人教版初中数学八年级下册课件第十六章 二次根式16.1 二根次式 29页

16.1 二根次式 第十六章 二次根式 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 第1课时 二次根式的概念 学习目标 1.理解二次根式的概念.（重点） 2.掌握二次根式有意义的条件.（重点） 3.会利用二次根式的非负性解决相关问题.（难点） 导入新课 情景引入 里约奥运会上，哪位奥运健儿给你留下了深刻的 印象？你能猜出下面表情包是谁吗？ 你们是根据 哪些特征猜 出的呢？ 下面来看傅园慧在里约奥运会赛后的采访视频，注 意前方高能表情包. 通过表情包来辨别人物，最重要的是根据个人的特 征，那么数学的特征是什么呢？ “数学根本上是玩概念的，不是玩技巧，技巧不足 道也.” ----中科院数学与系统科学研究院 李邦河 复习引入 问题1 什么叫做平方根? 一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数 叫做a的平方根. 问题2 什么叫做算术平方根? 如果 x2 = a（x≥0），那么 x 称为 a 的算术平方 根.用 表示.( 0)a a  问题3 什么数有算术平方根? 我们知道,负数没有平方根.因此，在实数范围内 开平方时，被开方数只能是正数或0. 思考 用带根号的式子填空，这些结果有什么特点？ (1)如图 的海报为正方形，若面积为2m2,则边长为 _____m；若面积为S m2，则边长为_____m． (2)如图 的海报为长方形，若长是宽的2倍，面积 为6m2，则它的宽为_____m． 图 图 2 S 3 （3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时 间 t（单位：s）与开始落下的高度h（单位：m）满 足关系 h =5t2，如果用含有h 的式子表示 t ，那么t为 _____．5 h 问题1 这些式子分别表示什么意义？ 5 h分别表示2，S，3， 的算术平方根． 上面问题中，得到的结果分别是： ， ， ， ． 2 S 3 5 h 讲授新课 二次根式的概念及有意义的条件一 ①根指数都为2; ②被开方数为非负数. 问题2 这些式子有什么共同特征？ 归纳总结 一般地，我们把形如 的式子 叫做二次根式. “ ”称为二次根号. ( 0)a a  两个必备特征 ①外貌特征：含有“ ” ②内在特征：被开方数a ≥0 注意：a可以是数，也可以是式. 例1 下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？     2 3 (1) 32; (2) 6; (3) 12; (4) - 0 (5) , ; (6) 1; (7) 5. m m xy x y a   ≤ ； 异号 解：(1)(4)(6)均是二次根式，其中a2+1属于“非负 数+正数”的形式一定大于零.(3)(5)(7)均不是 二次根式. 是否含二次根号 被开方数是 不是非负数 二次根式 不是二次根式 是 是 否 否 分析： 典例精析 例2 当x是怎样的实数时, 在实数范围内有 意义? 2x  解：由x-2≥0，得 x≥2. 当x≥2时， 在实数范围内有意义.2x  【变式题1】当x是怎样的实数时，下列各式在实数范 围内有意义？ 11 1x  （ ） ； 解：由题意得x-1＞0， ∴x＞1. 3(2) .1 x x   解：∵被开方数需大于或等于零， ∴3+x≥0，∴x≥-3. ∵分母不能等于零， ∴x-1≠0，∴x≠1. ∴x≥-3 且x≠1. 要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足 被开方数≥0，列不等式求解即可.若二次根式为分母 或二次根式为分式的分母时，应同时考虑分母不为零. 归纳 【变式题2】当x是怎样的实数时，下列各式在实数范 围内有意义？ 2(1) 2 1;x x   2(2) 2 3.x x   解：(1)∵无论x为何实数， ∴当x=1时， 在实数范围内有意义. (2)∵无论x为何实数，-x2-2x-3=-(x+1)2-2＜0， ∴无论x为何实数， 在实数范围内都无意义. 2 2 1x x   2 2 3x x   被开方数是多项式时，需要对组成多项式的项进 行恰当分组凑成含完全平方的形式，再进行分析讨论. 归纳  22 2 1 1 0x x x      ≤ ， (1)单个二次根式如 有意义的条件：A≥0；A (2)多个二次根式相加如 有意义的 条件： ...A B N   0 0 ... 0 A B N     ≥ ； ≥ ； ≥ ； (3)二次根式作为分式的分母如 有意义的条件： A＞0； B A (4)二次根式与分式的和如 有意义的条件： A≥0且B≠0. 1A B  归纳总结 1.下列各式： . 一定是二次根式的个数有 （ ）  2 233; 5; ; 1 1 27 2 1a x x x x   ≥ ； ; A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 B 2.(1)若式子 在实数范围内有意义，则x的取值 范围是_______; 1 2 x  (2)若式子 在实数范围内有意义，则x的 取值范围是___________. 1 2 xx  x ≥1 x ≥0且x≠2 练一练 问题1 当x是怎样的实数时， 在实数范围内有意 义？ 呢？ 2x 3x 前者x为全体实数；后者x为正数和0. 当a＞0时， 表示a的算术平方根，因此 ＞0；当a=0 时， 表示0的算术平方根，因此 =0.这就是说，当 a≥0时， ≥0. a a a a a 问题2 二次根式 的被开方数a的取值范围是什么？ 它本身的取值范围又是什么？ a 二次根式的双重非负性二 二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术 平方根.对于任意一个二次根式 ，我们知道：a （1）a为被开方数，为保证其有意义，可知a≥0； （2） 表示一个数或式的算术平方根，可知 ≥0. a a 二次根式的被开 方数非负 二次根式的值 非负 二次根式的 双重非负性 归纳总结 例3 若 ，求a -b+c的值.22 3 ( 4 ) 0a b c      解： 由题意可知a-2=0,b-3=0,c-4=0, 解得a=2,b=3,c=4. 所以a-b+c=2-3+4=3. 多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为 零.初中阶段学过的非负数主要有绝对值、偶次幂及 二次根式. 归纳 典例精析 例4 已知y= ,求3x+2y的算术平方根 . 3 3 8x x    解：由题意得 ∴x=3，∴y=8， ∴3x+2y=25. ∵25的算术平方根为5， ∴3x+2y的算术平方根为5． 3 0 3 0 x x    ≥ ， ≥ ， 【变式题】已知a，b为等腰三角形的两条边长，且a，b 满足 ，求此三角形的周长．3 2 6 4b a a     解：由题意得 ∴a=3， ∴b=4. 当a为腰长时，三角形的周长为3+3+4=10； 当b为腰长时，三角形的周长为4+4+3=11． 3 0 2 6 0 a a    ≥ ， ≥ ， 若 ，则根据被开方数大于等于0， 可得a=0. 归纳 y a a b    已知|3x-y-1|和 互为相反数，求x+4y的 平方根． 2 4x y  解：由题意得3x-y-1=0且2x+y-4=0． 解得x=1，y=2． ∴x+4y=1+2×4=9， ∴x+4y的平方根为±3. 练一练 当堂练习 2.式子 有意义的条件是 （ ） 2 3 6x  A.x＞2 B.x≥2 C.x＜2 D.x≤2 3.当x=____时，二次根式 取最小值，其最小值 为______． 1. 下列式子中，不属于二次根式的是（ ） C Da        C A -1 1x  0 4.当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有 意义？ (1) 1 ; (2 ) 2 3 ; 2(3) ; (4 ) .5 a a a a     (1) -1 0 1.a a  解： ， 3(2) 2 3 0 .2a a     ， (3) 0 0.a a    ， (4) 5 0 5.a a  ＞ ， ＜ 5.(1)若二次根式 有意义，求m的取值范围．2 2 2 m m m    解：由题意得m-2≥0且m2-m-2≠0， 解得m≥2且m≠-1，m≠2， ∴m＞2． (2)无论x取任何实数，代数式 都有意 义，求m的取值范围． 2 6x x m  解：由题意得x2+6x+m≥0， 即(x+3)2+m-9≥0. ∵(x+3)2≥0， ∴m-9≥0，即m≥9. 6.若x，y是实数，且y＜ ,求 的值. 11 1 2x x    1 1 y y   解：根据题意得， ∴x=1. ∵y＜ , ∴y＜ ， ∴ . 11 1 2x x    1 2 1 1 11 1 y y y y      1 0 1 0 x x    ≥ ， ≥ ， 7.先阅读，后回答问题： 当x为何值时， 有意义？ 解：由题意得x(x-1)≥0 由乘法法则得 解得x≥1 或x≤0 即当x≥1 或x≤0时， 有意义.  1x x  0 0 1 0 1 0 x x x x       ≥ ， ≤ ，或≥ ， ≤ ，  1x x  能力提升： 体会解题思想后，试着解答：当x为何值时， 有意义？2 2 1 x x   解：由题意得 则 解得x≥2或x＜ ， 即当x≥2或x＜ 时， 有意义． 2 02 1 x x   ≥ ， 2 0 2 0 2 1 0 2 1 0 x x x x        ≥ ， ≤ ，或＞ ， ＜ ， 1 2  1 2  2 2 1 x x   课堂小结 二次根式 定 义 带有二次根号 在有意义条 件下求字母 的取值范围 抓住被开方数必须为非 负数，从而建立不等式 求出其解集. 被开方数为非负数 二次根式的 双重非负性 二次根式 中,a≥0 且 ≥0 a a