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- 2021-10-27 发布
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角的平分线的性质(一)
A
O B
C
活 动 1
(对折)
情景问题
1、如图,是一个角平分仪,
其中AB=AD,BC=DC。
将点A放在角的顶点,AB和AD
沿着角的两边放下,沿AC画一
条射线AE,AE就是角平分线,
你能说明它的道理吗?
活 动 2
A
D B
C
E
如果前面活动中的纸片换成木板、
钢板等没法折的角,又该怎么办呢?
证明:
在△ACD和△ACB中
AD=AB(已知)
DC=BC(已知)
CA=CA(公共边)
∴ △ACD≌ △ACB(SSS)
∴∠CAD=∠CAB(全等三角形的
对应边相等)
∴AC平分∠DAB(角平分线的定义)
A
D B
C
E
根据角平分仪的制作原理怎样作一个角
的平分线?(不用角平分仪或量角器)
O
A
B
C
E
活 动 3
N
O M
C
E N
M
新知探究
1〉平分平角∠AOB
2〉通过上面的步骤,得到射线OC以后,
把它反向延长得到直线CD,直线CD与直线
AB是什么关系?
3〉结论:作平角的平分线即可平分平角,
由此也得到过直线上一点作这条直线的垂
线的方法。
活 动 4
AB O
C
D
(1)实验:将∠AOB对折,再折出一个直角三角
形(使第一条折痕为斜边),然后展开,观察两
次折叠形成的三条折痕,你能得出什么结论?
活 动 5
(2)猜想:角的平分线上的点到角的两边的距
离相等.
证明:∵OC平分∠ AOB (已知)
∴ ∠1= ∠2(角平分线的定义)
∵PD ⊥ OA,PE ⊥ OB(已知)
∴ ∠PDO= ∠PEO(垂直的定义)
在△PDO和△PEO中
∠PDO= ∠PEO(已证)
∠1= ∠2 (已证)
OP=OP (公共边)
∴ △PDO ≌ △PEO(AAS)
∴PD=PE(全等三角形的对应边相等)
P
A
O B
C
E
D
12
已知:如图,OC平分∠AOB,点P在OC上,
PD⊥OA于点D,PE⊥OB于点E
求证: PD=PE
验
证
猜
想
利用此性质怎样书写推理过程?
∵ ∠1= ∠2,
PD ⊥ OA,
PE ⊥ OB(已知)
∴PD=PE(全等三
角形的对应边相等)
P
A
O B
C
E
D
12
(4)得到角平分线的性质
如图:在△ABC中,∠C=90°
AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB于
E,F在AC上,BD=DF;
求证:CF=EB
A
C D
E
B
F
分析:要证CF=EB,首先我们想到的是要证它
们所在的两个三角形全等,即Rt△CDF ≌ Rt△EDB.
现已有一个条件BD=DF(斜边相等),还需要我们
找什么条件
DC=DE (因为角的平分线的性质)
再用HL证明.
实践应用
知识小结:
本节课学习了那些知识?有哪些运用?你
学了吗?做了吗?用了吗?
1.角平分线的性质定理:
在角平分线上的点到角的两边的距离相等
2.角平分线的性质定理是证明角相等、线段
相等的新途径.
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