2020-2021学年人教版初二数学上册期中考点专题06 全等三角形的判定 15页

‎2020-2021学年人教版初二数学上册期中考点专题06 全等三角形的判定 重点突破 知识点一 全等三角形的判定（重点）‎ 一般三角形 直角三角形 判定 边角边（SAS）、角边角（ASA）‎ 角角边（AAS）、边边边（SSS）‎ 具备一般三角形的判定方法 斜边和一条直角边对应相等（HL）‎ 性质 对应边相等，对应角相等 对应中线相等，对应高相等，对应角平分线相等 备注：‎ ‎1.判定两个三角形全等必须有一组边对应相等。‎ ‎2.全等三角形周长、面积相等。‎ 知识点二 证题的思路（难点）‎ 考查题型一 利用SAS判断两个三角形全等 典例1（2020惠州市期末）如图，点E、F分别是矩形ABCD的边 AB、CD上的一点，且DF＝BE.‎ ‎ 求证：AF=CE.‎ ‎【答案】证明见解析 ‎【分析】‎ 由SAS证明△ADF≌△CBE，即可得出AF＝CE．‎ ‎【详解】‎ 证明：∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴∠D＝∠B＝90°，AD＝BC，‎ 在△ADF和△CBE中，，‎ ‎∴△ADF≌△CBE（SAS），‎ ‎∴AF＝CE．‎ 变式1-1（2018·丹江口市期末）如图，点E,F在AB上，.‎ 求证：.‎ ‎【答案】详见解析 ‎【分析】‎ 先将转化为AF＝BE，再利用证明两个三角形全等.‎ ‎【详解】‎ 证明：因为AE＝BF，所以，AE＋EF＝BF＋EF，即AF＝BE，‎ 在△ADF和△BCE中，‎ 所以，‎ 变式1-2（2019·武汉市期中）已知：如图，点C为AB中点，CD=BE，CD∥BE.求证:△ACD≌△CBE.‎ ‎【答案】证明见解析.‎ ‎【解析】‎ 证明：∵CD∥BE，∴∠ACD=∠B..‎ ‎∵点C为AB中点，∴AC=CB.‎ 又∵CD=BE，∴△ACD≌△CBE（SAS）‎ 变式1-3（2019·兰州市期末）如图，△ABC中，AB=AC，点E，F在边BC上，BE=CF，点D在AF的延长线上，AD=AC，‎ ‎（1）求证：△ABE≌△ACF；‎ ‎（2）若∠BAE=30°，则∠ADC=　 　°．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）75．‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据等边对等角可得∠B=∠ACF，然后利用SAS证明△ABE≌△ACF即可；‎ ‎（2）根据△ABE≌△ACF，可得∠CAF=∠BAE=30°，再根据AD=AC，利用等腰三角形的性质即可求得∠ADC的度数.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）∵AB=AC，‎ ‎∴∠B=∠ACF，‎ 在△ABE和△ACF中，‎ ‎，‎ ‎∴△ABE≌△ACF（SAS）；‎ ‎（2）∵△ABE≌△ACF，∠BAE=30°，‎ ‎∴∠CAF=∠BAE=30°，‎ ‎∵AD=AC，‎ ‎∴∠ADC=∠ACD，‎ ‎∴∠ADC==75°，‎ 故答案为75．‎ 考查题型二 利用ASA判断两个三角形全等 典例2（2019·玉林市期中）如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在 AC 边上，∠1＝∠2，AE和BD 相交于点O．‎ 求证：△AEC≌△BED；‎ ‎【答案】见解析 ‎【分析】‎ 根据全等三角形的判定即可判断△AEC≌△BED；‎ ‎【详解】‎ ‎∵AE和BD相交于点O， ∴∠AOD=∠BOE． 在△AOD和△BOE中， ∠A=∠B，∴∠BEO=∠2． 又∵∠1=∠2， ∴∠1=∠BEO， ∴∠AEC=∠BED． 在△AEC和△BED中，‎ ‎ ‎ ‎∴△AEC≌△BED（ASA）．‎ 变式2-1（2018·楚雄州期末）如图，完成下列推理过程：‎ 如图所示，点E在△ABC外部，点D在BC边上，DE交AC于F，若∠1＝∠3，∠E＝∠C，AE＝AC，求证：△ABC≌△ADE.‎ 证明：∵∠E＝∠C（已知），‎ ‎∠AFE＝∠DFC（ ）,‎ ‎∴∠2=∠3（ ）,‎ 又∵∠1＝∠3（ ）,‎ ‎∴∠1=∠2（等量代换），‎ ‎∴__________+∠DAC=__________+∠DAC（ ）,‎ 即∠BAC=∠DAE,‎ 在△ABC和△ADE中 ‎∵‎ ‎∴△ABC≌△ADE（ ）.‎ ‎【答案】对顶角相等；三角形内角和定理；已知；∠1；∠2；等式的性质；ASA ‎【详解】‎ 解：∵∠E=∠C（已知），‎ ‎∠AFE=∠DFC（对顶角相等），‎ ‎∴∠2=∠3（三角形内角和定理）．‎ 又∵∠1=∠3（已知），‎ ‎∴∠1=∠2（等量代换），‎ ‎∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC（等式的性质），‎ 即∠BAC=∠DAE．‎ 在△ABC和△ADE中，‎ ‎∵，‎ ‎∴△ABC≌△ADE（ASA）．‎ 变式2-2（2019·德州市期末）如图，AB＝AC，AB⊥AC，AD⊥AE，且∠ABD＝∠ACE.‎ 求证：BD＝CE.‎ ‎【答案】见解析.‎ ‎【分析】‎ 先求出∠CAE＝∠BAD再利用ASA证明△ABD≌△ACE，即可解答 ‎【详解】‎ ‎∵AB⊥AC，AD⊥AE，‎ ‎∴∠BAE+∠CAE＝90°，∠BAE+∠BAD＝90°，‎ ‎∴∠CAE＝∠BAD.‎ 又AB＝AC，∠ABD＝∠ACE，‎ ‎∴△ABD≌△ACE(ASA).‎ ‎∴BD＝CE.‎ 考查题型三 利用AAS判断两个三角形全等 典例3（2019·黄石市期中）如图，在ABCD中，经过A，C两点分别作AE⊥BD，CF⊥BD，E，F为垂足．‎ ‎（1）求证：△AED≌△CFB；（2）求证：四边形AFCE是平行四边形．‎ ‎【答案】（1）见解析;（2）见解析.‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据平行四边形的性质可得AD＝BC，∠CBF＝∠ADE，再根据垂线的性质可得∠CFB＝∠AED＝90°，再根据全等三角形的判定（角角边）来证明即可；‎ ‎（2）根据全等三角形的性质可得AE＝CF，再由AE⊥BD，CF⊥BD可得AE∥CF，根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形即可证明.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AD＝BC，AD∥BC，‎ ‎∴∠CBF＝∠ADE，‎ ‎∵AE⊥BD，CF⊥BD，‎ ‎∴∠CFB＝∠AED＝90°，‎ ‎∴△AED≌△CFB（AAS）．‎ ‎（2）证明：∵△AED≌△CFB，‎ ‎∴AE＝CF，‎ ‎∵AE⊥BD，CF⊥BD，‎ ‎∴AE∥CF，‎ ‎∴四边形AFCE是平行四边形．‎ 变式3-1（2019·兴义市期末）如图，已知在四边形ABCD中，点E在AD上，∠BCE=∠ACD=90°，∠BAC=∠D，BC=CE．‎ ‎（1）求证：AC=CD；‎ ‎（2）若AC=AE，求∠DEC的度数．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）112.5°．‎ ‎【分析】‎ 根据同角的余角相等可得到结合条件，再加上 可证得结论； 根据 得到 根据等腰三角形的性质得到 由平角的定义得到 ‎【详解】‎ 证明：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 在△ABC和△DEC中，，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（2）∵∠ACD＝90°，AC＝CD，‎ ‎∴∠1＝∠D＝45°，‎ ‎∵AE＝AC，‎ ‎∴∠3＝∠5＝67.5°，‎ ‎∴∠DEC＝180°－∠5＝112.5°．‎ 变式3-2（2019·温州市期中）如图，已知，，，在同一直线上，，，.试说明：.‎ ‎【答案】见解析；‎ ‎【分析】‎ 由AB∥CD可得∠BAC=∠DCA，由AF=CE可得AE=CF，由AAS可得△ABE≌△CDF．‎ ‎【详解】‎ 证明∵，‎ ‎∴‎ ‎∵，‎ ‎∴，即.‎ 在和中，‎ ‎，‎ ‎∴（AAS）‎ 考查题型四 利用SSS判断两个三角形全等 典例4（2019·德州市期中）已知：如图，AB＝AC，BD＝CD，DE⊥AB，垂足为E，DF⊥AC，垂足为F．求证：DE＝DF．‎ ‎【答案】见解析 ‎【分析】‎ 连接AD，利用“边边边”证明△ABD和△ACD全等，再根据全等三角形对应边上的高相等证明．‎ ‎【详解】‎ 证明：如图，连接AD，‎ 在△ABD和△ACD中，‎ ‎，‎ ‎∴△ABD≌△ACD（SSS），‎ ‎∵DE⊥AB，DF⊥AC，‎ ‎∴DE＝DF（全等三角形对应边上的高相等）．‎ 变式4-1（2019·阳泉市期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，点E在AD上，求证：∠1＝∠2.‎ ‎【答案】证明见详解 ‎【分析】‎ 由AB=AC,AD=AD,BD=CD,可证得△ABD≌△ACD,得到∠BAE=∠CAE,再证明△ABE≌△ACE,即可得到结论.‎ ‎【详解】‎ 证明:AB=AC,AD=AD,BD=CD,‎ 在△ABD和△ACD中,‎ ‎△ABD≌△ACD, ∠BAE=∠CAE,‎ 在△ABE和△ACE中, ‎ ‎△ABE≌△ACE ‎∠1=∠2.‎ 变式4-2（2019·鄂州市期中）如图，点A、D、C、F在同一条直线上，AD=CF，AB=DE，BC=EF.‎ ‎(1)求证：ΔABC≌△DEF；‎ ‎(2)若∠A=55°，∠B=88°，求∠F的度数.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）37°‎ ‎【解析】‎ ‎（1）∵AC=AD+DC， DF=DC+CF，且AD=CF ‎∴AC=DF 在△ABC和△DEF中，‎ ‎∴△ABC≌△DEF（SSS）‎ ‎（2）由（1）可知，∠F=∠ACB ‎∵∠A=55°，∠B=88°‎ ‎∴∠ACB=180°－（∠A+∠B）=180°－（55°+88°）=37°‎ ‎∴∠F=∠ACB=37°‎ 变式4-3（2020·石家庄市期末）如图，点B，F，C，E在直线l上（F，C之间不能直接测量），点A，D在l异侧，测得AB=DE，AC=DF，BF=EC．‎ ‎（1）求证：△ABC≌△DEF；‎ ‎（2）指出图中所有平行的线段，并说明理由.‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）∠ABC=∠DEF，∠ACB=∠DFE,理由见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）证明：∵BF=EC，‎ ‎∴BF+CF=CF+CE，‎ ‎∴BC="EF" ‎ ‎∵AB=DE，AC="DF" ‎ ‎∴△ABC≌△DEF（SSS）‎ ‎（2）AB∥DE,AC∥DF,理由如下，‎ ‎∵△ABC≌△DEF，‎ ‎∴∠ABC=∠DEF，∠ACB=∠DFE,‎ ‎∴AB∥DE,AC∥DF.‎ 考查题型五 利用HL判断两个直角三角形全等 典例5（2019·云龙县期中）已知：如图，AC=BD，AD⊥AC，BC⊥BD．求证：AD=BC ‎【答案】见解析 ‎【分析】‎ 连接CD，利用HL定理得出Rt△ADC≌Rt△BCD进而得出答案．‎ ‎【详解】‎ 证明：如图，连接CD，‎ ‎∵AD⊥AC，BC⊥BD，∴∠A=∠B=90°，‎ 在Rt△ADC和Rt△BCD中 ‎，‎ ‎∴Rt△ADC≌Rt△BCD（HL），‎ ‎∴AD=BC．‎ 变式5-1（2019·开封市期中）已知：如图，AB＝CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E，F是垂足，．‎ 求证：（1）；（2）．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据垂直的定义得到∠DEC=∠BFA=90°，推出Rt△DCE≌Rt△BFA（HL），由全等三角形的性质即可得到结论.‎ ‎（2）根据全等三角形的性质得到∠C=∠A，根据平行线的判定即可得到AB∥CD.‎ ‎【详解】‎ 证明： ∵ DE⊥ AC， BF⊥ AC ‎∴ ∠DEC=∠BFA=90°‎ 在Rt△ DEC和Rt△ BFA中 AB=CD DE=BF ‎∴ Rt△ DCE≌Rt△ BFA（HL）‎ ‎∴ AF=CE ‎∴ ∠C=∠A ‎∴ AB∥ CD 变式5-2（2018·开封市期末）如图，、、、四点在一条直线上，，，，垂足分别为点、点，．‎ 求证：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析.‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由垂直的定义，结合题目已知条件可利用HL证得结论；‎ ‎（2）由（1）中结论可得到∠D＝∠B，则可证得结论．‎ ‎【详解】‎ 证明：‎ ‎（1）∵，，‎ ‎∴和为直角三角形，‎ ‎∵，‎ ‎∴，即，‎ 在和中，‎ ‎，‎ ‎∴；‎ ‎（2）由（1）可知，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ 考查题型六 三角形全等判定的综合 典例6（2019·保定市期末）下列各图中a、b、c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC全等的是（　　）‎ A．甲和乙 B．乙和丙 C．甲和丙 D．只有丙 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 乙和△ABC全等；理由如下：‎ 在△ABC和图乙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：SAS，‎ 所以乙和△ABC全等；‎ 在△ABC和图丙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：AAS，‎ 所以丙和△ABC全等；‎ 不能判定甲与△ABC全等；‎ 故选B．‎ 变式6-1（2019·武汉市期中）如图，在△ABC和△DEC中，已知AB=DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一组条件是（ ）‎ A．BC=EC，∠B=∠E B．BC=EC，AC=DC C．BC=DC，∠A=∠D D．∠B=∠E，∠A=∠D ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：根据全等三角形的判定方法分别进行判定：‎ A、已知AB=DE，加上条件BC=EC，∠B=∠E可利用SAS证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意；‎ B、已知AB=DE，加上条件BC=EC，AC=DC可利用SSS证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意；‎ C、已知AB=DE，加上条件BC=DC，∠A=∠D不能证明△ABC≌△DEC，故此选项符合题意；‎ D、已知AB=DE，加上条件∠B=∠E，∠A=∠D可利用ASA证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意．‎ 故选C．‎ 变式6-2（2020·杭州市期末）如图所示，在下列条件中，不能判断△ABD≌△BAC的条件是（　　）‎ A．∠D＝∠C，∠BAD＝∠ABC B．∠BAD＝∠ABC，∠ABD＝∠BAC C．BD＝AC，∠BAD＝∠ABC D．AD＝BC，BD＝AC ‎【答案】C ‎【解析】‎ 解：A、符合AAS，能判断△ABD≌△BAC；‎ B、符合ASA，能判断△ABD≌△BAC；‎ C、符合SSA，不能判断△ABD≌△BAC；‎ D、符合SSS，能判断△ABD≌△BAC．‎ 所以根据全等三角形的判定方C、满足SSA不能判断两个三角形全等．‎ 故选C．‎ 变式6-3（2018·虹桥区期中）如图，在下列条件中，不能证明△ABD≌△ACD的是（ ）.‎ A．BD=DC，AB=AC B．∠ADB=∠ADC，BD=DC C．∠B=∠C，∠BAD=∠CAD D．∠B=∠C，BD=DC ‎【答案】D ‎【分析】‎ 两个三角形有公共边AD，可利用SSS，SAS，ASA，AAS的方法判断全等三角形．‎ 解答：‎ ‎【详解】‎ 分析：‎ ‎∵AD=AD，‎ A、当BD=DC，AB=AC时，利用SSS证明△ABD≌△ACD，正确；‎ B、当∠ADB=∠ADC，BD=DC时，利用SAS证明△ABD≌△ACD，正确；‎ C、当∠B=∠C，∠BAD=∠CAD时，利用AAS证明△ABD≌△ACD，正确；‎ D、当∠B=∠C，BD=DC时，符合SSA的位置关系，不能证明△ABD≌△ACD，错误．‎ 故选D．‎