八年级数学上册第14章勾股定理专题课堂五课件新版华东师大版 15页

第14章　勾股定理 专题课堂(五)　勾股定理 例 1 　 ( 襄阳中考改编 ) “ 赵爽弦图 ” 巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的 “ 赵爽弦图 ” 是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为 a ，较短直角边长为 b ，若 (a ＋ b) 2 ＝ 21 ，大正方形的面积为 13 ，求小正方形的面积． 解：∵ (a ＋ b) 2 ＝ 21 ，∴ a 2 ＋ 2ab ＋ b 2 ＝ 21 ，∵大正方形的面积为 13 ， 2ab ＝ 21 － 13 ＝ 8 ，∴小正方形的面积为 13 － 8 ＝ 5 【 对应训练 】 1 ． ( 徐州中考 ) 如图，正方形 ABCD 的边长为 1 ， 以对角线 AC 为边作第二个正方形， 再以对角线 AE 为边作第三个正方形 AEGH ， 如此下去，第 n 个正方形的边长为 ________ ． 2 ． ( 丽水中考 ) 我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理， 创造了一幅 “ 弦图 ” ，后人称其为 “ 赵爽弦图 ” ， 如图①所示，在图②中，若正方形 ABCD 的边长为 14 ， 正方形 IJKL 的边长为 2 ，且 IJ∥AB ，则正方形 EFGH 的边长为 ____ ． 10 例 3 　 如图，在 △ ABC 中， ∠ A ＝ 90° ，点 D 是 BC 的中点，点 E ， F 分别在 AB ， AC 上，且 ∠ EDF ＝ 90° ，连结 EF ，求证： BE 2 ＋ CF 2 ＝ EF 2 . 证明：延长 FD 至 M ，使 DM ＝ DF ，连结 BM ， EM. 易证 △ BDM ≌△ CDF ， ∴ BM ＝ CF ， ∠ DBM ＝ ∠ C ， ∴∠ EBM ＝ ∠ EBD ＋ ∠ DBM ＝ ∠ EBD ＋ ∠ C ＝ 90°. ∵∠ EDF ＝ 90° ， ∴ ED 是 FM 的垂直平分线， ∴ EM ＝ EF. 在 Rt △ BEM 中， BE 2 ＋ BM 2 ＝ EM 2 ， ∴ BE 2 ＋ CF 2 ＝ EF 2 【 对应训练 】 4 ．如图，在△ ABC 中，∠ C ＝ 90° ， AD 是 BC 边上的中线， DE⊥AB ， 垂足为 E. 求证： AC 2 ＝ AE 2 － BE 2 . 证明： AC 2 ＝ AD 2 － CD 2 ＝ AE 2 ＋ DE 2 － BD 2 ＝ AE 2 － (BD 2 － DE 2 ) ＝ AE 2 － BE 2 例 4 　 在 Rt △ABC 中，已知两边的长分别为 3 cm 和 5 cm ， 则第三边的长为 _____________ ． 【 对应训练 】 5 ． ( 黄冈中考 ) 在 △ ABC 中， AB ＝ 13 cm ， AC ＝ 20 cm ， BC 边上的高为 12 cm ，求 △ ABC 的面积． 例 5 　 如图，点 E 是正方形 ABCD 内的一点，连结 AE ， BE ， CE ， 将 △ ABE 绕点 B 顺时针旋转 90° 到 △ CBE′ 的位置， 若 AE ＝ 1 ， BE ＝ 2 ， CE ＝ 3 ，求 ∠ BE′C 的度数． 解：连结 E′E ，由题意知 △ BEE′ 是等腰直角三角形， ∴∠ BE′E ＝ 45° ， E′E 2 ＝ EB 2 ＋ E′B 2 ＝ 2 2 ＋ 2 2 ＝ 8 ， ∵ E′C 2 ＋ E′E 2 ＝ 1 2 ＋ 8 ＝ 9 ， CE 2 ＝ 3 2 ＝ 9 ， E′C 2 ＋ E′E 2 ＝ CE 2 ， ∴∠ CE′E ＝ 90° ， ∴∠ BE′C ＝ 45° ＋ 90° ＝ 135° 【 对应训练 】 6 ．如图， P 是等边三角形 ABC 内的一点，连结 PA ， PB ， PC ， 以 BP 为边作 ∠ PBQ ＝ 60° ，且 BQ ＝ BP ，连结 CQ. (1) 观察并猜想 AP 与 CQ 之间的大小关系，并证明你的结论； (2) 若 PA ∶ PB ∶ PC ＝ 3 ∶ 4 ∶ 5 ，连结 PQ ， 试判断 △ PQC 的形状，并说明理由． 解： (1)AP ＝ CQ ，证 △ ABP ≌△ CBQ 　 (2) 设 PA ＝ 3a ， PB ＝ 4a ， PC ＝ 5a ， 易知 △ BPQ 为等边三角形， ∴ PQ ＝ PB ＝ 4a ，又 CQ ＝ PA ＝ 3a ， 易知 CQ 2 ＋ PQ 2 ＝ PC 2 ， ∴△ PQC 是直角三角形