第3章图形的平移与旋转复习 9页

‎ ‎ 第三章　图形的平移与旋转 教学目标：通过观察生活实例，学生初步感知平移旋转现象，并能在方格纸上按要求将简单图形平移 教学重点：使学生初步感知平移和旋转现象，并能正确的在方格纸上数出图形平移的距离 教学难点：正确的在方格纸上数出图形平移的距离 知识点总述　‎ ‎1．平移的定义与规律 ‎ （1）定义：在平面内将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移．‎ ‎ 关键：平移不改变图形的形状和大小，也不会改变图形的方向．‎ ‎ （2）平移的规律：经过平移，对应线段、对应角分别相等，对应点所连的线段平行且相等（或共线且相等）．‎ ‎ （3）简单作图 ‎ 平移的作图主要关注要点：1．方向，2．距离．整个平移的作图，就象把整个图案的每个特征点放在一套平行的轨道上滑动一样，每个特征点滑过的距离是一样的．‎ ‎2．旋转的定义与规律 ‎ （1）定义：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转．‎ ‎ 关键：旋转不改变图形的大小和形状，但改变图形的方向．‎ ‎ （2）旋转的规律 ‎ 经过旋转，图形上的每一点，都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．‎ ‎ （3）简单的旋转作图 ‎ 旋转作图关键有两点：①旋转方向，②旋转角度．主要分四步：边、转、截、连．旋转就象把每个特征点与旋转中心用线连住的风筝，每个点转的角度是相同的，每个点与旋转中心的距离是不会改变的，即对应点与旋转中心距离相等．‎ ‎3．图案的分析与设计 ‎ 首先找到图中的基本图案，然后分析其图案与它的关系，即由它作何种运动变换而形成的，我们主要遇到的变换有：轴对称、平移、旋转．在相似形一章里还会学到图形的放大与缩小等．‎ ‎【考点与命题趋势分析】‎ ‎（一）考点 ‎ 1．图形的平移 ‎ （1）通过具体实例认识平移，探索它的基本性质，理解对应点连线平行且相等的性质．‎ ‎ （2）能按要求作出简单平面图形平移后的图形．‎ ‎ （3）利用平移进行图案设计，认识和欣赏平移在现实生活中的应用．‎ ‎ 2．图形的旋转．‎ ‎ （1）通过具体实例认识旋转，探索它的基本性质，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质．‎ ‎ （2）了解平行四边形、圆是中心对称图形．‎ ‎ （3）能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形．‎ ‎ （4）欣赏旋转在现实生活中的应用．‎ 9‎ ‎ ‎ ‎ （5）探索图形之间的变换关系（轴对称、平移、旋转及其组合）．‎ ‎（6）灵活运用轴对称、平移和旋转的组合进行图案设计．‎ 例1 请说出下面乙树是怎样由甲树变换得到的．‎ ‎ 解：乙树是甲树先绕点A逆时针方向旋转到与地面垂直，然后再关于图中虚线（对称轴）轴对称得到的．‎ 例2 观察下面的图案，它可以看成是由哪个图形经过怎样的变换产生的？‎ ‎ 解：本图是由基本图形 旋转90°，连续旋转3次得到．‎ ‎ ‎ ‎（二）命题趋向分析 ‎ 近几年来，利用图形的平移出中考题在各省市屡见不鲜，有些题动手动脑程度很高，要求学生动手操作能力强．能够猜想、验证题目的结论，探索用平移变换解决比较复杂的问题．‎ ‎ 值得注意的是新课标把平移与旋转引入新课程，又增加了图案设计内容，本章内容将成为今后几年中考命题的热点之一．‎ ‎ 例1（2002年河北省）请你完成下列问题．‎ ‎ 图形的操作过程（本题中四个长方形的水平方向的边长均为a，竖直方向的边长均为b）；‎ 在图1中，将线段A1A2向右平移1个单位到B1B2，得到封闭图形A1A2B2B1（即阴影部分）；‎ ‎ ‎ ‎ （1） （2） （3）‎ 在图2中，将折线A1A2A3向右平移1个单位到B1B2B3，得到封闭图形A1A2A3B3B2B1（即阴影部分）．‎ ‎（1）在图3中，请你类似地画一条有两个折点的折线，同样向右平移一个单位，从而得到一个封闭图形，并用斜线画出阴影．‎ ‎ （2）请你分别写出上述三个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积：S1=_____，S2=_______，S3=_______；‎ ‎ （3）联想与探索 9‎ ‎ ‎ 如图4，在一块长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽度都是1个单位），请你猜想空白部分表示的草地面积是多少，并说明你的猜想是正确的．‎ ‎ ‎ ‎ （4） （5） （6）‎ ‎ 解：（1）如图5；‎ ‎ （2）ab-b，ab-b，ab-b；‎ ‎ （3）猜想：依据前面的有关计算，可以猜想草地的面积仍为ab-b．‎ ‎ 方案：‎ ‎ ①将“小路”沿着左右两边界“剪去”；‎ ‎ ②将左侧的草地向右平移一个单位；‎ ‎ ③得到一个新矩形（如图6）．‎ 理由：在新得到的矩形中，其纵向宽仍然是b，其水平方向的长度变成了a-1，所以草地面积就是b（a-1）=ab-b。‎ ‎【解题方法与技巧】‎ 图案设计题 ‎ 例1：如图，已知平行四边形ABCD，试用两种方法，将平行四边形ABCD分成面积相等的四个部分（要求用文字简述你所设计的两种方法，并在所给的两个平行四边形中正确画图）．‎ ‎ {思路分析}解答此题的方案很多，但无论是哪种方法，都离不开ABCD是中心对称图形．‎ 解：如图所示（选择其中任意两种）．‎ 9‎ ‎ ‎ ‎ 例2一位农夫临终前把他的四个儿子叫到床前说：“我没什么留给你们，只有祖上留下的几十亩地．我死后，你们把它分了吧，为了避免争吵，你们还是平分吧．”农夫死后，他的四个儿子开始分地，地里有四口井，4棵树，如图，他们决定分成面积，形状相同的四块，并且每人一口井，一棵树，但他们左比比，右画画，不知怎么分．同学们，你能帮帮他们吗？‎ 解：如图．‎ 例3如图，田村有一口呈四边形的池塘，在它的四角A、B、C、D处均种有一棵大核桃树．田村准备开挖池塘建养鱼池，想使池塘面积扩大一倍，又想保持核桃树不动，并要求扩建后的池塘成平行四边形形状，请问田村能否实现这一设想？若能，请你设计并画出图形；若不能，请说明理由（画图要保留痕迹，不写画法．）‎ ‎ ‎ ‎ {分析}此题考查的是中心对称（或旋转）的应用．连结AC、BD相交于O，将△ABO、△BCO、△CDO、△DAO分别绕AB、BC、CD、DA的中点旋转180°，拼成一个平行四边形．‎ ‎ 解：能，设计如图所示．‎ ‎ 方法2：利用旋转变换解决几何问题 例4如图，有边长为1的等边三角形ABC和顶角为120°的等腰△DBC，以D为顶点作60°角，两边分别交AB、AC于M、N的三角形，连结MN，试说明△AMN的周长为2．‎ ‎ {思路分析}把△NDC绕点D逆时针方向旋转120°，得到△N′DB．由条件可知∠ABD=∠ACD=90°．‎ ‎ ∴A、B、N′共线 ‎ ∵DN′＝DN ∠MDN=60° ∠2+∠3=60°‎ ‎ ∴∠1=∠2‎ 9‎ ‎ ‎ ‎ ∴∠1+∠3=60°＝∠MDN ∵MD=MD ‎ ∴△MDN′与△MDN关于MD对称 ∴MN=MN′ 问题可求．‎ ‎ ‎ ‎【解】如图，将△DNC绕D点旋转，使点C与点B重合，得到△DN′B，∵△ABC为等边三角形，所以∠ABC=∠ACB=60°，又∵△DBC是顶角为120°的等腰三角形，所以∠DBC=∠DCB=30°，∴∠ACD=∠ABD=∠DBN′=90°，DM=DM，DN=DN′，∠MDN=∠DMN′=60°，所以△DMN与△DMN′关于DM对称，故MN=MN′=BM+CN，所以△AMN的周长=AM+NA+MN=AM+AN+BM+CN=AB+AC=2．‎ ‎【中考试题归类解析】‎ 第1题. （2006　芜湖课改）如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，将绕原点逆时针旋转得到，则点的坐标是（ ）‎ Ａ． Ｂ． ‎ Ｃ． Ｄ．‎ 答案：Ａ 第2题. （2006　临沂非课改）如图，小正六边形沿着大正六边形的边缘顺时针滚动，小正六边形的边长是大正六边形边长的一半，当小正六边形由图①位置滚动到图②位置时，线段绕点顺时针转过的角度为 度．‎ A O 图①‎ A O A O A O 图②‎ 答案：‎ 第3题. （2006　长沙课改）如图，沿直角边所在的直线向右平移得到A B E C F D ，下列结论中错误的是（　　）‎ Ａ． Ｂ．‎ Ｃ． Ｄ．‎ 答案：Ｄ 第4题. （2006　长沙课改）如图，已知等腰梯形中，，，，则此等腰梯形的周长为（　　）‎ 9‎ ‎ ‎ Ａ．19 Ｂ．20 ‎ A D B C Ｃ．21 Ｄ．22‎ 答案：Ｄ A C F P B E 第5题. （2006　德州非课改）如图，已知中，，，直角的顶点是中点，两边，分别交，于点，，给出以下五个结论：‎ ‎①②③是等腰直角三角形④⑤‎ 当在内绕顶点旋转时（点不与，重合），上述结论中始终正确的A C P B 序号有 ．答案：①②③⑤‎ 第6题. (2006　青岛课改)如图，是正三角形内的一点，且．若将绕点逆时针旋转后，得到，则点与点之间的距离为 ， ．‎ 答案：6,. 150‎ 第7题. （2006　海南课改）在平面直角坐标系中的位置如图9所示．‎ ‎（1）作出关于轴对称的，并写出各顶点的坐标；‎ ‎（2）将向右平移6个单位，作出平移后的，并写出各顶点的坐标；‎ ‎（3）观察与，它们是否关 于某直线对称？若是，请在图上画出 这条对称轴．‎ 9‎ ‎ ‎ 答案：（1）‎ ‎（2）‎ ‎（3）与关于直线轴对称．‎ 第8题. （2006　安徽课改）如图，中，，将绕顶点旋转，点落在处，则 的长为（　　）‎ Ａ． Ｂ．4 Ｃ． Ｄ．‎ 答案：Ｂ ‎1‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎0‎ 第9题. （2006　贵港课改）如图，将绕点逆时针方向旋转，则旋转后点的坐标是　　　　　．‎ 答案：‎ 第10题. （2006　衡阳课改）如图所示的五角星绕中心点旋转一定的角度后能与自身完全重合，则其旋转的角度至少为 ．‎ 答案：‎ 第11题. （2006　苏州课改）下列图形中，旋转后可以和原图形重合的是（　　）‎ Ａ．正六边形 Ｂ．正五边形 Ｃ．正方形 Ｄ．正三角形 答案：Ａ 第12题. （2006　菏泽课改）下面方格中是美丽可爱的小金鱼，在方格中分别画出原图形向右平移五个格和把原图形以点为旋转中心顺时针方向旋转得到的小金鱼（只要求画出平移、旋转后的图形，不要求写出作图步骤和过程）．若每个小方格的边长均为，则小金鱼所占的面积为_________（直接写出结果）．‎ C GF FF D E B A 9‎ ‎ ‎ A A B C D E GF FF B GF FF D E C A C GF FF D E B 答案：（课改区）平移正确；旋转正确；‎ 金鱼的面积．‎ 第13题. （2006　枣庄课改）将点绕原点按顺时针方向旋转到点，则点的坐标是___________．‎ 答案：‎ 第14题. （2006　长春课改）如图，将绕点逆时针旋转，得到．若点的坐标为，则点的坐标为　　　　　．‎ 答案：‎ 第15题. （2006　新疆课改）如图，照相时为了把近处的较高物体照下来，常常保持镜头中心不动，使相机旋转一定的角度，若点从水平位置顺时针旋转了，那么点从水平位置顺时针旋转了　　　　_________度．‎ x y ‎4‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎1 2 3 4‎ ‎0‎ A B 答案：30‎ 第16题. （2006　山西临汾）将图中线段绕点按顺时针方向旋转后，得到线段，则点的坐标是______________．‎ 答案：‎ 第17题. （2006　安徽课改）下列现象不属于平移的是（　　）‎ Ａ．小华乘电梯从一楼到三楼 Ｂ．足球在操场上沿直线滚动 9‎ ‎ ‎ Ｃ．一个铁球从高处自由落下 Ｄ．小朋友坐滑梯下滑 ‎(1)‎ ‎(2)‎ A B 答案：Ｂ 第18题. （2006　郴州课改）如图方格中，有两个图形．‎ ‎（1）画出图形（1）向右平移7个单位的像；‎ ‎（2）画出像关于直线轴反射的像；‎ ‎（3）将像与图形（2）看成一个整体图形，请写出这个整体图形的对称轴的条数．‎ 答案：（1）图略； （2）图略； （3）2条．‎ 第19题. （2006　娄底）如图，在平面直角坐标系中，已知的顶点坐标，，．（1）写出的顶点坐标；‎ ‎（2）将变换至要通过什么变换？请说明；‎ x y A B C D E F O ‎（3）画出关于轴的轴反射图形．‎ 答案：解：（1），，．‎ ‎（2）是由绕着点顺时针旋转得到的．‎ ‎（3）略．‎ 第20题. （2006　娄底）下列A、B、C、D四幅图案中，能通过平移图案（1）得到的是（ ）‎ ‎ （1） A． B． C． D．‎ 答案：B 9‎