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  • 2021-10-27 发布

八年级数学上册第14章勾股定理专题课堂五课件新版华东师大版

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第14章 勾股定理 专题课堂(五) 勾股定理 例 1   ( 襄阳中考改编 ) “ 赵爽弦图 ” 巧妙地利用面积关系证明了勾股定理,是我国古代数学的骄傲,如图所示的 “ 赵爽弦图 ” 是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形,设直角三角形较长直角边长为 a ,较短直角边长为 b ,若 (a + b) 2 = 21 ,大正方形的面积为 13 ,求小正方形的面积. 解:∵ (a + b) 2 = 21 ,∴ a 2 + 2ab + b 2 = 21 ,∵大正方形的面积为 13 , 2ab = 21 - 13 = 8 ,∴小正方形的面积为 13 - 8 = 5 【 对应训练 】 1 . ( 徐州中考 ) 如图,正方形 ABCD 的边长为 1 , 以对角线 AC 为边作第二个正方形, 再以对角线 AE 为边作第三个正方形 AEGH , 如此下去,第 n 个正方形的边长为 ________ . 2 . ( 丽水中考 ) 我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理, 创造了一幅 “ 弦图 ” ,后人称其为 “ 赵爽弦图 ” , 如图①所示,在图②中,若正方形 ABCD 的边长为 14 , 正方形 IJKL 的边长为 2 ,且 IJ∥AB ,则正方形 EFGH 的边长为 ____ . 10 例 3   如图,在 △ ABC 中, ∠ A = 90° ,点 D 是 BC 的中点,点 E , F 分别在 AB , AC 上,且 ∠ EDF = 90° ,连结 EF ,求证: BE 2 + CF 2 = EF 2 . 证明:延长 FD 至 M ,使 DM = DF ,连结 BM , EM. 易证 △ BDM ≌△ CDF , ∴ BM = CF , ∠ DBM = ∠ C , ∴∠ EBM = ∠ EBD + ∠ DBM = ∠ EBD + ∠ C = 90°. ∵∠ EDF = 90° , ∴ ED 是 FM 的垂直平分线, ∴ EM = EF. 在 Rt △ BEM 中, BE 2 + BM 2 = EM 2 , ∴ BE 2 + CF 2 = EF 2 【 对应训练 】 4 .如图,在△ ABC 中,∠ C = 90° , AD 是 BC 边上的中线, DE⊥AB , 垂足为 E. 求证: AC 2 = AE 2 - BE 2 . 证明: AC 2 = AD 2 - CD 2 = AE 2 + DE 2 - BD 2 = AE 2 - (BD 2 - DE 2 ) = AE 2 - BE 2 例 4   在 Rt △ABC 中,已知两边的长分别为 3 cm 和 5 cm , 则第三边的长为 _____________ . 【 对应训练 】 5 . ( 黄冈中考 ) 在 △ ABC 中, AB = 13 cm , AC = 20 cm , BC 边上的高为 12 cm ,求 △ ABC 的面积. 例 5   如图,点 E 是正方形 ABCD 内的一点,连结 AE , BE , CE , 将 △ ABE 绕点 B 顺时针旋转 90° 到 △ CBE′ 的位置, 若 AE = 1 , BE = 2 , CE = 3 ,求 ∠ BE′C 的度数. 解:连结 E′E ,由题意知 △ BEE′ 是等腰直角三角形, ∴∠ BE′E = 45° , E′E 2 = EB 2 + E′B 2 = 2 2 + 2 2 = 8 , ∵ E′C 2 + E′E 2 = 1 2 + 8 = 9 , CE 2 = 3 2 = 9 , E′C 2 + E′E 2 = CE 2 , ∴∠ CE′E = 90° , ∴∠ BE′C = 45° + 90° = 135° 【 对应训练 】 6 .如图, P 是等边三角形 ABC 内的一点,连结 PA , PB , PC , 以 BP 为边作 ∠ PBQ = 60° ,且 BQ = BP ,连结 CQ. (1) 观察并猜想 AP 与 CQ 之间的大小关系,并证明你的结论; (2) 若 PA ∶ PB ∶ PC = 3 ∶ 4 ∶ 5 ,连结 PQ , 试判断 △ PQC 的形状,并说明理由. 解: (1)AP = CQ ,证 △ ABP ≌△ CBQ   (2) 设 PA = 3a , PB = 4a , PC = 5a , 易知 △ BPQ 为等边三角形, ∴ PQ = PB = 4a ,又 CQ = PA = 3a , 易知 CQ 2 + PQ 2 = PC 2 , ∴△ PQC 是直角三角形