八年级下数学课件《一次函数与二元一次方程的关系》课件_冀教版 36页

第二十一章 一次函数 21.5 一次函数与二元一次 方程的关系 1 u一次函数与二元一次方程的关系 u一次函数与二元一次方程组的关系 2 逐点 导讲练 课堂 小结 作业 提升 如图所示，是某次100米训练赛中飞人博尔特与队 友所跑的路程s(米)和所用时间t(秒)的函数图像. 观察图 像，你能获取哪些信息? 1 一次函数与二元一次方程的关系 1. 二元一次方程y-x=1有多少个解？你能写出方程的 几组解吗? 2. 二元一次方程y-x=1可以写成一次函数吗？ 3. 画出一次函数y=x+1的图像。 4. 把1题中方程的几组解为坐标的点在3题坐标系上描 出来，你发现了什么? 5. 一次函数y=x+1的图像上的点的坐标适合二元一次 方程y-x=1吗？ 知1－导 知1－导 x y 0 1 2 3 4 5-1-2-3-4-5 1 2 3 4 5 -1 6 7 y=x+1 知1－导 以二元一次方程的解为坐标的点都在相应的函数 图像上. 反过来，一次函数图像上的点的坐标都是相应的 二元一次方程的解. 例1 [中考·呼和浩特]如图所示的四条直线，其中直线 上每个点的坐标都是二元一次方程x－2y＝2的解 的是(　　) 知1－讲 C 知1－讲 对于二元一次方程x－2y＝2，当x＝0时，y ＝－1；当y＝0时，x＝2，故直线x－2y＝2与 两坐标轴的交点坐标是(0，－1)，(2，0)．对 照四个选项中的直线，可知选C. 导引： 知1－讲 直线y＝kx＋b与x轴的交点的横坐标即是二元一 次方程y＝kx＋b中，当y＝0时x的值；直线y＝kx＋b 与y轴的交点的纵坐标即是二元一次方程y＝kx＋b中， 当x＝0时y的值．解这类题，常运用数形结合思想． 1 把二元一次方程2x-3y=4改写成一次函数y=kx+b 的形式，并画出这个一次函数的图像. 知1－练 （来自教材） 图像如图所示． 2 4 .3 3y x= -解： （来自教材） 2 写出二元一次方程2x-y=1的三个解，以方程的解为 坐标在直角坐标系中画点，这些点是否都在一次函 数y=2x-1的图像上？ 知1－练 2x－y＝1的解有 画图略． 这些点均在一次函数y＝2x－1的图像上． 1, 2, 3, 1, 3, 5. x x x y y y = = = = = = 解： 知1－练 （来自教材） 3 把二元一次方程2(x-3)+y=0改写成一次函数y=kx+b 的形式，并画出这个一次函数的图像. y＝－2x＋6.图像如图所示．解： 知1－练 4 以二元一次方程3x－4y＝8的解为坐标的所有点组成 的图像也是一次函数y＝____________的图像． 5 下面四条直线，其中直线上每个点的坐标都是二元 一次方程2x－y＝2的解的是(　　) 3 24 x- B 6 若二元一次方程3x－2y＝1所对应的直线是l，则下列 各点不在直线l上的是(　　) A．(1，1)　 B．(－1，－1)　 C．(－3，－5)　 D. 知1－练 B 52 2 ，÷ç ÷ç ÷ç 2 一次函数与二元一次方程组的关系 知2－导 探究一次函数与二元一次方程组的关系 1. 解方程组 2. 在同一直角坐标系中画出一次函数y=x+1和y=-x+1 的图像。 + =1 + =1 x y x y ìïïíï-ïî x y 0 1 2 3 4 5-1-2-3-4-5 1 2 3 4 5 -1 6 y=x+1y=-x+1 (0，1) x+y=1 -x+y=1 是否任意两个一 次函数的交点坐 标都是它们所对 应的二元一次方 程组的解？ 知2－导 二元一次方程组的解是这两个方程所对应的一次 函数图像的交点坐标。 反之，两个一次函数图像的交点坐标是这两个一 次函数所对应的二元一次方程组的解。 想一想 若二元一次方程组无解，那么这两个方程所对应 的一次函数图像---------。 知2－导 知2－讲 例2 利用图像法解二元一次方程组：3 =2 + =2. x y x y ，ì -ïïíïïî 列表得： 过点(0，－2)和(1，1)画出直线l1，再过点(0，2)和 (1，1)画出直线l2，如图所示， 由图像知两条直线交点的坐标为 (1，1)，∴原方程组的解为 x 0 1 y＝3x－2 －2 1 y＝2－x 2 2 =1 =1. x y ，ìïïíïïî 解： 知2－讲 用图像法解二元一次方程组的基本步骤： (1)将方程组中的两个方程转化成一次函数y＝kx＋b的 形式； (2)在同一直角坐标系中画出两函数的图像； (3)利用图像的直观性确定交点坐标． 1 已知一次函数y=ax+5和y=-x+b的图像交于点P(1，2). (1)直接写出方程组 的解. (2)求a，b的值. 知2－练 （来自教材） = 5 + = ax y y x b ，ì - -ïïíïïî (1) (2)将 代入 可得 所以a＝－3，b＝3. =1 =2. x y ，ìïïíïïî =1 =2. x y ，ìïïíïïî = 5 + = ax y y x b ，ì - -ïïíïïî 2= 5 2+1= a b ，ì - -ïïíïïî 解： 知2－练 （来自教材） 2 解方程组 并由此指出在同一直角坐标系 内，一次函数y=2x-2与y=-2x+6图像交点的坐标. 2 =2 +2 =6 x y y x ， ， ì -ïïíïïî 解方程组得 由此得两函数图像交点的坐标为(2，2)． =2 =2. x y ，ìïïíïïî 解： 3 已知一次函数y1＝2x－1和y2＝－x－1的图像如图 所示，根据图像填空．当x_______时，y1＝y2；当 x________时，y1＜y2；方程组 的解是 ________． 知2－练 ＝0 =2 1 = 1 y x y x ，ì -ïïíï - -ïî <0 =0 = 1 x y ，ìïïíï -ïî 知2－练 4 如图，过点Q(0，3.5)的一次函数的图像与正比例函 数y＝2x的图像相交于点P，能表示这个一次函数图 像的方程是(　　) A．3x－2y＋3.5＝0 B．3x－2y－3.5＝0 C．3x－2y＋7＝0 D．3x＋2y－7＝0 D 5 若二元一次方程y＝2x＋a与y＝－x＋b对应的直线 都经过点A(－2，0)，且与y轴分别交于点B，C， 则△ABC的面积是(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 知2－练 C 知2－练 6 用图像法解方程组 正确的是(　　)C 2 =4 2 =4 x y x y ， ， ì -ïïíï +ïî 7 如图，函数y＝2x和y＝ax＋4的图像相交于点A(m， 3)，则不等式2x≥ax＋4的解集为(　　) A．x≤3 B．x≥3 C．x≤ D．x≥ 知2－练 D 3 2 3 2 知2－练 8 用一次函数y1＝kx＋b与y2＝x＋a的图像如图所示， 则下列结论：①k＜0；②a＞0；③x＜3时，y1＜y2； ④方程组 的解是 其中正确的个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 B 1 2 y kx b y x a ，＝ ＋ ＝ ＋ ， ìïïíïïî 3 1 x y . ，ìï = í = ï ïïî 知2－讲 例3 已知一次函数y＝ax＋2与y＝kx＋b的图像交于点 A，如图所示，且方程组 的解为 点B的坐标为(0，－1)，请你确定这两个一次函 数的表达式． 2y ax y kx b ，＝ ＋ ＝ ＋ ， ìïïíïïî 2x y ， ， ＝ ＝1 ìïïíïïî 要确定这两个一次函数的表 达式，需确定交点A的坐标， 而交点A的坐标即为已知方程 组的解．因此用待定系数法可求得k，b，a的 值，进而确定两个一次函数的表达式． 导引： 知2－讲 因为方程组 的解为 所以交点A的坐标为(2，1)， 所以2a＋2＝1，解得a＝－ . 又因为函数y＝kx＋b的图像过交点A(2，1)和点B (0，－1)， 所以 解得 所以这两个一次函数的表达式分别为y＝－ x＋2， y＝x－1. =2 =1. x y ，ìïïíïïî 2y ax y kx b ＝ ＋ ， ＝ ＋ ， ìïïíïïî 1 2 2 1 1 k b b ＝ ， ， ì +ïïíï =-ïî 1 1. k b ＝ ，ìïïíï =-ïî 1 2 解： 知2－讲 “交点”是解决问题的关键，从“形”的角度讲， 它是两个函数图像的公共点即自变量值相等时函数值 也相等的点；从“数”的角度讲，它是两个函数表达 式的公共解，即二元一次方程组的解． 1 已知关于x，y的方程组 的解为 (1)写出一次函数y=-x+1和的图像交点P的坐标. (2)若这两个函数的图像与x轴分别交于点A，B， 求S △ABP 知2－练 （来自教材） + =1 +3 =8 x y ax y ，ìïïíïïî = 1 =2. x y ，ì -ïïíïïî 知2－练 （来自教材） (1) P(－1，2)． (2)一次函数y＝－x＋1的图像与x轴的交点坐标为(1， 0)，将(－1，2)代入y＝－ x ＋ ，可得2＝－ ×(－1)＋ ，解得a＝－2.一次函数y＝ x＋ 的图像与x轴的交点坐标为(－4，0)．所以AB＝5. 所以S△ABP＝ ×5×2＝5. 3 a 8 3 3 a 8 3 2 3 8 3 1 2 解： 1. 二元一次方程组无解⇔一次函数的图像平行(无交 点)； 二元一次方程组有一组解⇔一次函数的图像相交(有 一个交点) ； 二元一次方程组有无数组解⇔一次函数的图像重合 (有无数个交点). 1 2. 一次函数与二元一次方程之间的区别和联系： 区别：(1)二元一次方程有两个未知数，而一次函数 有两个变量；(2)二元一次方程是用一个等式表示两 个未知数的关系，而一次函数既可以用一个等式表 示两个变量之间的关系，又可以用表格或图像来表 示两个变量之间的关系． 联系：在平面直角坐标系中分别描出以二元一次方 程的解为坐标的点，这些点都在相应的一次函数的 图像上． 用图像法解方程组 易错点：审题不仔细，没有按照要求解题 由x＋2y＝4，可得y＝－ x＋2. 由x－y＝1，可得y＝x－1. 在同一直角坐标系内作出一次函数y＝－ x＋2的图像 l1和y＝x－1的图像l2，如图所示，通过观察可得l1和l2 的交点坐标为(2，1)． 所以原方程组的解为 2 易错小结 2 4 1. x y x y ＋ ＝ ，① － ＝ ② ìïïíïïî 1 2 1 2 2 1. x y ＝ ， ＝ ìïïíïïî 解： 请完成《典中点》 Ⅱ 、 Ⅲ板块 对应习题！