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- 2021-10-27 发布
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第十二章 全等三角形
人教版
八年级数学上册
“角边角”、“角角边”
导入新课
如图,小明不慎将一块三角形玻璃打碎为三块,
他是否可以只带其中的一块碎片到商店去,就能配
一块与原来一样的三角形模具吗? 如果可以,带哪
块去合适?
你能说明其中理由吗?
情境引入
32
1
讲授新课
三角形全等的判定(“角边角”定理)一
问题:如果已知一个三角形的两角及一边,那么有
几种可能的情况呢?
A
B C
A
B C图一 图二
“两角及夹边” “两角和其中一角的对边”
它们能判定两个
三角形全等吗?
作图探究
先任意画出一个△ABC,再画一个△A ′ B ′ C ′ ,
使A ′ B ′ =AB, ∠A ′ =∠A, ∠B ′ =∠B (即使两角和
它们的夹边对应相等).把画好的△A ′ B ′ C ′剪下,放到
△ABC上,它们全等吗?
A
C
B
A
C
B A′ B′
C′
E D
作法:
(1)画A'B'=AB;
(2)在A'B'的同旁画∠DA'B '=∠A,∠EB'A '=∠B,
A'D,B'E相交于点C'.
想一想:从中你能发现什么规律?
知识要点
“角边角”判定方法
u文字语言:有两角和它们夹边对应相等的两个三
角形全等(简写成“角边角”或“ASA”).
u几何语言:
∠A=∠A′ (已知),
AB=A′ B′ (已知),
∠B=∠B′ (已知),
在△ABC和△A′ B′ C′中,
∴ △ABC≌△ A′ B′ C′ (ASA).
A
B C
A ′
B ′ C ′
例1 已知:∠ABC=∠DCB,∠ACB= ∠DBC,
求证:△ABC≌△DCB.
∠ABC=∠DCB(已知),
BC=CB(公共边),
∠ACB=∠DBC(已知),
证明:在△ABC和△DCB中,
∴△ABC≌△DCB(ASA ).
典例精析
B C
A D
判定方法:两角和它们的夹边对应相等两个三角形全等.
例2 如图,点D在AB上,点E在AC上,AB=AC,
∠B=∠C,求证:AD=AE.
A
B C
D E
分析:证明△ACD≌△ABE,就可以得出AD=AE.
证明:在△ACD和△ABE中,
∠A=∠A(公共角 ),
AC=AB(已知),
∠C=∠B (已知 ),
∴ △ACD≌△ABE(ASA),
∴AD=AE.
问题:若三角形的两个内角分别是60°和45°,
且45°所对的边为3cm,你能画出这个三角形吗?
60° 45°
用“角角边”判定三角形全等二
合作探究
60°
4
5
°
思考:
这里的条件与1中的条件有什么相同点与不同点?
你能将它转化为1中的条件吗?
75°
两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等.
简写成“角角边”或“AAS”.
归纳总结
∠A=∠A′(已知),
∠B=∠B′ (已知),
AC=A′C ′(已知),
在△ABC和△A′B′C′中,
∴ △ABC≌△ A′ B′ C′ (AAS).
A
B C
A ′
B ′ C ′
例3:在△ABC和△DEF中,∠A=∠D,∠B= ∠E,
BC=EF.求证:△ABC≌△DEF.
∠B=∠E,
BC=EF,
∠C=∠F.
证明:在△ABC中,∠A+∠B+∠C=180°.
∴△ABC≌△DEF(ASA ).
∴ ∠C=180°-∠A-∠B.
同理 ∠F=180°-∠D-∠E.
又 ∠A=∠D,∠B= ∠E,
∴ ∠C=∠F.
在△ABC和△DEF中,
例4 如图,已知:在△ABC中,∠BAC=90°,
AB=AC,直线m经过点A,BD⊥直线m,CE⊥直
线m,垂足分别为点D、E.求证:
(1)△BDA≌△AEC;
证明:(1)∵BD⊥m,CE⊥m,
∴∠ADB=∠CEA=90°,
∴∠ABD+∠BAD=90°.
∵AB⊥AC,
∴∠BAD+∠CAE=90°,
∠ABD=∠CAE.
在△BDA和△AEC中,
∠ADB=∠CEA=90°,
∠ABD=∠CAE,
AB=AC,
∴△BDA≌△AEC(AAS).
(2)DE=BD+CE.
∴BD=AE,AD=CE,
∴DE=DA+AE=BD+CE.
证明:∵△BDA≌△AEC,
方法总结:利用全等三角形可以解决线段之间的关系,
比如线段的相等关系、和差关系等,解决问题的关键是
运用全等三角形的判定与性质进行线段之间的转化.
1. △ABC和△DEF中,AB=DE,∠B=∠E,要使
△ABC≌△DEF ,则下列补充的条件中错误的是( )
A.AC=DF B.BC=EF
C.∠A=∠D D.∠C=∠F
2. 在△ABC与△A′B′C′中,已知∠A=44°,∠B=
67°,∠C′=69° ,∠A′=44°,且AC=A′C′,那
么这两个三角形( )
A.一定不全等 B.一定全等
C.不一定全等 D.以上都不对
当堂练习
A
B
3. 如图,已知∠ACB=∠DBC,∠ABC=∠CDB,
判别下面的两个三角形是否全等,并说明理由.
不全等,因为BC虽然是
公共边,但不是对应边.
A
B C
D
A
B
C
D
E
F
4.如图∠ACB=∠DFE,BC=EF,那么应补充一
个条件 ,才能使△ABC≌△DEF
(写出一个即可).
∠B=∠E
或∠A=∠D
或 AC=DF
(ASA)
(AAS)
(SAS)
AB=DE可以吗?×
AB∥DE
5.已知:如图, AB⊥BC,AD⊥DC,∠1=∠2, 求证:
AB=AD. A
C
DB
1 2证明: ∵ AB⊥BC,AD⊥DC,
∴ ∠ B=∠D=90 °.
在△ABC和△ADC中,
∠1=∠2 (已知),
∠ B=∠D(已证),
AC=AC (公共边),
∴ △ABC≌△ADC(AAS),
∴AB=AD.
学以致用:如图,小明不慎将一块三角形模具打碎
为三块,他是否可以只带其中的一块碎片到商店去,
就能配一块与原来一样的三角形模具吗? 如果可
以,带哪块去合适?你能说明其中理由吗?
32
1
答:带1去,因为有两角且
夹边相等的两个三角形全等.
能力提升:已知:如图,△ABC ≌△A′B′C′ ,AD、
A′ D′ 分别是△ABC 和△A′B′C′的高.试说明AD=
A′D′ ,并用一句话说出你的发现.
A
B CD
A ′
B ′ C ′D ′
解:因为△ABC ≌△A′B′C′ ,
所以AB=A'B'(全等三角形对应边相等),
∠ABD=∠A'B'D'(全等三角形对应角相等).
因为AD⊥BC,A'D'⊥B'C',所以∠ADB=∠A'D'B'.
在△ABD和△A'B'D'中,
∠ADB=∠A'D'B'(已证),
∠ABD=∠A'B'D'(已证),
AB=AB(已证),
所以△ABD≌△A'B'D'.所以AD=A'D'.
A
B CD
A ′
B ′ C ′D ′
全等三角形对应边上
的高也相等.
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