人教版八年级下册数学试题课件-6第十八章18矩形（一） 25页

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AC＝BD（答案不唯一） 2. 要使 ABCD为矩形，则可以添加一个条件 为____________________________. 对角线相等或有一个直角 课堂讲练 【例】如图18-2-21, ABCD的四个内角的平分线分别 相交于点E，F，G，H.求证:四边形EFGH是矩形. 知识点 矩形的判定 证明∶∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC. ∴∠DAB+∠ABC=180°. 又∵AE平分∠DAB，BG平分∠ABC， ∴∠EAB+∠ABG= ×180°=90°. ∴∠AFB=90°.∴∠EFG=90°. 同理可证∠AED=∠BGC=∠CHD=90°. ∴四边形EFGH是矩形（有三个角是直角的 四边形是矩形）. 1. 如图18-2-22，在四边形ABCD中，AB＝ CD，AD＝BC，对角线AC，BD相交于点O，且 OA＝OD. 求证：四边形ABCD是矩形. 证明：∵在四边形ABCD中， AB＝CD，AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴AC＝2AO，BD＝2OD. ∵OA＝OD， ∴AC＝BD. ∴四边形ABCD是矩形. 分层训练 【A组】 1. 如图18-2-23，四边形ABCD为平行四边形，延长AD 到点E，使DE=AD，连接EB，EC，DB，添加一个条件， 不能使四边形DBCE成为矩形的是（　 　） A.AB=BE B.BE⊥DC C.∠ADB=90° D.CE⊥DE B 2. 如图18-2-24，在 ABCD中，对角线AC， BD相交于点O，下列哪个条件不能判定 ABCD 是矩形的是（ ） A. AC＝BD B. OA＝OB C. ∠ABC＝90° D. AB＝AD D 3. 如图18-2-25，在△ABC中，AC的中垂线分别交 AC，AB于点D，F，BE⊥DF交DF的延长线于点E. 若 ∠A=30°，BC=2，AF=BF，则四边形BCDE的面积是 （　 　）A 4. 若四边形ABCD的对角线AC，BD相等，且互 相平分于点O，则四边形ABCD是_______形，若 ∠AOB=60°，那么AB∶AC=________. 矩 1∶2 5. 工人师傅常常通过测量平行四边形零件 的对角线是否相等来检验零件是否为矩形， 请问工人师傅此种检验方法依据的道理是 ______________________________________. 对角线相等的平行四边形是矩形 6. 在平面直角坐标系中，有点A（-2，-2）， B（2，2），C（0，4），当点D的坐标为 __________时，四边形ABCD是矩形. （-4，0） 【B组】 7. 如图18-2-26，已知：点D是△ABC边BC上的中 点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是点E，F. （1）若∠B＝∠C，BF＝CE，求证：△BFD≌△CED； （2）若∠B+∠C＝90°，求证：四边形AEDF是矩 形. 证明：（1）∵点D是△ABC边BC上的中点， ∴BD＝CD. 又∵DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是点E，F, ∴∠BFD＝∠DEC＝90°. ∵BD＝CD，BF＝CE，∠BFD＝∠DEC， ∴△BFD≌△CED（SSA）. （2）∵∠B+∠C＝90°，∠A+∠B+∠C＝ 180°， ∴∠A＝90°. ∵∠BFD＝∠DEC＝90°， ∴∠A＝∠BFD＝∠DEC＝90°. ∴四边形AEDF是矩形. 8. 如图18-2-27，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的 高，AE是∠CAF的平分线且∠CAF是△ABC的一个外角， 若DE∥BA，四边形ADCE是矩形吗？为什么？ 解:四边形ADCE是矩形.理由如下. ∵AB=AC,∴∠B=∠ACB. ∴∠FAC=2∠ACB. ∵AE平分∠FAC,∴∠FAC=2∠CAE. ∴∠CAE=∠ACB. ∴AE∥BC. 又∵DE∥BA，∴四边形ABDE是平行四边形. ∴AE=BD. ∵AD⊥BC,AB=AC,∴BD=CD. ∴AE=DC. 又∵AE∥DC，∴四边形ADCE是平行四边形. 又∵∠ADC=90°， ∴四边形ADCE是矩形. 9. 如图18-2-28，在平行四边形ABCD中，对角线AC， BD相交于点O，延长OA到点N，使ON=OB，再延长OC至 点M，使CM=AN.求证:四边形NDMB为矩形. 证明∶∵四边形ABCD为平行四 边形， ∴AO=OC，OD=OB. ∵AN=CM，ON=OB， ∴ON=OM=OB=OD. ∴MN=BD. ∴四边形NDMB为矩形. 10. 如图18-2-29，在 ABCD中，点O是边BC 的中点，连接DO并延长，交AB的延长线于点E， 连接BD，EC. （1）求证：四边形BECD是平行四边形； （2）若∠BOD＝100°，则当∠A＝ ______________时，四边形BECD是矩形. 50° （1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB∥DC，AB＝CD. ∴∠OEB＝∠ODC. 又∵O为BC的中点， ∴BO＝CO. 在△BOE和△COD中， ∠OEB=∠ODC， ∠BOE=∠COD， BO=CO， ∴△BOE≌△COD（AAS）. ∴OE＝OD. ∴四边形BECD是平行四边形. 11. 如图18-2-30，在四边形ABCD中，AD∥BC， ∠B=90°，AD=18 cm，BC=21 cm，点P从点A开始沿 AD边向点D以1 cm/s的速度运动，点Q从点C开始沿 CB边向点B以2 cm/s的速度运动，如果P，Q分别从A， C同时出发，设运动时间为t s. （1）当t为何值时，四边形ABQP为矩形？ （2）当t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？ 解：（1）由题意知AP=t，CQ=2t， ∴BQ=21-2t. ∵AD∥BC， ∴AP∥BQ. 又∵∠B=90°， ∴要使四边形ABQP为矩形，只需满足AP=BQ, 即t=21-2t. 解得t=7. ∴当t=7时，四边形ABQP为矩形. （2）由题意知AP=t，QC=2t，PD=18-t. 当PD=QC时，四边形PQCD为平行四边形， 即18-t=2t. 解得t=6. ∴当t=6时，四边形PQCD为平行四边形. 12. 如图18-2-31，在△ABC中，点O是边AC上一个 动点，过O作直线MN∥BC. 设MN交∠ACB的平分线 于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，连接AE,AF. （1）求证：OE=OF； （2）若CE=12，CF=5，求OC的长； （3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形 AECF是矩形？并说明理由. 【C组】 （1）证明：∵CF平分∠ACD，且MN∥BD， ∴∠ACF=∠FCD=∠CFO. ∴OF=OC. 同理可证得OC=OE. ∴OE=OF. （2）解：由（1）知OF=OC，OC=OE， ∴∠OCF=∠OFC，∠OCE=∠OEC. ∴∠OCF+∠OCE=∠OFC+∠OEC. ∵∠OCF+∠OCE+∠OFC+∠OEC=180°， ∴∠ECF=∠OCF+∠OCE=90°. ∴EF= =13. ∴OC= . （3）解：当点O移动到AC中点时，四边形AECF为 矩形. 理由如下：由（1）知OE=OF， 当点O移动到AC中点时有OA=OC， ∴四边形AECF为平行四边形. 又∵∠ECF=90°， ∴四边形AECF为矩形.