的度数是多少呢？它有几条对称轴？ A C B 等边三角形的三条边都相等，三个角都相等， 也称为正三角形. 三条对称轴 等边三角形的性质二 A B C D 例3 如图，在△ABC中 ，AB=AC，点D在AC上，且 BD=BC=AD，求△ABC各角的度数. （1）找出图中所有相等的角； （2）指出图中有几个等腰三角形？ ∠A=∠ABD, ∠C=∠BDC=∠ABC； △ABC, △ABD, △BCD； A B C D x ⌒ 2x⌒ 2x ⌒ ⌒ 2x （3）观察∠BDC与∠A，∠ABD的关系， ∠ABC、∠C呢？ ∠BDC= ∠A+ ∠ABD=2∠A=2∠ABD, ∠ABC= ∠BDC=2∠A, ∠C= ∠BDC=2∠A； （4）设∠A=x,请把△ ABC的内角和用含 x的式子表示出来. ∵ ∠A+ ∠ABC+ ∠ C=180 °， ∴x+2x+2x=180 °. A B C D 解：∵AB=AC，BD=BC=AD， ∴∠ABC=∠C=∠BDC， ∠A=∠ABD. 设∠A=x，则∠BDC= ∠A+ ∠ABD=2x， 从而∠ABC= ∠C= ∠BDC=2x， 于是在△ABC中，有 ∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180 °， 解得x=36 °. 在△ABC中，∠A=36°，∠ABC=∠C=72°. x ⌒ 2x ⌒ 2x⌒ ⌒ 2x 当堂练习 1. 如图，在下列等腰三角形中，分别求出它们的底角的度数. A B C 120° A B C 36° ∠B=∠C = 72° ∠B=∠C = 30° 2.(1)等腰三角形一个底角为75°,它的另外两个角为 ； (2)等腰三角形一个角为36°,它的另外两个角为 ___________________ _； (3)等腰三角形一个角为120°,它的另外两个角为 . 75°，30° 72°，72°或36°，108° 30°，30° 结论:在等腰三角形中,注意对角的分类讨论. ① 顶角+2×底角=180° ② 顶角=180°－2×底角 ③ 底角=（180°－顶角）÷2 ④0°＜顶角＜180° ⑤0°＜底角＜90° A CB D 3. 如图，是西安半坡博物馆屋顶的截面图，已经知道它的两边AB和AC是 相等的.建筑工人师傅对这个建筑物做出了两个判断: ①工人师傅在测量了∠B为37°以后，并没有测量∠C ，就说∠C 的度数也 是37°;②工人师傅要加固屋顶，他们通过测量找到了横梁BC的中点D，然 后在AD两点之间钉上一根木桩，他们认为木桩是垂直横梁的. 请同学们想想,工人师傅的说法对吗？请说明理由. 工人师傅的说法是对的，△ABC是等 腰三角形，根据等腰三角形的性质可 以得出这样的结论. 课堂小结 等 腰 三 角 形 的 性 质 等 边 对 等 角 等 边 三 角 形 注意是指同一个三角形中 注意是指顶角的平分线、底 边上的高和中线才有这一性 质.而腰上高、中线和底角 的平分线不具有这一性质. 三 线 合 一 有三条对称轴，每个内角等 于60°.