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  • 2021-10-27 发布

人教版八年级下册数学试题课件-8第十八章18菱形(二)

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(2)∵△ODE≌△FCE,∴OD=FC. ∵CF∥BD, ∴四边形ODFC是平行四边形. 在矩形ABCD中,OC=OD, ∴四边形ODFC是菱形. 1. 如图18-2-51,AC为矩形ABCD的对角线,将边 AB沿AE折叠,使点B落在AC上的点M处,将边CD沿 CF折叠,使点D落在AC上的点N处. (1)求证:四边形AECF是平行四边形; (2)当∠BAE为多少度时,四边形AECF是菱形? 请说明理由. 解:(1)∵四边形ABCD为矩形, ∴AB=CD,AD∥BC, ∠B=∠D=90°, ∠BAC=∠DCA. 由翻折的性质可知:∠EAB= ∠BAC,∠DCF = ∠DCA. ∴∠EAB=∠DCF. 在△ABE和△CDF中, ∠B=∠D, AB=CD, ∠EAB=∠DCF, ∴△ABE≌△CDF(ASA). ∴DF=BE. ∴AF=EC. 又∵AF∥EC, ∴四边形AECF是平行四边形. (2)当∠BAE=30°时,四边形AECF是菱 形. 理由:由折叠可知,∠BAE=∠CAE=30°, ∵∠B=90°, ∴∠ACE=90°-30°-30°=30°. 即∠CAE=∠ACE=30°. ∴EA=EC. ∵四边形AECF是平行四边形, ∴四边形AECF是菱形. 分层训练 【A组】 1. 如图18-2-52,小聪在作线段AB的垂直平分线时, 他是这样操作的:分别以点A和点B为圆心,大于 AB 的长为半径画弧,两弧相交于点C,D,则直线CD即为 所求. 根据他的作图方法可知四边形ADBC一定是 ( ) A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 平行四边形 B 2. 如图18-2-53,在□ABCD中,AE,CF分别是 ∠BAD和∠BCD的平分线,添加一个条件,仍无法判 断四边形AECF为菱形的是(   ) A. AE=AF B. EF⊥AC C. ∠B=60° D. AC是∠EAF的平分线 C 4. 四边形的四边长顺次为a,b,c,d,且 a2+b2+c2+d2=ab+bc+cd+ad,则此四边形一定是 ( ) A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 C 3. 已知四边形ABCD中,AC⊥BD,再补充一个条 件使得四边形ABCD为菱形,这个条件可以是( ) A. AC=BD B. AB=BC C. AC与BD互相平分 D. ∠ABC=90° C 6. 如图18-2-55,将两条宽度都为3的纸条重叠在 一起,使∠ABC=60°,则四边形ABCD的面积为 __________. 5. 如图18-2-54,将△ABC沿射线BC方向平移 得到△DCE,当△ABC满足条件______________ (填一个条件)时,能够判定四边形ACED为菱 形. AC=BC 7. 如图18-2-56,在△ABC中,点D是BC的中点, 点E,F分别在线段AD及其延长线上,且DE=DF. 给 出下列条件:①BE⊥EC;②BF∥CE;③AB=AC,从 中选择一个条件使四边形BECF是菱形,你认为这 个条件是_________(填序号).. ③ 8. 如图18-2-57,在四边形ABCD中,对角线 AC与BD相交于点O,AC⊥BD,AC平分∠BAD. (1)给出下列四个条件:①AB=AD,②OB= OD,③∠ACB=∠ACD,④AD∥BC,上述四个 条件中,选择一个合适的条件,使四边形 ABCD是菱形,这个条件是______________ (填写序号); (2)根据所选择的条件,证明四边形ABCD是 菱形. ④ 解:(2)∵AC⊥BD,AC平分∠BAD, ∴∠BAO=∠DAO,∠AOB=∠AOD=90°. ∵AO=AO, ∴△ABO≌△ADO. ∴AB=AD. ∵AD∥BC,∴∠ACB=∠DAC. ∴∠BAC=∠ACB.∴AB=BC.∴AD=BC. ∵AD∥BC, ∴四边形ABCD是平行四边形. 又∵AC⊥BD,∴四边形ABCD是菱形. 9. 如图18-2-58,已知AD是△ABC的角平分线, DE∥AC交AB于点E,DF∥AB交AC于点F. 求证:AD⊥EF. 证明:∵DE∥AC,DF∥AB, ∴四边形AEDF是平行四边形. ∵AD是△ABC的角平分线, ∴∠BAD=∠CAD. ∵DE∥AC,∴∠EDA=∠CAD. ∴∠EDA=∠BAD. ∴EA=ED. ∴平行四边形AEDF是菱形. ∴AD⊥EF. 【B组】 10.如图18-2-59,在□ABCD中,E,F分别是边AD, BC上的点,且AE=CF,直线EF分别交BA的延长线和DC 的延长线于点G,H,交BD于点O. (1)求证:△ABE≌△CDF; (2)连接DG,若DG=BG,则四边形BEDF是什么特殊 四边形?请说明理由. (1) 证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB=CD,∠BAE=∠DCF. 又∵AE=CF, ∴△ABE≌△CDF(SAS). (2) 解:四边形BEDF是菱形. 理由如下: ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD∥BC,AD=BC. ∵AE=CF,∴DE=BF. ∴四边形BEDF是平行四边形. ∵DG=BG,∴EF垂直平分BD. ∴四边形BEDF是菱形. 11. 如图18-2-61,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,D是BC 的中点,E是AD的中点,过点A作AF∥BC交BE的延长线 于点F. (1)求证:△AEF≌△DEB; (2)求证:四边形ADCF是菱形; (3)若AC=4,AB=5,求菱形ADCF的面积. 【C组】 (1)证明:∵AF∥BC,∴∠AFE=∠DBE. ∵E是AD的中点,D是BC的中点,∴AE=DE,BD=CD. 在△AFE和△DBE中, ∴△AFE≌△DBE(AAS). (2)证明:由(1)知,△AFE≌△DBE,则AF=DB. ∵DB=DC,∴AF=CD. ∵AF∥BC,∴四边形ADCF是平行四边形. ∵∠BAC=90°,D是BC的中点, ∴AD=DC= BC. ∴四边形ADCF是菱形. (3)解:如答图18-2-9,连接DF. ∵AF∥BD,AF=BD, ∴四边形ABDF是平行四边形. ∴DF=AB=5. ∵四边形ADCF是菱形, ∴S菱形ADCF= AC·DF= ×4×5=10. 12. 如图18-2-60,在 ABCD中,AF是∠BAD的 平分线,交BC于点F,与DC的延长线交于点 N.CE是∠BCD的平分线,交AD于点E,与BA的 延长线交于点M. (1)试判断四边形AFCE的形状,并说明理由; (2)若BE⊥ME,证明四边形ABFE是菱形. 解:(1)四边形AFCE是平行四边形. 理由如下:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴∠BAD=∠BCD,AD∥BC, ∴∠FAD=∠BFA. ∵AF是∠BAD的角平分线,CE是∠BCD的角平分 线, ∴∠FAD= ∠BAD, ∠BCE= ∠BCD. ∴∠FAD=∠BCE.∴∠BFA=∠BCE.∴AF∥CE. 又∵AD∥BC, ∴四边形AFCE是平行四边形. (2)∵AF是∠BAD的角平分线,且 ∠FAD=∠BFA, ∴∠BFA=∠BAF.∴BA=BF. ∵BE⊥ME,∴∠BEM=90°. ∵AF∥CE,∴∠BOA=∠BEM=90°.即BO⊥AF. 又∵在△ABF中,BA=BF,∴∠ABE=∠FBE. ∵AD∥BC,∴∠AEB=∠FBE. ∴∠ABE=∠AEB.∴BA=AE.∴BF=AE. 又∵AD∥BC, ∴四边形ABFE是平行四边形. 又∵BA=BF, ∴四边形ABFE是菱形.